Метод рационализации на примере задания № 15 ЕГЭ по математике.

План – конспект мастер-класса

Тема: Метод рационализации

(на примере логарифмических неравенств №15 ЕГЭ)

Педагог - мастер: учитель математики  МКОУ «Розгребельская СОШ».

Дата проведения: 25 октября 2016 года.

Место проведения: МКОУ «Большесолдатская СОШ».

Цель мастер- класса: продемонстрировать бесспорное преимущество метода рационализации при решении логарифмического неравенства с переменной в основании над традиционными методами.

Задачи:

 - изложить теоретическую основу метода;

-  показать применение метода на примере решения  логарифмических неравенств №15 ЕГЭ.

Оборудование : презентация, проектор, ноутбук.

Раздаточный материал: таблица равносильных преобразований.

При подготовке к ЕГЭ в №15 достаточно часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма. Я предлагаю вам обсудить методы решения такого вида неравенств. Решите, пожалуйста, в группах следующее неравенство:

Поднимите, пожалуйста, руки те, кто решал таким способом?

 

Как мы видим решение достаточно трудоемкое, и занимает много времени, кроме того, оно содержит неравенства с модулем, не очень любимые нашими учениками.

Метод рационализации, который можно применить при решении данного неравенства, на мой взгляд, устраняет эти недостатки стандартного решения.

Метод рационализации или декомпозиции (обобщенный метод интервалов) заключается в замене сложного выражения F(x ) на более простое G(x), при котором неравенство G(x)*0 равносильно неравенству       F(x ) * 0 на ОДЗ выражения F(x ).

Наиболее часто встречающиеся замены приведены в этой таблице:

Их доказательство приведено во многих математических пособиях, в том числе и у Ф.Ф.Лысенко – Решаем задания С₃ методом рационализации. Решение неравенств методом рационализации, опирается на следующий алгоритм.

Алгоритм применения метода рационализации.

1.Выписать условия, задающие ОДЗ исходного неравенства и найти ОДЗ.

2.Привести исходное неравенство к виду F(x ) * 0 .Все возможные слагаемые в левой части привести к общему знаменателю.

3.По возможности заменить все выражения на более простые.

4. Решить получившееся неравенство.

5. Записать ответ неравенства, учитывая ОДЗ исходного  неравенства.

Решим наше неравенство методом рационализации.

ОДЗ   

Используя замены №1 ,8 и 6, получим неравенство:

Вы согласны с тем, что данное решение проще для школьников?

Я сделала небольшую выборку неравенств, которые можно решать методом рационализации, из заданий ЕГЭ за прошлые годы и из пособий по подготовке к ЕГЭ. (И.В. Ященко).

Пример 1.

Решение: ОДЗ : 

Ответ:

Давайте, не решая полностью следующие неравенства, составим условия ОДЗ и осуществим замену исходного неравенства на более простое.

 

Пример 2.

Решение:  ОДЗ:  x<2,

 преобразуем неравенство: ,

используя 8 строчку таблицы, получим: ,

воспользуемся 1 заменой,

дальнейшие преобразования приведут к неравенству:,

используя 9 и 7 строку, получим:, далее заканчиваем решение неравенства методом интервалов.

Пример 3

ОДЗ:    

В данном неравенстве при нахождении условий ОДЗ, тоже использовали 1 и 9 замены.

Понятно, что решение снова сводится к методу интервалов.

Пример 4

Составьте условия ОДЗ и упрощенное неравенство, используя метод рационализации.

 

Ответ:

Пример 5.Это еще один пример неравенства, взятого из заданий ЕГЭ прошлых лет, в котором рационально использовать метод декомпозиции.

 

Пример 6.

В данном задании применяется следствие из теорем о равносильной замене.

Следствие:

 

Конечно, мы рассмотрели только небольшую часть заданий, которые можно решать методом рационализации. Как вы считаете, необходимо ли обучать данному методу наших учеников?