Методическая разработка на тему"Метод интервалов. Неравенства"

ОТКРЫТЫЙ УРОК В 9 «б» КЛАССЕ

9 класс алгебра учебник Макарычев

Тема урока: Решение неравенств методом интервалов.

Цели урока: 1) организовать работу по восприятию, осмыслению и первичному

закреплению решение неравенств методом интервалов;

2) способствовать формированию навыка решения и оформления

неравенств методом интервалов;

3) воспитывать познавательную активность, способствовать развитию

логического мышления, математической и общей грамотности.

Оборудование: ноутбук, проектор, раздаточный материал с текстами

самостоятельных работ, схемы -алгоритмы решения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

1. Организационный этап 4 минуты

Приветствие. Выявление отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний 17 минут

Сегодня мы начнем урок с математического диктанта. Заранее подготовлены листочки

Математический диктант.

Вариант 1

1. Какое уравнение с одной переменной называется целым?

2. Запишите пример целого уравнения с одной переменной второй степени.

3. Сколько корней может иметь уравнение с одной переменной третьей степени?

4. С помощью какого способа решается биквадратное уравнение?

5. Запишите пример биквадратного уравнения.

6. Дайте определение графика уравнения с двумя переменными.

7. Запишите пример уравнения третьей степени с двумя переменными.

8. Определите степень уравнения: 2х²у + 3ху³ – 1 = 0.

Вариант 2

1. Как найти степень целого уравнения?

2. Сколько корней может иметь уравнение с одной переменной второй степени?

3. Запишите пример целого уравнения с одной переменной третьей степени.

4. Какое уравнение с одной переменной называется биквадратным?

5. Сколько точек пересечения с осью Ох может иметь график функции у = 2х⁴ + 3х² – 1?

6. Какие способы решения системы двух уравнений с двумя переменными известны?

7. Запишите пример уравнения второй степени с двумя переменными.

8. Определите степень уравнения: 4х³у² – 2ху = 0.

Ответы:

Вариант 1	Вариант 2
1. Целым уравнением называется уравнение, у которого левая и правая части являются целыми выражениями	1. Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х) = 0, Р(х) – многочлен стандартного вида
2. х2 – 2 х = 0	2. Не более двух корней
3. Не более трёх корней	3. у3 + 2у – 1 = 0
4. Способ подстановки	4.
5. 2х4 + 3х2 – 1 = 0	5. Не более четырёх точек
6. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство	6. Графический способ, способ подстановки, способ сложения
7. 3х3 + 2х2 – х = 5	7. х2 – 2у = 3
8. 4	8. 5

Обмен тетрадями. Проверка учащимися 5 минут. На доске размещены ответы.

3. Новый материал.20 минут

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1.     Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

2.     Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

3.     Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

4.     Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Пример:

Решите неравенство:

(x − 2)(x + 7) < 0

Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x − 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x − 2)(x + 7) < 0

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Задача. Решите неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197 < 0.

Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0

Это неравенство вида f (x) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Это и есть ответ.

Решение № 327а,328б,329а, 332б

5.     Подведения итогов урока. Рефлексия. 2 минуты

Повторить алгоритм решения. Вопросы к ученикам (у детей имеются карточка красного- трудности, синего- всё понятно , зеленого цвета-имеются затруднения).

1.Понятна ли тема урока?

2. Возникли ли проблемы?

3.Довольны результатом?

6.     Домашнее задание 1 минута

Д.з. записано на доске

1. п.15 №327б,328а,329бв

2. учить алгоритм