Криволинейная трапеция и ее площадь

Лекция 10. Криволинейная трапеция и ее площадь

1.      Криволинейная трапеция

Для справки. «Идея переменной площади. В основе теории функций лежит понятие переменной, т.е. некоторого процесса, движения. Как заставить меняться фигуру, площадь которой нужно измерить?   Прежде всего поместим фигуру на координатную плоскость и потребуем, чтобы было задано уравнение, которым связаны координаты точек границы фигуры…  Так мы придем к понятию криволинейной трапеции…»

  Пусть на координатной плоскости дан график неотрицательной функции y  f x, заданной на отрезке   

a; b.

Определение: криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная:

•      сверху – графиком функции y  f x;

•      слева – прямой xa, справа – прямой xb ;

•      снизу – осью абсцисс.

    Например. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную следующими линиями:

1)  yx²  2;   x1;  x 2;  Ox:                             2)  yx² 4;   x2;  x1;  Ox:

2.      Площадь криволинейной трапеции

Sx f x

    Если зафиксировать левую границу фигуры, а правую двигать от точки a до точки b,  получим фигуру с переменной площадью Sx. Можно сказать,  скорость изменения площади такой фигуры меняется по закону y  f x. Тогда: . 

 «Таким образом, задача нахождения площади переменной криволинейной трапеции оказывается обратной задаче дифференцирования функции…», т.е. к задаче нахождения  первообразной функции f(x)

Формула: SFbFa

Здесь: F(b) – значение первообразной функции  f(x) в точке b, т.е. на правой границе; F(a) – значение первообразной функции  y=f(x)  в точке a, т.е. на левой границе.    Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

3. Алгоритм нахождения площади фигуры, ограниченной y  f x,  x a,  x b,  Ox:

1)      определить левую и правую границы заданного отрезка: a – меньшее, b – большее значение. Если границы не заданы – найти их;

2)      для функции f x найти одну из ее первообразных – функцию  Fx;

3)      сосчитать значение первообразной в точках b и a:  Fb,Fa;

4)      сосчитать искомую площадь по формуле: SFbFa;

5)      примечание 1: в первообразной не нужно указывать константу C, т.к. при вычитании значений первообразных она взаимно уничтожится;

6)      примечание 2: как правило, задача решается без построения фигуры, однако, бывают задачи, когда без построения не обойтись.

Пример решения задачи. Найти площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной:

      Учебник Алимова Ш.А. № 1000

1)  f x x3,  x  2,  x  4,  Ox

: фигура ограничена кубической параболой (на заданном отрезке

положительна); границы -  a=2, b=4. Тогда:

                                             ^{x4                                                      44                                                                            24}

f x x³       Fx ;     Fb F4  4³  64,  Fa F2  4      S  Fb Fa 64  4  60

                                              4                            4                                       4

Ответ: 60