"Логарифмические уравнения" урок в 10 классе

Урок по теме «Логарифмические уравнения».

Методические рекомендации: уравнение – одно из важнейших понятий математики. Логарифмические уравнения в ряду многих других уравнений являются математическими моделями явлений и процессов реальной действительности. Поэтому с первого же урока изучения главы «Логарифмическая функция» вновь обращаем внимание учеников на то, что предметом математики являются математические модели.

Урок, конспект которого представлен ниже, является первым уроком темы «Логарифмические уравнения» и  9 уроком в главе «Логарифмическая функция». На данном уроке необходимо определить понятие логарифмического уравнения, вспомнить некоторые общелогические основы изучения уравнений – корень уравнения, что значит «решить уравнение», а так же вспомнить общие методы решения уравнений и что такое уравнение – следствие. Урок ориентирован на «открытие» учащимися способов решения логарифмических уравнений (частных методов, основанных на свойствах логарифмов).

На мотивационно – ориентировочном этапе учащиеся в ходе решения задач вспоминают основные теоретические положения: что называют уравнением –следствие, свойства логарифмов и логарифмической функции, а так же общие методы решения уравнений. Актуализация знаний необходима для дальнейшего включения школьников в поиск способов решения логарифмических уравнений. Создание проблемной ситуации происходит следующим образом: предлагается решить логарифмическое уравнение известных для учеников графическим методом, который оказывается не рациональным. Появляется цель урока – поиск способов решений логарифмических уравнений различных типов.

Решение учебной задачи (операционно - познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» учащимися способов решения логарифмических уравнений конкретных типов, каждый тип рассматривается на конкретном примере, а затем ученики обобщают и записывают решения в общем виде.

Конспект урока по теме «Логарифмические уравнения».

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений  Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.:ил.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися выявить основные методы и способы решения логарифмических уравнений и неравенств, основываясь на решении конкретных задач.

Диагностируемые цели:

В результате изучения темы ученик:

·       Знает: основные виды логарифмических уравнений  и способы их решения; общие методы решения уравнений и неравенств: вынесение множителя за скобку, замена переменной; частные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: применяя свойства логарифмов;

·       Умеет: решать различные типы логарифмических уравнений, применяя как общие методы решения (замена переменной, вынесение множителя за скобку), так и частные способы решения (на применение свойств логарифмов);

·       Понимает: условия равносильного перехода; что есть переходы, приводящие к приобретению посторонних корней, что есть переходы, приводящие к потере корней.

Структура урока:

1.     Мотивационно - ориентировочная часть  10 минут;

Проверка домашнего задания

Актуализация

Мотивация

2.     Содержательная часть  30 минут;

3.     Рефлексивно – оценочная часть  5 минут.

Ход урока:

Мотивационно-ориентировочный этап

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

- Здравствуйте, ребята. В качестве домашнего задания я просила вас повторить §8 «Равносильные уравнения и неравенства». Давайте вспомним, какие уравнения называются равносильными? - Какие уравнения называются уравнениями – следствиями? Хорошо 1.      Устно решим №336(1,2) Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения. 1)     х-3=0 и . Решите данные уравнения: Итак, какой вывод можем мы сделать? 2)     Решите данные уравнения: Какой вывод можете сделать? Итак, на прошлых уроках мы с вами познакомились с логарифмом числа, доказали свойства логарифма, рассмотрели логарифмическую функцию и доказали её свойства. Давайте решим устно следующие примеры. Вычислим значения логарифмов: 1)+=  Каким свойством воспользовались? 2)-= Назовите свойство, которым пользовались. 3)= Сформулируйте свойство которым пользовались. 4)2+= Сформулируйте свойство, которым пользовались,  в  общем виде. Молодцы. Вспомните еще формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Хорошо. Кроме свойств мы еще изучали логарифмическую функцию  y=, a>0,a≠1 На доске изображены два графика логарифмической функции(см презентацию). Какие значения может принимать основание логарифма – а на 1ом графике? на 2 рисунке? Правильно. Теперь назовите свойства функции  y= для каждого из двух случаев. Для 0<a<1. Молодцы, решите уравнение     = Сформулируйте теорему, которой пользовались. Вспомним общие методы решения уравнений. Какие общие методы решений уравнений вы знаете? письменно решим следующее уравнение: Какого типа данное уравнение? Каким методом решается данное  уравнение? В чем суть данного метода? Хорошо, решим уравнение. Как решить данное уравнение? Что делаем дальше? Когда дробь равна 0? И что нужно сделать в конце при решения уравнения? Запишите ответ. Как называется такой метод решения уравнений? Решите уравнение =3. Как мы решали подобные уравнения? Хорошо. Строим графики в тетрадях каких функций? (Графики см в презентацию) Какой ответ? Молодцы, а теперь решите графически уравнение =100 Да, такое уравнение не удобно -не рационально решать графическим способом, вы согласны? Значит, нам необходимо найти другие способы решений логарифмических уравнений. А кроме общих методов решения уравнений есть частные, которые основаны на свойствах. И сегодня мы рассмотрим частные методы, связанные со свойствами логарифмов. Целью нашего урока и будет научиться решать логарифмические уравнения, рассмотреть их различные виды. Запишите тему нашего урока «Логарифмические уравнения»

-Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. х-3=0 → х=3. → Второе уравнение является следствием первого.  → х=±5.  → х=±5. Оба уравнения являются следствиями друг друга. +===2 Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения по тому же основанию. -===1 Разность логарифмов по одному основанию равна логарифму частного по тому же основанию. =*= Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени. 2+=+=-==1 =, a>0, a≠1, b>0, p≠0. =, a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 a>1 0<a<1. 1 случай. 1)      1. ООФ х>0                                                               2. МЗФ yR                                                                    3.возрастает при х>0                                                   4. положительна при х>1 2)      1. ООФ х>0                                                               2. МЗФ yR                                                                    3. Убывает при х>0                                                   4. Положительна при 0<x<1 =  3x-2=7  3x=9   x=3 Если =, где a>1, a≠0, >0, >0, тогда = Введение новой переменной, разложение на множители, функционально-графический. Показательное. Методом замены переменной. Выражение, содержащее неизвестное, обозначаем новой переменной и решаем уравнение относительно этой новой переменной. Затем выражение, содержащее неизвестное, приравниваем к найденному значению переменной и находим неизвестное. ,причем t>0.  не удовлетворяет условию, что t>0. t=1. =1 х=0. Ответ: х=0. Переносим х в левую часть. Далее приведем к общему знаменателю. Когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т.е.     ↕ Нужно сделать проверку. Х=0-корень, х=-1корень, х=2корень Ответ: Разложение на множители. Графически. у= и y=3 х=8 нужен очень мелкий масштаб. Да.

Содержательный этап.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Итак, если рассмотреть равенство =с, между какими числами этого равенства  устанавливает связь? Молодцы значит, у нас сразу же появляется три типа уравнений (если каждое из трех чисел принять за неизвестную х) 1) с=х                       2)   а=х                                   3)b=x Назовите, какие уравнения получим? Уравнения первого вида, даже сложно назвать уравнением, ведь тут уже все решено. Давайте остановимся на уравнениях 2 и 3. Сначала давайте решим конкретные уравнения этих видов. Записываем в тетрадь. 1) =3     Давайте первым шагом найдем область определения, а затем просто будем отбрасывать корни не вошедшие в область определения. Это делается вместо проверки Чем мы можем воспользоваться, чтобы решить это уравнение?   Сформулируйте его.            Как запишется это уравнение? Третьим шагом мы проверяем, входят ли полученные корни в область определения.  У каждого лежит канва-таблица. Итак, первый вид логарифмических уравнений мы получили, давайте запишем в первый столбец.  =с Какое решение мы получили? Хорошо, а давайте посмотрим на ограничения, которые мы указали, х>0. Как вы думаете нужно ли оно?      Что стоит у нас в правой части равенства  х=? А число а у нас каким может быть?   Почему?  А возводя положительное число в любую степень, мы получаем всегда какое число?     Значит, какой вывод мы можем сделать?     Именно по этому ограничения на х можно не писать. Давайте запишем в канву-таблицу общее решение.               Теперь рассмотрим 2 вид логарифмических уравнений:=2 Каким может быть х? Чем будем пользоваться при решение?     Какое решение получим?                                                                                                                                                                                  Какой общий вид у нашего уравнения? Записываем в канву, под номером 2. Какое решение мы получили? Выразите х. Как вы думаете, а здесь можем ли мы опустить ограничения? Верно, ограничения здесь важны, но однако иногда легче сделать проверку, а не найти область определения. Давайте обратимся к нашему примеру и сделаем проверку. Подставьте х=3. Подходит? Да, правильно. Давайте запишем общие решение. Уравнения данных видов  являются простейшими логарифмическими уравнениями. А теперь давайте решим уравнения посложнее. Итак, первым шагом находим область определения.                  Потенцируя, получаем     Вспомните об ограничениях на х. Хорошо. Молодцы, каков будет ответ? Верно. Теперь давайте запишем в общем виде в таблицу: Как запишется наше уравнение в общем виде? Верно. Что будет решением этого уравнения? Что дальше? Давайте посмотрим, если мы наложим ограничения, например, на f(x), g(x) может у нас быть отрицательным или равным 0? Почему? Молодцы, значит, ограничения мы можем накладывать либо на f(x) либо на g(x). Какое решение мы получим? Молодцы. Записываем в таблицу: Почему достаточно рассмотреть одно из неравенств f(x)>0 и g(x)>0? Теперь решим уравнение Найдите область определения. Каким свойством можно воспользоваться? Что тогда получим? Каков будет ответ? Давайте посмотрим на ограничения, как вы думаете все ли ограничения нам нужны? А какие можно отбросить и почему? А кто думает по другому и почему? Верно! А какие ограничения тогда останутся? Почему? Хорошо. Верно. Осталось обобщить и занести данные в таблицу. Какой вид уравнения? А какое решение? Запишите. Далее решаем уравнение . Найдите область определения, как вы думаете какие ограничения у нас будут? А почему 2х+4>0 мы не рассматриваем? Молодцы. Каким свойством можно воспользоваться? Что получим? Потенцируем. Вспомните про ограничения и скажите ответ. Верно. Осталось обобщить и занести данные в таблицу. Скажите вид этого уравнения. И какое решение получилось? Запишите. Теперь рассмотрим уравнение . Какие ограничения? Правую часть уравнения представьте в виде логарифма по основанию 4. Потенцируем. Какой ответ получим? Сделайте проверку. Хорошо. Молодцы. А теперь давайте попробуем его решить с помощью свойства «логарифм степени». Что тогда получим? Мы получили различные корни, значит где-то мы ошиблись. Скажите где? Что можно сделать, чтоб этого не  произошло? Что тогда получим: Заметим, что сделав проверку в не верном случаи…мы не найдем ошибку, поэтому проверка не всегда эффективна! Обобщим и запишем в таблицу. Давайте рассмотрим следующее логарифмическое уравнение: Какие ограничения? Правую часть уравнения в виде логарифма с основанием 3.  Потенцируем. Корень найден! Что осталось проверить? Что вы скажете? Какой ответ? Верно. Теперь давайте запишем в таблицу решение в общем виде.   Рассмотрим общие методы решения логарифмических уравнений.  Решим следующее уравнение: Данное уравнение является квадратным относительно логарифма .Найдите ООУ. Каким методом воспользуемся при решении этого уравнения? Что обозначим за новую переменную? Тогда какой вид примет  уравнение? Решите данное уравнение. Верно. Теперь решаем два полученных уравнения. Принадлежат ли корни ООУ? Запишем ответ. Решим уравнение: Найдем ООУ. Проанализируем данное уравнение. В левой и правой части уравнения стоит один и тот же логарифм . Можем ли мы разделить обе части уравнения, на данное выражение? Нет, разделить мы не можем, так как при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, ведет к потере корней. Тогда какое действие нужно выполнить? Верно. Каким методом решаем данное уравнение? Молодцы. Запишем ответ.

Между тремя числами a,b,c. 1)=x          2)=c                       3)=с Область определения. х>0 Определением логарифма. Логарифмом положительного числа b, по основанию a, где a>0 и a≠1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. x= x=64 64>0. Ответ: х=64 f(x)= не знаем Степень числа. Положительным и не равным 1. По определению. Положительное.  всегда положительное число, а значит и х всегда положителен. х= 1.х≠1, x>0 определением логарифма. 2. х=3 3. -3-посторонний корень. Ответ: х=3 =c                       Нет, нельзя, иначе в нашем примере мы получили бы не верный ответ. Да, а при х=-3, мы получаем не верное равенство. 1.     2.                                                 . 3. x=4-посторонний корень. Ответ:х=-3 f(x)=g(x) Ограничения на х: f(x)>0 и g(x)>0. Нет. Потому что у нас f(x)=g(x).А значит каким будет f(x) таким будет и g(x) и наоборот.  или  Так как  и если одна из частей этого равенства положительна, то другая тоже будет положительна. 1.  Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения по тому же основанию. 2. −2x 3. х= -5,5 – посторонний корень. Ответ: х= - 1. Нет. Можно отбросить и , так как левая часть равна  правой, а значит это лишнее. Это не верно, т.к уравнения и  не равносильны! Произведение двух положительных – положительно, следовательно, и левая часть уравнения положительна. 1. ; Так как произведение двух положительных – положительно, следовательно, и левая часть уравнения положительна, как и в прошлом уравнение. Разность логарифмов по одному основанию равна логарифму частного по тому же основанию. 2. . 3.  – посторонний корень. Ответ: х=2. 3= Ответ: x=8 Получили в обоих случаях тождество. 2. когда мы избавлялись от квадрата, мы потеряли еще один (отрицательный) корень. х взять по модулю . 1.      x>0 2.      =0 x=1. Входит ли он в область определения. Входит. Ответ: х=1 х>0 Методом замены переменной. далее подставляем значения t в равенство:             Да. Ответ: ООУ: Наверное. Нужно перенести логарифм в левую часть: Методом разложения на множители. Выносим за скобку                                                                              Оба корня удовлетворяют ООУ. Ответ:

Рефлексивно-оценочный этап

Итак, у нас канва-таблица в столбце логарифмические уравнения заполнена Обратите внимание, сколько мы с вами сделали на уроке. Как вы думаете, зачем мы это делали и зачем заполняли таблицу? Какова была цель нашего урока? Достигли ли мы ее? Как мы ее достигли? Заметим, что при решении ряда уравнений мы выявили следующий алгоритм, которого будем придерживаться при решении последующих уравнений: Находим ООУ; Решаем уравнение; Отбираем корни, в соответствии с ООУ. На следующем уроке мы продолжим нашу тему Логарифмические уравнения. А теперь запишем домашнее задание: учить канву таблицу. 341(2,4) , 338(2), 339(2), 337(2,4), 337(2,4), 2) 4) 338(2),  339(2), 341(2,4) 2) 4)

Чтобы при решении уравнений ей пользоваться. Рассмотреть различные типы логарифмических уравнений  и способы решения данных уравнений. Да, достигли. Мы рассмотрели разнообразные  типы логарифмических уравнений и способы их решений. Для решения одних типов уравнений мы использовали общие способы решения уравнений: замена переменной, разложение на множители. В других же уравнениях мы использовали частные методы: применяли определение логарифма, теорему §18, свойства логарифмов, тем самым приходили к уравнению следствию.  Выявили, что зачастую при решении логарифмических уравнений мы переходим к уравнениям следствиям, поэтому нужно находить ООУ. Но иногда бывает проще сделать проверку.

На данном уроке в систему знаний «Логарифмическая функция» включается новая подсистема знаний – уравнение. В связи с этим на уроке происходит установление связи с уже изученным: с понятием логарифма числа, со свойствами логарифма и логарифмической функции. Так же устанавливается связь с методом математического моделирования, закрепляются связи между данной системой и системами «постоянные и переменные величины», «выражения и их преобразования», «моделирование».