Методическая разработка темы по математике "Тела и поверхность вращения"

Тела и поверхности вращения.

Цилиндр. Сечения цилиндра.

Слово цилиндр - означает от греческого слова “ валик ”, “ каток ”.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие

точки  окружностей этих кругов.

             

Виды цилиндра

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. 

Цилиндр называется наклонным, если его образующие не перпендикулярны плоскостям основания.

        

Определения элементов цилиндра

1.Основаниями цилиндра называются круги, полученные в результате вращения сторон прямоугольника, смежных со стороной принадлежащей оси вращения.

2.Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

3.Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

4.Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

5.Осью цилиндра называется прямая линия, проходящая через центры оснований.

Свойства цилиндра

1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.

 2. Образующие цилиндра параллельны и равны.

3. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

4.Боковую поверхность составляют образующие.

5. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой H и длиной 2R, и двух кругов.

6. Полная поверхность состоит из оснований и боковой поверхности.

Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением, является прямоугольником.

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей под углом к оси цилиндра, представляет собой эллипс.

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, представляет собой круг, равный основаниям цилиндра.

 Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т. е. перпендикулярной основанию), также получается прямоугольник.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.

Решение задач на тему «Цилиндр. Сечения цилиндра»

Задача №1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60⁰. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

                        Решение: а) h=48^.sin30⁰=24см, б) r=cм, в) S_осн.== см²

Ответ: 24см, см, см²

Задача №2.  Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

            Решение:

(ВС- хорда, треугольник ОВС – равнобедренный, ОМ перпендикуляр к ВС и делит ВС пополам)

ВМ=см

ВС=2ВМ=8 см

S_ABCD=AB^.BC=8^.8=64см²Ответ: 64 см²

Выполните тест по теме «Цилиндр»

Вариант №1 

1. Цилиндр нельзя получить вращением… 

1) треугольника вокруг одной из сторон; 

2) квадрата вокруг одной из сторон; 

3) прямоугольника вокруг одной из сторон.

2. Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его образующей, является… 

1) круг;     2) прямоугольник;       3) трапеция. 

3. На основаниях цилиндра взяты две  параллельные друг другу хорды, проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами… 

1) равно высоте цилиндра;        2) больше высоты цилиндра;    

  3) меньше высоты цилиндра. 

4. Боковой поверхностью цилиндра высотой H и диаметром основания d является квадрат. Тогда верно, что… 

   1) d = H;         2)    dH                      3)  d=R

5. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть… 

1) прямоугольник;      2) ромб;       3) параллелограмм. 

   Вариант №2 

1. Цилиндр можно получить вращением… 

1) трапеции вокруг одного из оснований; 

2) ромба вокруг одной из диагоналей; 

3) прямоугольника вокруг одной из сторон. 

 2.Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, является… 

1) круг;     2) прямоугольник;    3) трапеция. 

3. На основаниях цилиндра взяты две перпендикулярные друг другу хорды, проходящие через центры оснований.  

Тогда расстояние между хордами… 

1) равно образующей цилиндра;     2) больше высоты цилиндра; 

3) меньше образующей цилиндра. 

 4. Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R является квадрат. Тогда верно, что… 

1) H=R                  2)  H=D                        3) H R

5. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра не может быть… 

1) прямоугольник;     2) ромб;      3) квадрат. 

 Тест по теме: «Цилиндр» 

№ п/п вариант	1	2	3	4	5
1
2

                          Конус. Усеченный конус. Сечение конуса.

Слово конус - означает от греческого слова “ сосновая шишка ”.

Определение: Конусом называется тело, которое состоит из круга (основание конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками окружности основания.

Элементы конуса.    

1.Круг с центром О и радиусом r называется основанием конуса.

2.Отрезки, соединяющие вершину конуса с каждой точкой окружности основания, называются образующими конуса.

3.Радиус основания конуса называется радиусом конуса.

4.Высотой конуса называется перпендикуляр,опущенный из вершины конуса на его основание.

5. Осью  конуса называется  прямая линия, проходящая через центр круга и вершину конуса.

6.Боковую поверхность составляют образующие.

Виды конуса:

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Конус называется наклонным, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания,не перпендикулярна плоскости основания.

Конус называется прямым круговым, который получен вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

                                         Свойства прямого конуса:

     

1. Все образующие конуса равны.

2.Углы наклона образующих к основанию равны.

3.Углы между осью и образующими равны.

4.Углы между осью и основанием прямые.

5.Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

6. Ось прямого кругового конуса - эта прямая, которая содержит его высоту.

7.Полная поверхность состоит из основания и боковой поверхности.

8.Развертка конуса представляет собой круговой сектор, радиусом  которого является образующая, и круг.

9.Боковую поверхность составляют образующие.

                                    Сечения конуса

1.Если секущая плоскость проходит через ось конуса. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого – образующие конуса, а его основанием является

диаметр основания конуса.

2. Если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то сечение представляет собой круг с центром  расположенном на оси.

   

Существуют и другие сечения конусов, вид которых зависит от расположения секущей плоскости относительно оси.

Определение: Часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом.

 

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

OO1 — ось конуса и высота конуса.

AA1 — образующая конуса.

Круги с центрами O и O1 — основания усечённого конуса.

AO и A1O1 —радиусы оснований конуса

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO1 конуса -это равнобедренная трапеция AA1B1B.

Определения элементов усечённого конуса

1.Основаниями усеченного конуса называется основание данного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью.

2.Образующими конуса называются отрезки, образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усеченного конуса.

3.Радиусами усеченного конуса называются радиусы его оснований.

4. Высотой называется отрезок, соединяющей центры оснований усеченного конуса.

5.Боковой поверхностью усечённого конуса называется часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус.

6.Осью усеченного конуса называется прямая, соединяющая центры оснований.

Свойства усечённого конуса

1.Все образующие усеченного конуса равны между собой.

2. Полная поверхность усеченного конуса состоит из оснований и боковой поверхности.

3. Развёртка усечённого конуса представляет собой часть кругового кольца и два круга.

Решение задач на тему: «Конус. Усеченный конус. Сечение конуса»

Задача№1. Радиус основания конуса равен 5м, высота - 12м. Найдите образующую.

Решение: Радиус основания, высота и образующая конуса составляют прямоугольные треугольники с катетами 5 м (радиус) и 12м (высота). Вычислим  по теореме Пифагора  гипотенузу (образующая конуса):

 L=

Ответ: образующая равна 13м

Задача№2. Высота конуса равна 12м, образующая 13м. Найдите площадь осевого сечения.

Решение:  Площадь осевого сечения конуса (осевое сечение - равнобедренный треугольник) равна половине произведения высоты конуса на диаметр основания. Высота конуса, образующая и радиус основания составляют прямоугольный  треугольник.

 Вычислим радиус основания по теореме Пифагора:

R =

Диаметр основания в два раза больше радиуса, диаметр равен 5 2 = 10 м

Площадь осевого сечения равна:

S = 1/2  12 10 = 60 м²

Ответ: площадь осевого сечения равна 60 м²

Задача№3. Длины радиусов оснований и образующей усечённого конуса

Равны 7см, 15см и 17 см соответственно.  Вычислите его высоту.

Решение: Рассмотрим четырехугольник О₁А₁АО.

Это и есть прямоугольная трапеция с основаниями

О₁А₁ и АО. Высота трапеции является высотой усечённого конуса. Для того чтобы её найти, проведём из точки А₁ меньшего основания перпендикуляр на большее основание трапеции А₁М. Фигура О₁А₁МО является прямоугольником, значит,  противоположные стороны  равны, т.е. О₁А₁=ОМ=7 см, О₁О=А₁М=h.

Рассмотрим А₁АМ - прямоугольный (по построению). Катет МА=ОА-ОМ=15-7=8 см. Применим теорему Пифагора и найдём длину катета МА₁ . Получаем, что МА₁= см

Ответ: высота усечённого конуса равна15см.                                   

Выполните тест на тему: «Знаешь ли теорию по теме Конус»

1.Определение конуса	1.     Тело, ограниченное поверхностью и кругами. 2.     Тело, ограниченное конической поверхностью и двумя кругами. 3.     Тело, ограниченное конической поверхностью и кругами. 4. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.
2.Что представляет боковая поверхность конуса?	1. Овал 1.     Круг 2.     Прямоугольник 4. Сектор
3. Что представляет осевое сечение конуса?	1.     Овал 2.     Круг 3.     Прямоугольник 4. Треугольник
4. Что представляет сечение конуса, проведенное плоскостью, перпендикулярно оси?	1.     Овал 2.     Круг 3.     Прямоугольник 4. Треугольник
5. Площадь основания конуса.	1.     S=2πr2 2.     S=2πr 3.     S=πr2 4. S=2πrh
8.Вращением какой геометрической фигуры можно получить конус?	1.     Вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. 2.     Вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. 3.     Вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы. 4. Вращением прямоугольника вокруг диагонали.
9. Сколько образующих можно провести в конусе?	1. Одну.              2. Две. 3. Три. 4. Много

№ п/п вариант	1	2	3	4	5
1
2

Шар и сфера. Сечения шара. Касательная плоскость к сфере.

Слово сфера - означает от греческого слова “ мяч, шар».

Сферой называется поверхность, состоящая из  всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. 

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного..

Шар может быть получен вращением полукруга

вокруг его диаметра.

Элементы сферы (шара)

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Все радиусы одной сферы равны между собой.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Любой диаметр сферы равен двум радиусам . Диаметр называется осью шара , а его оба конца — полюсами шара . Поверхность шара называется сферой .

Как изобразить сферу(шар)

1.Отметить центр сферы (т.О)

2.Начертить окружность с центром т.О

3.Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)

4.Изобразить невидимую вертикальную дугу

 5. Изобразить видимую горизонтальную дугу (параллель)

                                                  6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу

                                                7. Провести радиус ОА=ОВ= R (диаметр АВ)

Сечения сферы (шара) плоскостью

Определения:

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

 Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую току – точку, причём все они лежат в касательной плоскости шара

Теорема: (О сечении сферы плоскостью)

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Следствие: Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.

.  Касательная плоскость к сфере (шару)

Плоскость и сфера (шар) радиуса R имеют общие точки, если выполняется неравенство d ≤ R (d - расстояние от центра сферы (шара) до плоскости).

Определения:

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Теорема: (Признак касательной плоскости)

 Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.

Теорема:(О свойстве касательной плоскости к сфере).

Касательная плоскость к сфере перепендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Части шара

   

                1                               2                                    3

1.Сферический (шаровой) пояс

2. Шаровой сектор

3.Сферический (шаровой) сегмент

Решение задач на тему: «Шар и сфера. Сечения шара. Касательная плоскость к сфере.»

   Задача №1

Условие: шар радиуса 25 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 24 дм от центра. Найти площадь сечения (рис. 1).Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1 и 2

Дано:

Решение:

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением). Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.  – радиус шара.

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда ;

Площадь сечения равна:

Ответ: площадь сечения равна .

Задача №2

Условие: расстояние от центра шара до секущей его плоскости равно 2 см. Площадь сечения шара плоскостью равна 16 см². Найти радиус этого шара.

Дано:

см²

Решение:

Смотри рис. 1.

 (рис. 1.  – центр шара,  – центр круга, который является сечением).

Пусть  – произвольная точка на окружности сечения.

 – радиус шара,  – радиус сечения.

Площадь сечения равна:

, тогда .

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора:

, тогда

.

Ответ: радиус шара равен  см.

Задача №3

Условие. Стороны треугольника  касаются сферы радиуса 5 см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости , если , ,  (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 3

Решение:Зная радиус сферы, нужно найти расстояние от центра до плоскости. Для этого достаточно найти радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью. Тогда из прямоугольного треугольника  ( – центр сферы,  – центр окружности сечения,  – точка на этой окружности) мы сможем найти искомое расстояние.

Найдем радиус окружности сечения. Она является вписанной для треугольника . Воспользуемся формулой: . Тогда ;

 – полупериметр.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

.

Соответственно: 

Найдем расстояние от центра сферы до плоскости.

Искомое расстояние – это катет треугольника  с гипотенузой 5 и другим катетом 4. Тогда легко показать, что .

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости  равно 3 см.

Тест по теме: «Сфера. Шар. Сечения сферы (шара), касательная плоскость к сфере. 

Вариант 1. 

1. Как называется поверхность, состоящая  из всех точек пространства,  расположенных    на данном расстоянии  

                             от данной точки? 

2.Как называется отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности? 

3.Вращением какой геометрической фигуры может быть получен шар? 

4.Как называется сечение шара плоскостью, проходящей через диаметр? 

5.Сколько можно провести касательных прямых к сфере через одну точку сферы? 

6.Как называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку? 

7.Вставьте пропущенное слово (слова): 

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, ____________    к  касательной плоскости. 

8.Чем меньше расстояние от центра шара до секущей плоскости, тем _________  радиус сечения. 

9.Линия пересечения двух сфер является ____________. 

10. Многогранник называется _______________________, если все его вершины лежат на сфере. 

11. Если в прямую призму вписан шар, то его центр лежит _____________________, проходящей через центры окружностей,  вписанных в основания призмы. 

Выберите верный вариант(ы) ответа: 

12. Если сфера касается всех граней многогранника, то она называется … 

  а) описанной около многогранника; 

    б) вписанной в многогранник; 

    в) касательной к многограннк 

Решите задачу:  

13. Прямоугольный параллелепипед  

описан около сферы радиуса 6 см.                               

Найдите площадь полной поверхности 

 параллелепипеда.        

  14. Найдите образующую цилиндра,   описанного около сферы радиуса 3 дм. 

   

Вариант 2. 

1.Как называется тело, ограниченное сферой? 

2.Вращением какой геометрической фигуры может быть получена сфера? 

3.Как называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр? 

4. Какая геометрическая фигура получается в сечении шара плоскостью? 

5. Как называется сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр? 

6. Сколько общих точек имеют сфера и плоскость, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы? 

 Вставьте пропущенное слово (слова): 

7. Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и прямой, _______________    к  этой прямой. 

8. Чем меньше  радиус сечения шара плоскостью,  тем _________  расстояние от центра шара до секущей плоскости. 

9.  Если в шаре проведены два больших круга, то их общий отрезок является _____________  шара. 

10. Если каждая грань многогранника является касательной плоскостью к сфере, то такой многогранник называется _____. 

11. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит __________________, проведённой через центр окружности, описанной около основания. 

Выберите верный вариант(ы) ответа: 

12.Если на сфере лежат все вершины многогранника, то она называется … 

  а) описанной около многогранника; 

    б) вписанной в многогранник; 

    в) касательной к многограннику.  

Решите задачу:  

13. В правильную четырёхугольную призму  

вписана сфера радиуса  4 см. Найдите  

площадь полной поверхности призмы.        

  14. Найдите радиус сферы, вписанной  

в цилиндр, образующая которого  

равна  16 м. 

№ п/п вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1
2