Квадрат теңдеулерді шешудің әртүрлі әдістері

                           Жоспар

Кіріспе
          Квадрат теңдеуді модуль теңдеуге келтіру арқылы шешу немесе     
          квадрат теңдеудің геометриялық мағыналарының бірі
          Қорытынды
          Қолданылған әдебиеттер

Кіріспе

           Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі  болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

         Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің  ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған  мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге  жетілдіре түсуін талап етеді. Осы  талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына  жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Бұл баяндама  алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Зерттеу барысында мектеп оқушыларына  «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік  бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады:

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу

Мысал:х²+4х+3 =0      теңдеуін шешейік.

 Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз:

                     х²+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:  (х+1)(х+3) =0

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 және  сандары х²+4х+3=0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады.

         2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі

          Мысал: х²+8х-9=0   теңдеуін шешейік.

Сол  жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х²+8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:   х² + 8х=х²+2х4

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің  екі  еселенгені. Толық квадрат алу үшін 4²-ын қосу керек. Сонда  х²+2х4+4²=(х+4)²

Енді теңдеудің сол жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 4²-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:         х²+8х-9=х²+2х4+4²-9-4=(х+4)²-25

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:     (х+4)²-25=0 ,  яғни (х+4)²=25.

Бұдан              х+4=5, х=1          немесе               х+4=-5, х= -9.                                                              Жауабы: 1;-9

         3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу

  ах²+вх+с=0,  а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

                  4а²х²+4ахв+4ас=0 

    ((2ах)²+4ахв+в²)-в²+4ас=0,  (2ах+в)²=в²-4ас

          2ах+в= ,        2ах= -в

х=                (1)

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:  

1)3х²-7х+4=0 теңдеуін шешейік.

а=3, в=-7, с=4.     Д=в²-4ас=(-7)²-4·4·3=49-48=1. 

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х₁=1,  х₂=

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в²-4ас>0, ах²+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

2)9х²+6х+1=0  теңдеуін шешейік.

                          а=9, в=6, с=1. Д=в²-4ас=6²-4·9·1=0. 

Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады:    х=,  х=

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в²-4ас=0, ах²+вх+с=0  теңдеуінің жалғыз

түбірі бар болады:        х=

3)х²+2х+3=0  теңдеуін шешейік.

           а=1, в=2, с=3.  Д=в²-4ас=4-4·3·1= -8. 

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды.

Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в²-4ас<0,  онда ах²+вх+с=0  теңдеуінің түбірі  болмайды.

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын  қанағаттандырады.

Ол былай беріледі: а=1 болғанда, 

Бұдан  келесі  тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер  q  (1)  теңдеудің  бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  түбірлері оң болады.

Мысал,  1)х²-9х+20=0, х₁=4, х₂=5, мұнда q=20>0, р=-9<0;

               2)х²+5х+6 =0,  х₁ =-2,  х₂ =-3, мұнда q =6>0, р =5>0.

б)  Егер q   (1) теңдеудің  бос мүшесі  теріс болса (q <0), онда теңдеудің  екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р>0. Мысал, 1) х²+3х-4 =0;  х₁ =-4,  х₂ =1 мұнда q =-4 <0, р=-3>0

                    2) х²-7х-8 =0;  х₁ =8, х₂ =-1 мұнда  q =-8 <0, р =-7 <0

  5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу                       

ах²+вх+с =0 , а ≠0  квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің  екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз: а²х²+авх+ас=0. ах =у деп белгілесек, х = . Олай болса  у²+ву+ас =0 теңдеуіне келеміз. Бұл  бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің  түбірлерін у₁, у₂ –ні Виет теоремасы  арқылы табамыз. Соңында х₁ =,  х₂ = -ны аламыз. Бұл жағдайда              

  а  коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан  да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды [1,13бет]. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда  қолданады.

Мысал:     2х²-9х+9=0  теңдеуін шешейік.

Шешуі:  2 коэффициенті теңдеудің  бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде

у²-9у+18=0 теңдеуін аламыз.  Виет теоремасы бойынша

                      Жауабы: 3; 1, 5.

            6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану

         ах²+вх+с=0,  а≠0 квадрат теңдеуі берілген.       

Егер а+в+с=0  (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х₁=1, х₂=

Мысал:  7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш сан үшін квадрат теңдеу құрастырып, оны шешейік:

7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу   

  ах²+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз (1-сурет). Ізделінді шеңбер абцисса өсінде В(х;0) және Д (х₂;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы х₁, х₂ - ах² + вх + с=0 теңдеуінің түбірлері және ординат осінен  А(0;1) және С(0;) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз:

ОВ·ОД=ОА·ОС,

 бұдан ОС=

                                                                                                                                    1-сурет

Шеңбер  центрі АС және ВД  хорда ортасында орналасқан перпендикуляр SF пен SК-ның

қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтанSК=;

SF =

Сонымен,

1) S (шеңбер центрі)  және   А (0;1)  нүктелерін тұрғызамыз;

2) SА  радиусты шеңбер  жүргіземіз;

3) Осы шеңбердің Ох осі арқылы өтетін қиылысу нүктелері бастапқы квадрат теңдеудің  түбірі болады.

         Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін: 

1-ші жағдай.Шеңбер  радиусы ордината  центрінен артық (АS> SК, немесе,   шеңбер Ох осін екі  нүктеде (2а-сурет)  В (х; 0) және Д (х₂;0) нүктелерде қияды. Мұндағы  х₁ және х₂-ах²+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері).

2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе  тең, шеңбер Ох осін В (х₁; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х₁ – квадрат теңдеудің түбірі).

3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен  кіші (А S < SК, немесе ) кем, щеңбердің абцисса  осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды.

    у                                             у                                         у

 

                                                                                                                            

 

                                                                 2-сурет

а)  АS>SВ,   екі шешімі бар: х₁ және х₂

б) АS=SВ,   бір шешімі бар: х₁

в) АS<SВ,   шешім жоқ.

8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу

          O                B                 E                                           y                  3

 

           F                                   D                                                                     

y                     y             3y

H                 A

          C                              

                                                                      3                   3y                  9     

p                           q        3-сурет                                                     4- сурет

Бұл квадрат теңдеуді  шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі [2,83бет].

Брадис таблицасында z²+pz+q=0  теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің  түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді.       Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша  тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген).

ОВ= ОС=р,  ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF  үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай  пропорция аламыз:   

Мұнда  z²+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және  жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді.

9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу

 Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді  алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у² + 6у-16=0 теңдеуін  қалай  шешкендігіне тоқталып өтейік.

         Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте  көрсетілген, мұндағы у²+6у=16 немесе у²+6у+9=16+9

 у²+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда  сол квадраттың өзін береді, ал

 у²+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3=5 немесе у₁=2, у₂=-8.

Квадрат теңдеуді модуль теңдеуге келтіру арқылы шешу немесе квадрат теңдеудің геометриялық мағыналарының бірі

         Мектеп курсында және жоғарғы оқу орындарында квадрат теңдеуді шешудің оннан астам түрі қолданылады. Бірақ, соның барлығы квадрат теңдеудің геометриялық мағынасын толық көрсете алмайды. Сол себепті квадрат теңдеуді шешудің осы әдісін қолданып, оның геометриялық мағынасын көрсетеміз.

Квадрат теңдеу әдетте  түрінде беріледі. Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігіндегі өрнектен толық квадратты айырамыз.

Жақша ішіндегі өрнектен өзгесін теңдіктің келесі жағына өткіземіз.

Екі жағын да түбірге алсақ,

   өрнегі шығады.  өрнегі міндетті түрде   өрнегі түрінде жазылуы керек.  Ал берілген теңдеу

   түріндегі мәндес теңдеуге келтіріледі.

Теңдеу модульдің қасиеті арқылы шешіледі. Модуль дегеніміз – берілген нүктеден 0-ге дейінгі қашықтық.  Мұндағы берілген сан   . Нөлге дейінгі қашықтық  -ға тең.  Теңдеуді шешкенде мына ережеге сүйенеміз:

1.     Берілген сан нөлден кіші болса, теңдеудің шешімі жоқ. Себебі, арақашықтықты теріс санмен есептемейміз.

2.    Берілген сан 0-ге тең болса онда теңдеудің бір ғана шешімі бар және ол   - ға тең.

3.     Берілген сан 0-ден үлкен болса , онда теңдеудің екі шешімі болады. Себебі, координаталық сәуледе -дан   қашықтықта болатын екі сан бар. Олар:      және .

Сызба түрінде беретін болсақ,

                                                                                                                               х

                                       

Бұны квадрат теңдеудің геометриялық мағыналарының бірі деп қарастыруға болады.

1-мысал: 

Бұл есептің шешімі болмайды, себебі, кез келген санның квадраты оң сан болу керек немесе теріс саннан түбір шықпайды.

2-мысал:

Бұл теңдеудің бір ғана шешімі бар, Ол  - 1 саны.

3-мысал: 

Бұл есептің шешімі болмайды, себебі, кез келген санның квадраты оң сан болу керек немесе теріс саннан түбір шықпайды.

Берілген сан 0-ден үлкен болғандықтан, теңдеудің екі шешімі болады. Себебі, координаталық сәуледе -тан    бірлік қашықтықта болатын екі нүкте  бар. Олар:     және .

Сызба түрінде беретін болсақ,

                                                                                                                               х

                                                                  

Жауабы: -4  және -3 .

Квадрат теңдеуді шешудің бұл тәсілі теңдеудің графиктік тәсілмен шешілуіне қарағанда геометриялық  мағынасын толық көрсетеді.

Баяндамада  қарастырылған 10 әдіс те оқушылардың  «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады.   Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тоғыз әдісі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады. Квадрат теңдеуді  ауызша шешу әдістерін 8 - сыныпта үйрету ҰБТ есептерін шығаруда уақыт тиімділігін арттырады. 

Қолданылған әдебиеттер:

1.     Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003 ж.

2.     Әбілқасымова А. Алгебра, 8  - сынып, Алматы, «Мектп» Мектеп, 2015 ж.

3.     Брадис В.М.   Төрт таңбалы математикалық кестелер – Алматы, Мектеп, 1990 ж.