Конспект урока в 8 классе. "Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета".

Тема урока: «Теорема Виета».

Цель урока:

Выяснить зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения; познакомить учащихся с теоремой Виета, учить находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета, способствовать развитию внимания, логического мышления, связной математической речи, развивать умение анализировать и делать выводы.

Тип урока: сообщение новых знаний.

Ход урока.

І.Актуализация опорных знаний.

Девиз: Думай и делай, делай и думай. И.А.Крылов.

Эпиграф : Никогда не теряй терпенья – это последний ключ, который открывает двери. Антуан де Сент- Экзюпери.

Блиц турнир.

1.      Какое уравнение называется квадратным?

2.      Какие существуют виды квадратных уравнений?

3.      Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

4.      От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?

5.      Английский математик, которому принадлежит термин «Дискриминант».

6.      Назовите формулу нахождения дискриминанта.

7.Сколько корней имеет уравнение, если D > 0 .

8.Сколько корней имеет уравнение, если D = 0.

9. Существуют ли корни квадратного уравнения, если D < 0.

10. Назовите формулы нахождения корней квадратного уравнения.

Заполните таблицу

ІІ. Изучение нового материала.

Поверите ли вы мне, если я скажу, что данное уравнение

х² – 2016х + 2015 = 0

смогу устно решить за несколько секунд и вы в конце урока тоже .

Сегодня мы с вами поведём речь о приведённых квадратных уравнениях, которые записывают ещё так: x² + px + q = 0.

Заполните таблицу:

Уравнение

p

q

х₁

х₂

х₁ + х₂

х₁ · х₂

1

х ²– 2х – 3 = 0

2

х ²+ 5х – 6 = 0

3

х ²– х – 12 = 0

4

х ²+ 7х + 12 = 0

Посмотрите внимательно на результаты работы.

Какое предположение можно сделать?

Сравните сумму и произведением корней с коэффициентами уравнений.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0

имеет корни х₁ и х₂, то x₁ + x₂ = - p; x₁ ∙ x₂ = q.

Сформулированное утверждение называется теоремой Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициент, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Как же доказать? ( проблемный вопрос)

Предложить учащимся самостоятельно у доски доказать теорему Виета.

x₁ + x₂ = (- b+ √D) /2 +(- b - √ D)/2 = - b

x₁ • x₂ = (- b+ √D) /2 •(- b - √ D)/2= (b² –D)/4 = c

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи постоянства такого .

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе b, в знаменателе а

Немного исторических фактов о французском математике Франсуа Виете.

( Вьет (Vièete) Франсуа (1540, Фонтене-ле-Конт, – 13.12.1603, Париж), французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, сходный с позднейшим методом Ньютона. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили меньшее распространение, чем заслуживали.)

Теорема (обратная теореме Виета).

Если числа х₁ и х₂ таковы, что x₁ + x₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

ІІІ. Тренировочные упражнения.

№1. ( устно) .

Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

1) х² - 6х + 5 = 0,

х₁= 1, х₂ = 5;

2) х² + 3х – 40 = 0,

х₁= - 8, х₂ = 5;

3) х² - 2х – 3 = 0,

х₁ = 1, х₂= - 3;

№2(устно)

Найдите корни квадратного уравнения:

х² - 16х + 15 = 0, ( х ₁= 1, х₂ =15)

х² + 2х - 3 = 0 (х ₁= 1, х₂ = - 3)

№2. ( у доски)

Составить приведенное квадратное уравнение, если x₁ = –3, x₂ = 1:

x₁ + x₂ = –3 + 1 = 2

x₁ · x₂ = –3 · 1 = –3

p = –2; q = –3

x² + px + q = 0

x² + 2x – 3 = 0

№ 3( самостоятельно)

Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны:

а) х₁ = - 3, х₂ = -2;

б) х₁= - 3, х₂= - 4;

в) х₁ = 5, х₂ = 6.

№4.(у доски).

В уравнении х² + pх + 36 = 0 один из корней равен - 4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вернёмся к уравнению х² – 2016х + 2015 = 0. Найдём его корни.

ІV. Самостоятельная работа. ( если будет время)

Первичная проверка знаний ( с последующей взаимопроверкой):

Вариант 1

1.      Cоставить приведенное квадратное уравнение

x₁ = 5, x₂ = 6

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х² – 16х + 63 = 0

x₁ = 7, x₂ = 9

3) Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

х² + рх + 18 = 0.

Вариант 2

1.      Cоставить приведенное квадратное уравнение

x₁ = - 5, x₂ = 6

2) Правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

х² + 18х - 63 = 0

x₁ = -21, x₂ = 3

3) Один из корней квадратного уравнения равен -2. Найти коэффициент р и второй корень уравнения:

х² + рх - 16 = 0.

V. Рефлексия.

Сегодня на уроке я узнал …

Сегодня на уроке я научился …

На следующих уроках мне хотелось бы…

VІ. Домашнее задание.

Прочитать, выучить теорему , п. 24;

решить № 583, №585, № 588.

ОТКРЫТЫЙ УРОК

ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ

«ТЕОРЕМА ВИЕТА»

Подготовил и выполнил:

учитель математики

Скляренко С.Ю.

Тема урока: «Теорема Виета»

Цели урока:1)способствовать формированию знаний у учащихся о теореме Виета,

научить её доказывать, а также применять при решении

приведенных квадратных уравнений;

2) способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать

делать выводы;

3) побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, вызывать

у них потребность в обосновании своих высказываниях

Оборудование: компьютер, экран, магнитная доска, индивидуальные оценочные

листы, карточки с заданиями, листы для выполнения диктанта.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз.

( учитель проверяет готовность учащихся к уроку и говорит об оценочных листах, в которых учащиеся во время урока будут выставлять себе баллы)

Математи-ческий тест	Работа у доски	Работа в группе	Самостоятель-ная работа	Кол-во баллов	Оценка
1. На уроке для меня было важно______________________________________ ______________________________________________________________
2. На уроке мне было сложно_________________________________________ _______________________________________________________________
3. Теперь я умею__________________________________________________ __________________________________________________________________
4. На уроке у меня получилось_____________________________________ ______________________________________________________________

2. Актуализация опорных знаний.

- Ребята, для того чтобы познавать мир, нам необходимы знания и прежде, чем начать изучать следующую тему, нужно убедиться, что мы имеем хорошие и прочные знания по предыдущей теме. А девизом нашего сегодня урока будут слова ученого Аль- Бируни: «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». Кто мне скажет, какую тему мы проходили на предыдущих уроках? (Ответы уч-ся « Решение неполных квадратных уравнений», «Решение квадратных уравнений по формуле».«Решение задач с помощью квадратных уравнений»)

А) Математический тест для учащихся:

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в 

карточках

I вариант

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется…

Полное квадратное уравнение не имеет корней, если …

Уравнение вида x2 + вx + с = 0 называется…

Квадратное уравнение имеет два корня, если b2 - 4ac…

Дано уравнение 3x2 - 7x + 4 = 0. D =…

II вариант

Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, то a… коэффициент, c…

Уравнение x2 = a, где a – это…

Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если…

Уравнение вида ax2 + c = 0, где a ≠ 0, c ≠ 0, называют… квадратным уравнением.

Дано уравнение x2 - 6x + 8 = 0. D =…

После окончания работы, учитель говорит правильные ответы, учащиеся проверяют следующим образом: за правильный ответ – 1 балл, за неправильный ответ – 0 баллов, результат теста заносят в оценочный лист. Б) Фронтальный опрос учащихся.(устная работа)(задания на экране)1) укажите коэффициенты квадратных уравнений:а) 2х2 - 5х +10 =0; б) 2 + х + х2 =0; в) 5х2 - 4х=3; г) 6х – х2=0; д) 11- 2х2 =4х 2) назовите корни уравнений: х2 = 64; х2 + 3х =0; у2 – 121 =0; 5х2 =0; х2 -2=0

Учитель предлагает учащимся посоревноваться кто быстрее решит уравнение и записывает уравнение: х2 – 6х + 8 =0 (ученики решают с помощью дискриминанта, а учитель сразу говорит ответ, учащиеся проверяют, ответ действительно верный. Учитель предлагает еще два уравнения: х2- 2х – 15 =0 и х2 – 10х – 39 =0 и снова говорит сразу ответ, учащиеся проверяют ответы. У учащихся удивление, учитель знает, какой- то секрет при решении уравнений. Этим самым они ставят для себя проблему на уроке и её нужно решить.

3. Изучение нового материала.

Учитель разбивает класс на три группы и дает каждой группе задание

1 группа	2 группа	3 группа
Х2 – 2 х – 15 = 0 D= 64 Х1 = - 3, х2 =5	Х2 -0,6х – 2,8 = 0 D = 11, 56 Х1 = - 1,4; х2 = 2	Х2 - 2 х +2 = 0 D = 4 Х1 = – 1; Х2 = + 1

После проверки заданий учитель раздает каждому ученику таблицу с заданиями

Уравнение	Корни	х1 + х2	х1· х2
х2 – 2х -15 = 0	х1 =- 3; х2 =5	2	- 15
х2 - 0,6х – 2,8 =0	х1 =- 1,4; х2 = 2	0,6	- 2,8
х2 - 2 х + 2 =0	х1 = – 1; х2 = + 1.	2	2

Учащиеся проверяют сумму корней и произведение корней с коэффициентами квадратного уравнения и делают соответствующие выводы.

Небольшая историческая справка о Франсуа Виете. На экране портрет Ф.Виета. Ученица рассказывает ( на экране) о французском ученом.

«Впервые эти выводы сделал Франсуа Виет ( 1540 – 1603гг)- французский математик. Он был одним из первых, кто стал обозначать числа буквами, что существенно развило теорию уравнений. Свои выводы Франсуа Виет сформулировал в виде теоремы и доказал её. Использование этой теоремы позволяет экономить время при решении уравнений, что немаловажно при сдаче экзамена в форме тестирования. В старших классах есть задачи, решение которых можно выполнять только с помощью теоремы Виета».

Ученик (ца) рассказывают математический стих: «Теорема Виета»

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета Что лучше, скажи, постоянства такого? Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а И сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда – В числителе в, в знаменателе а?!

- А сейчас ребята найдите формулировку теоремы Виета в учебнике и зачитаем её.

Четыре ученика по очереди доказывают теорему у доски, остальные ребята работают в тетрадях.

1 ученик. Дано: х2 +вх + с =0, х1 и х2 - корни. Доказать: х1 + х2 = - в, х1 х2 = с.2 ученик. Доказательство: D= в2 - 4с 0, х1 = ; х2 = .3 ученик. х1 + х2 = + = = - b.4 ученик. х1 · х2 = · = = = cЧтобы применять теорему Виета, квадратное уравнение нужно привести к приведенному виду. А если квадратное уравнение не является приведенным, то как будет выглядеть теорема Виета?

После ответов учащихся учитель показывает на экране записи, ученики их записывают в тетрадь.

х2 + bх +с =0	ах2 + bх +с = 0
х1 + х2 = - b х1 · х2 =с	х1+ х2 = -, х1 ·х2 =

Физкультминутка ( музыкальная пауза, учащиеся выполняют различные несложные упражнения )

4. Закрепление новой темы.

Учащиеся в парах решают следующие уравнения: а) х2 +17х – 18=0 ( -18; 1)

б) х2 -11х +18 =0 (9; 2)

Ученики решают уравнения возле доски:

а) х2 +7х – 18 =0; б) х2 +9х +18 =0; в) х2 - 3х - 28 = 0

Самостоятельная работа по учебнику № 576, № 577

Более слабые ученики решают уравнения возле доски.

1) х2 - 15х +36 =0; 2) х2 + 9х + 20 = 0; 3) х2 - 17х + 30= 0;

х1 =12, х2 =3 х1 = -4, х2 = - 5. х1 = 15, х2 = 2

Проверка решений уравнений.

5. Подведение итогов урока.

Вопросы учащимся:

- Чем мы занимались на уроке? Что нового узнали?

- Получилось ли реализовать цель, поставленную в начале урока? Почему?

- Кто хотел бы вернуться к какому – то этапу урока? В чем были трудности?

- Что понравилось на уроке, что запомнилось?

Учащиеся выставляют себе баллы, и оценочный лист отдают учителю.

Учитель выставляет оценки за урок.

6. Постановка домашнего задания.

Д/задание - № 575, № 574, № 587. Более сильные учащиеся готовят

доказательство теоремы Виета и обратной теоремы