Лекция по геометрии на тему "Призма"

Основные элементы многогранников

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁. 

Два многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а отрезки, которые соединяют соответствующие вершины, называются боковыми рёбрами призмы. Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

призма

Треугольная призма Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 3).	Равные треугольники АВС и А1В1С1 расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны. То есть АВСА1В1С1 – треугольная призма, если: 1) Треугольники АВС и А1В1С1  равны. 2) Треугольники АВС и А1В1С1  расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β). 3) Ребра АА1, ВВ1, СС1 параллельны. АВС и А1В1С1 – основания призмы. АА1, ВВ1, СС1 – боковые ребра призмы. Если с произвольной точки Н1 одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН1 на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы. Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.
Прямая призма Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 4).	Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Например, ребро АА1 перпендикулярно плоскости АВС.  Ребро АА1 является высотой этой призмы. Заметим, что боковая грань АА1В1В перпендикулярна к основаниям АВС и А1В1С1, так как она проходит через перпендикуляр АА1 к основаниям.
Наклонная призма Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА1В1С1 (рис. 5). Рис. 5	Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А1 перпендикуляр А1Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА1 на плоскость АВС. Тогда угол между прямой АА1 и плоскостью АВС это угол между прямой АА1 и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А1АН.
Четырехугольная призма	Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается. 1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1. 2) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А1B1C (α ║ β). 3) Четырехугольники ABCD и A1B1C1D1  расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА1║ВВ1║СС1║DD1. Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Например, АС1 – диагональ четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Определение. Если боковое ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.
Параллелепипед	Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 изображен на рис. 7. Рассмотрим, как он устроен: 1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A1B1C1D1: ABCD = A1B1C1D1. 2) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A1B1C1 (α ║ β). 3) Параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА1║ВВ1║СС1║DD1. Из точки А1 опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А1Н является высотой.
Шестиугольная призма	Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8). 1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1: ABCDEF = A1B1C1D1E1F1. 2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А1B1C (α ║ β). 3) Шестиугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА1║ВВ1…║FF1. Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.
Правильная призма Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1.	Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. Треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники. Итак, если треугольная призма АВСА1В1С1 – правильная, то: 1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA1 ⊥ АВС. 2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

Площадь поверхности призмы	Теорема о площади боковой поверхности призмы
Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается Sполн. Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается Sбок. Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы: Sполн = Sбок+ 2Sосн.	Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Доказательство проведем на примере треугольной призмы. Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, т. е. АА1 ⊥ АВС. АА1 = h. Доказать: Sбок = Росн ∙ h. Рис. 10 Доказательство. Треугольная призма АВСА1В1С1 – прямая, значит, АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С – прямоугольники. Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА1В1В, АА1С1С, ВВ1С1С: Sбок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = Pосн ∙ h. Получаем, Sбок = Росн ∙ h, что и требовалось доказать.
Теорема об объёме призмы
Объём призмы равен произведению площади основания призмы на её высоту: В случае куба и прямоугольного параллелепипеда формула объёма призмы приобретает хорошо знакомый вид:

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

1.     Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?

2.     Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?

3.     Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.

4.     В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.