Материал для урока по алгебре "Применение интеграла в геометрии"(11 класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РД

 МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 «Средняя общеобразовательная школа №1»

Открытый урок по теме «Применение интеграла в геометрии»

в 11 классе

Учитель: Гаджиева А.Р.

Каспийск - 2019

Открытый урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

   (слайд 1)

Ребята, мы с вами не знакомы, но я надеюсь, что язык математических формул поможет нам в общении.

   Учитель.

         Я начну наш урок со слов А.Н.Крылова: «Рано или поздно всякая правильная  математическая идея находит применение в том или ином деле».

            (слайд 2)

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определённый интеграл – одно из основных понятий математического анализа.

          Геометрический смысл интеграла - площадь криволинейной трапеции.(спросить у учащихся)

         Физический смысл интеграла - перемещение точки, движущейся по прямой, со скоростью за промежуток времени. (спросить у учащихся)

        Сегодня тема нашего урока «Вычисление площади криволинейной трапеции».

Сегодня на уроке мы повторим и обобщим наши знания о первообразной, криволинейной трапеции, интеграле.

1. Актуализация знаний учащихся.

Как вы думаете, какие знания будут нам необходимы для вычисления интеграла, площади криволинейной трапеции?

Учащиеся отвечают: Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции нужно знать:

1.     Определение первообразной;

2.     Определение криволинейной трапеции;

2. Таблицу неопределенных интегралов;

3. Формулу площади криволинейной трапеции.

Учитель: Сформулируйте определение первообразной.

На доске плакат:

 

2.     Историческая страничка

На этом уроке мы закрепим изученные нами приложения интеграла к                                                                     геометрии и познакомимся с новыми его приложениями.  Возникновение задач интегрального            исчисления связано с нахождением площадей и объёмов.

А начиналось всё так:

         Знаменитый астроном и математик Иоганн Кеплер как-то заметил, что некий купец  определял вместимость бочек с помощью мерного стержня, измеряя им расстояние от сливного отверстия до самой дальней точки бочки.         Кеплер был очень удивлён, что купец с помощью одного лишь измерения определял объём бочки любой формы: и высокой, и низкой, и с широким днищем, и с узким. В действиях купца не было жульничества: такой способ определения объёма бочек был узаконен городскими властями.  

         Понимая, что этот метод является приближенным, Кеплер нашел формулу для объёмов 98 типов тел вращения, которым дал названия всевозможных фруктов: « яблоко», «лимон», «груша» и т. д…    

     Кеплеру не удалось получить общей формулы для объёмов тела вращения в том виде, в каком её знают сегодня. И это не удивительно, поскольку эта формула содержит интеграл.

          Первые работы по открытию интегрального исчисления принадлежат ещё Архимеду - великому математику древности. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.

          Эти исследования были продолжены итальянским математиком Кавальери.

          Техника интегрирования – сложный раздел математики. В нем сделали свои  открытия такие корифеи, как Эйлер, Лобачевский, Коши, Остроградский.

           Но подлинные открытия интегрального исчисления принадлежат двум учёным17 века - Ньютону и Лейбницу.

3.     Устный опрос.

 Вычислите устно.

дописать

Г	Д	К	Л	О	Р	Т	У	Ь	Ы
4	1	2	49	0,5	5	7	3	14	10

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Г	О	Д	К	У	Л	Ь	Т	У	Р	Ы

2014 год объявлен в России Годом культуры. Глава Дагестана Рамазан Абдулатипов отметил, что культура – «Это уклад жизни, то, как люди рождаются, живут, умирают, женятся, общаются. У каждого народа свой опыт, свое видение, свое понимание этого мира. И в этом плане у Дагестана есть уникальный опыт, самобытная культура, свое миропонимание»

И сегодня, решая логарифмические уравнения, мы с вами окунемся в прекрасный мир культуры, и даже сами займемся творчеством.

4.     Разминка.

Теперь я предлагаю вам небольшую разминку. Перед вами интегралов,  вычислив которые, вы вспомните фамилии великих композиторов Дагестана.

I вариант                                                            II вариант

1.                                                        1.         

2.                                            2. 

3.                                                       3.  

4.                                                   4.  

5.                                                    

6.                                                          6.

7.  

I вариант                                                                II вариант

А	В	Е	Ж	К	Л				А	В	Е	Л	Ч
3	20	5	2	8	12				4	11	8	-12	16

1	2	3	4	5	6
Ч	А	Л	А	Е	В

1	2	3	4	5	6	7
К	А	Ж	Л	А	Е	В

МурадКажлаев – выдающийся дирижёр и композитор современности. Емуподвластны самые разные музыкальные жанры: симфонии и концерты, оперы и музыка к кинофильмам. Открытие школы искусств для одаренных детей в Дагестане неразрывно связанно с именем народного артиста СССР МурадаКажлаева.

ШирваниЧалаев – народный артист России, композитор, это певец своего народа, его радостей и печали, его судьбы. Музыка ШирваниЧалаева  незабываема, радость общения с нею велика, сила ее воздействия безгранична.ШирваниЧалаев –автор музыки Государственного гимна РД.

5.       А теперь мы приступим к практической части нашего урока.

         Итак, где в геометрии мы применяем интеграл? Правильно, при вычислении площадей фигур.

1.     Задача 1.

Перед зданием нашей школы решено разбить клумбу.
Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии.
Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной
линиями у =; х = 4; у = 6. Для клумбы мы планируем купить землю из расчета 50 кг на 1м²  у одного из двух поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

             Ответ:  1958

Именно в  1958 году был создан ансамбль «Лезгинка».

Хоть спортсмены республики и не участвовали в Олимпийских играх в Сочи, Дагестан и Северный Кавказ  там представили другие чемпионы - по танцам, прославленный на весь мир  ансамбль «Лезгинка». Мастерство коллектива в Сочи вызвало всеобщий фурор. Не сдержал эмоций и Президент Национального Олимпийского комитета Томас Бах. Он назвал выступление «Лезгинки» фантастикой.

2.     Следующее задание взято из открытого банка заданий ЕГЭ - 2015,взятых с сайта ФИПИ.

       В истории дагестанской культуры, пожалуй, трудно найти личность, чьё имя было бы столь окутано мифами. Халилбек Мусаясул.                         

28 лет прожил художник вдали от Родины. Картины X. Мусаясула хранятся и в известном Метрополитен музее (Нью-Йорк), где находятся слепки рук художника

3.     Решите уравнение методом преобразования  по формулам

;

            х = 1

Фазу Алиева – талантливая дагестанская поэтесса. Фазу Гамзатовна первая женщина в СССР, получившая звание народной поэтессы в молодом возрасте, в 33 года и первая дагестанка, чье имя вошло в Книгу выдающихся женщин мира.

Фазу прославила нашу маленькую республику, рассказала о ней всей планете с гордостью, восхищением, любовью.

 Горжусь я славой моего народа,

 Хоть он, сказать по совести, всего

 На древе человеческого рода -

 Чуть видимая веточка его.

6.     Физминутка       «Берегите глаза»!

7.     Творческая самостоятельная работа

 А теперь мы сами займемся творчеством! В наше время  много людей увлекается головоломками. Они любимы не только детьми, но и взрослыми. Игра помогает развивать логическое мышление, геометрическую интуицию.Я услышала о старинной китайской игре - головоломке танграм. Меня очень заинтересовала  эта игра, и я спешу вас научить этой игре.Итак, что же это за игра такая "ТАНГРАМ"?

ТАНГРАМ - это головоломка, это конструктор, это тренажер для мозга!

ТАНГРАМ - это игра на развитие логики, внимания и мелкой моторики.

Поклонниками ТАНГРАМА были Льюис Кэролл и Наполеон.

ТАНГРАМ - «семь дощечек мастерства» - древняя китайская головоломка, состоящая из семи плоских фигур (танов), которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, букву или цифру и т. д.)

А помогут вам собрать фигурку уравнения из самостоятельной работы.

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнения:

1.     log ₃ (2x + 3) = 2;

2.     log_0,2(12x – 8) = log_0,2(11x + 7);

3.     log₂²x – 5 log₂x + 6 = 0;

4.      logx = 6;

5.   ;

6.   ;

7.   .

Ответы: 1. 3

                2. 15

                3. 4; 8

                4. 1000

                5.

                6. 27

                7. 5

Вариант 2

Решите уравнения:

1. log₅(3x – 14) = 0;

2. log_0,2(3x – 6)=log_0,2(2x – 3);                               

3. log²₂x + 2log₂x – 3 = 0;

4. logx = 4;

5.

6.

7.

Ответы: 1. 5

               2. 3 

               3. 2;

               4. 9  

               5.

               6. 8

               7. 4

Не так уж и трудно уравненья решать

Проблема дает вдохновенье

Искусство же в том, чтоб суметь отыскать

Удачный подход для решенья

П.Хейн.

8. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

·         «Что есть больше всего на свете?
Пространство.
Что мудрее всего?
Время.
Что приятнее всего?
Достичь желаемого».
Фалес

Как вы думаете, достигли ли мы с вами желаемого?

Я надеюсь, что сегодняшний наш урок поможет вам на ЕГЭ с легкостью справиться с логарифмическими уравнениями.

9. Домашнее задание

Благодарю за сотрудничество и понимание.

Краткое описание документа:

На этом уроке мы закрепим изученные нами приложения интеграла к геометрии и познакомимся с новыми его приложениями.Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объёмов.

А начиналось всё так:

Знаменитый астроном и математик Иоганн Кеплер как-то заметил, что некий купец определял вместимость бочек с помощью мерного стержня, измеряя им расстояние от сливного отверстия до самой дальней точки бочки.Кеплер был очень удивлён, что купец с помощью одного лишь измерения определял объём бочки любой формы: и высокой, и низкой, и с широким днищем, и с узким. В действиях купца не было жульничества: такой способ определения объёма бочек был узаконен городскими властями.

Понимая, что этот метод является приближенным, Кеплер нашел формулу для объёмов 98 типов тел вращения, которым дал названия всевозможных фруктов: « яблоко», «лимон», «груша» и т. д…

Кеплеру не удалось получить общей формулы для объёмов тела вращения в том виде, в каком её знают сегодня. И это не удивительно, поскольку эта формула содержит интеграл.

Первые работы по открытию интегрального исчисления принадлежат ещё Архимеду - великому математику древности. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления.

Эти исследования были продолжены итальянским математиком Кавальери.

Техника интегрирования – сложный раздел математики. В нем сделали свои открытия такие корифеи, как Эйлер, Лобачевский, Коши, Остроградский.

Но подлинные открытия интегрального исчисления принадлежат двум учёным 17 века - Ньютону и Лейбницу.