Лекция по математике на тему "Показательная функция"

Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.

                             Л. Эйлер

Лекция на тему:

«Показательная функция, её свойства и график».

Ранее нами рассматривалась степень с действительным показателем. Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, x, y – любые действительные числа.

                                        Тогда:

                                                                 a^x a^y = a^x+y,                                                   (1)       = a^x-y,                                                                                          (2)

                                                                 (a^x)^y = a^xy,                                                    (3)

                                                      (ab)^x = a^x b^x,                                          (4)                   

                                                      ()= ,                                            (5)

                                                     a^x  > 0,                                              (6)

                                        a^x > 1, если a > 1, x > 0,                               (7)

                                      a^x < a^y,  если a > 1, x < y,                              (8)

                                    a^x >a^y,  если 0 < a < 1, x < y,                            (9)

Рассмотрим несколько примеров применения этих свойств.

1)      Найдите значение выражения:    7 ·7·7- 5·5·5.

2)      Упростите:   6с+4(с)³.

3)      Сравнить:   2³⁰⁰ и  3²⁰⁰.

4)      Имеет ли смысл выражение: а) (-3);   б) (-2)^-4;   в) 0?

В практике часто используются функции y = 2^x, y = 10^x, y = ^x,

y = (0,1)^x  и т.д., т.е. функция вида y = a^x, где а – заданное число, x – переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число.

Показательной функцией называется функция y = a^x , где а – заданное число, а > 0,  a ≠ 1.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1)                      Область определения показательной функции – множество R всех действительных чисел.

·         Это свойство следует из того, что степень а^х, где  а > 0, определена для всех x Î R.

2)                      Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

·  Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a^x = b, где a  > 0, a ¹ 1, не имеет корней, если b £ 0, и имеет корень при любом b > 0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет корней, если b £ 0. То, что это уравнение имеет корень при любом  b>0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая y = b, где b > 0, пересекается с графиком показательной функции.

3)                      Показательная функция y = a^x  является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если  a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

·         Это следует из свойств (8) и (9).

Построим графики функций y = 2^x  и y = ,  используя  рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику.

			y=2x		y=x

 

                      8                                                                                   8

                     4                                                                                                    4

 

                 2                                                                                                       2

 

              -1    0       1         2          3                                  -3       -2       -1    0         1

 Отметим, что график функции y = 2^x  проходит через точку (0;1) и расположен выше оси  ох.

 Если x < 0 и уменьшается, то график быстро приближается к оси ох (но не пересекает её);

 если x > 0 и увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

       Такой же вид имеет график любой функции y = а^x, если a > 1.

    График функции y = ()^X  также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси  ох. Если x > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси ох (не пересекая её); если x < 0 и уменьшается, то график быстро поднимается вверх.

Такой же вид имеет график любой функции           

                              y = (а)^X, если a < 0 < 1.

 

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так радиоактивный распад описывается формулой      m(t) = m_0, где m(t) и m₀ – масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t₀.T – период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъёма, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т.д.

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Решить графически уравнение:

y

= x - . Построим графики функций  y = и  y = x - .

 

 

Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой  х » 1. Проверка показывает, что х = 1 - корень данного уравнения:= 1 - , = . Так как функция  y = монотонно убывает на R, а функция  y = x -  монотонно возрастает на R, это означает, что графики этих функций не могут иметь других точек пересечения при х ¹ 1.

                                                                       Ответ: 1.

			Примеры показательных неравенств:
	Решить неравенство: 3x  < 3x < 3-2, т.к. 3 > 1, то  x < 2. Ответ: (-¥; 2).
					Решить неравенство: (0,25)6x-x > 0,255 т.к.0 < 0,25 < 1, то 6x – x2 < 5, т.е. x2 – 6x + 5 > 0, (x – 1)(x + 5) > 0. xÎ(-¥;1)È(5;+¥). Ответ: (-¥;1)È(5;+¥).		Решить неравенство: 4x - 6·2x + 8 < 0. Пусть 2x = y, тогда 4x = (2x)2 = y2 y2 – 6y + 8 < 0, т.е. 2 < y < 4 y = 2x, поэтому 2 < 2x<4, 21 < 2x < 22,  т.к. основание 2 > 1, то 1 < x < 2. Ответ: (1; 2)

 

Чтобы проверить степень усвоения нового материала, проведём небольшой тестовый контроль по вопросам : «Показательная функция, её свойства и график»