Метод математического моделирования как способ развития алгоритмического мышления учащихся основной школы в процессе решения текстовых задач

Метод математического моделирования как способ развития алгоритмического мышления учащихся основной школы в процессе решения текстовых задач

Козлова Анна Владимировна, учитель математики и информатики

Муниципального общеобразовательного бюджетного учреждения
«Основная общеобразовательная школа № 6 Арсеньевского городского округа», г. Арсеньев, стаж работы 1 год 6 месяцев

В Федеральном компоненте государственного стандарта «Об образовании в Российской Федерации», разработанным в соответствии с направлениями реформы образовательной школы, написано, что одной из основных целей курса математики является развитие мышления учащегося, его интеллекта. Важной составляющей интеллектуального развития человека является алгоритмическое мышление.

Анализ психолого-педагогической и методической литературы (Д.И. Богоявленский, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, Л.Н. Ланда, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман и др.) показал, что наиболее активно в исследованиях разрабатываются вопросы развития алгоритмического мышления при обучении информатике. Однако, по мнению Г.В. Дорофеева, алгоритмическое мышление в наиболее чистом виде может быть сформировано только в процессе изучения математики, так как обучение математике вносит в его формирование «важную и специфическую компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных школьных предметов».

Математическое моделирование – частный случай моделирования. Является важнейшим видом знакового моделирования и осуществляется средствами языка математики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина (преобразования математических, логических, химических формул и т. п.).

Математическое моделирование предполагает использование в качестве специфического средства исследования оригинала его математическую модель, изучение которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях. Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал – математическая модель», где системообразующей связью выступает изоморфизм структур оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим механизм ее
функционирования [1,151].

Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений. Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств.

Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна, графы.

При построении модели используются такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствуют его развитию. Составление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности [4,46].

Одним из эффективных способов развития алгоритмического мышления является применение метода математического моделирования, так как оно предполагает выполнение некоторого алгоритма действий. Однако, проанализировав ряд учебников по алгебре [2], [3], [5] для учащихся основной школы, было выявлено, что не все авторы рассматривают метод математического моделирования. А также система задач в этих учебниках не всегда предполагает использование этого метода. Поэтому было решено подобрать комплекс текстовых задач, направленных на применение метода математического моделирования (ниже приведены примеры подобных задач).

Задача 1. Из города А со скоростью 48 км/ч выехал мотоцикл. Через 50 мин. В том же направлении со скоростью 63 км/ч выехал автомобиль. Через сколько времени после выезда автомобиля расстояние между ним и мотоциклом окажется равным 42 км ?

Задача 2. В соревнованиях участвовали три байдарки. Первая байдарка проходит каждые 100 м на 2 сек быстрее второй и на 3 сек быстрее третьей. За сколько секунд вторая байдарка прошла один километр, если за каждые 30 сек вторая байдарка опережает третью на 60/13 м?

Проведение бесед с учителями математики нашей школы и посещений уроков наставников показало, что значительная их часть (65%) используют модели лишь в демонстрационных целях, без привлечения учащихся к процессу создания модели. Немногие учителя (10%) учат учащихся представлять результаты анализа проблемной или задачной ситуации в наглядной форме, строить модели в виде блок-схем, графиков, таблиц, графов и т.п. Моделирование в обучении математике в школе носит фрагментарный характер, специально процесс построения модели не анализируется и учащимся не показывается, как модель может быть использована при решении других задач. Эти результаты говорили о том, что существует необходимость в рекомендациях к применению метода математического моделирования.

Исходя из требований к применению моделирования в учебном процессе и функций, выполняемых моделированием в обучении математике, были выделены рекомендации по его использованию:

1) включение понятий «модель» и «моделирование» в содержание предмета;

2) предъявление учащимся основных видов моделей, используемых в школьной математике, обучение учащихся взаимопереходу от одной модели к другой, обучение формализации и интерпретации;

3) иллюстрация связей математики с окружающим миром;

4) проведение учителем работы, направленной на овладение учащимися деятельностью моделирования (выделение и отработка этапов моделирования);

5) отражение отношения между математическими объектами при предъявлении материала в моделях и изучение математических понятий с помощью моделей при введении новых понятий, правил, формул, проведении понятийного и операционного анализа, в ходе обобщения и т.д.

Характерные признаки алгоритмического мышления есть структурирование информации, динамическое узнавание ситуации, формирование алгоритмов принятия решения и собственно выполнение этого решения. Применение учащимися метода математического моделирования при решении текстовых задач предполагает выполнение формирование алгоритма решения задачи, выделение структуры и взаимосвязей в задаче, внутримодельное решение задачи. Поэтому для учащихся также были выделены рекомендации к применению данного метода:

1)  необходимо тщательно анализировать задачные ситуации, выделять существенные связи между элементами задачи (важность первого этапа);

2)  на этапе построения модели следует как можно полнее переводить их на математический язык, описывать математически все выделенные существенные связи;

3)  на этапе исследования модели важно уметь правильно оперировать ею (решать уравнение, неравенство и т.д.);

4)  на четвертом этапе нужно аккуратно проводить интерпретацию полученного решения;

5)  необходимо не только проводить проверку правильности внутримодельного решения, но и уточнять соответствие построенной модели данной задачной ситуации.

С методикой применения метода математического моделирования можно ознакомиться на конкретном примере ниже.

Задача 3. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение задачи. Отвечаем на вопросы, поэтапно составляя таблицу.

1. Речь идёт о процессе движения, которое характеризуется тремя величинами: расстояние, скорость, время (3 столбца таблицы).

2. В задаче 3 процесса: движение скорого, пассажирского и товарного поездов (3 строчки таблицы).

Можно составить таблицу.

Величины Процессы	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
Скорый поезд
Пассажирский поезд
Товарный поезд

3. Заполняем таблицу в соответствии с условиями задачи.

4. Вводим неизвестные величины: x км/ч – скорость товарного поезда (x>0), у, ч – время движения скорого поезда (y>0).

Величины Процессы	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
Скорый поезд
Пассажирский поезд
Товарный поезд

5.  Составим модель:

6. Решаем эту систему. Из первого уравнения находим y. Из второго - находим x.

 (км/ч) – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

7. Проверка по условию задачи.

км/ч – скорость товарного поезда,

 (ч) – время движения товарного поезда.

 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд.

 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

 (ч) – время движения пассажирского поезда.

 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд.

ч – время движения скорого поезда.

 (км/ч) – скорость скорого поезда.

 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд.

Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.

Задача решена верно.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Анализируя вышеуказанное, можно подчеркнуть, что четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи.

Таким образом, использование модели при решении задач обеспечит качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупредит многие ошибки в решении задач учащимися.

Значение алгоритмического мышления велико. Такой тип мышления очень сильно помогает освоению многих знаний и навыков, в том числе и школьных предметов. Способность мыслить точно, формально, если это нужно, становится одним из важных признаков общей культуры человека в современном высокотехнологизированном мире.

Вот некоторые умения, которые требуется во многих сферах: разбиение общей задачи на подзадачи, умение планировать этапы и время своей деятельности, оценивать эффективность деятельности, понимать последовательные, параллельные, недетерминированные действия. Конечно, еще Гёте заметил, что «сущее не делится на разум без остатка». Но разум очень помогает в жизни. Когда говорят, что человек умеет думать, обычно, подразумевают развитое алгоритмическое мышление.

Список использованной литературы:

1.     Веников, В.А.  Теория подобия и моделирования / В. А. Веников. – М.: Высшая школа, 1986. – 480 с.

2.     Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Учебник для 7 кл. сред.шк. / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1990. – 272 с.

3.     Виноградова, Л.П. Обучение решению задач / Л.П. Виноградова // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. – 540 с

4.     Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием / А. Б. Горстко. – М.: Знание, 1991. – 160 с.

5.     Петухова, Л.И. О решении текстовых задач по математике. / Л.И. Петухова // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». – М.: Первое сентября, 2004. – 540 с.