Методическая разработка урока «Признаки возрастания и убывания функции».

Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа   с применением цифровой образовательной платформы                      «Открытая школа 2035».

Тема урока: «Признаки возрастания и убывания функции».

Цель:

образовательная: изучить достаточные условия возрастания и убывания функций, научить применять понятие производной для нахождению промежутков монотонности функции;

·         развивающая: развитие навыков самоконтроля, внимательности; развитие мыслительной деятельности учащихся;

·         воспитательная: воспитание точности, аккуратности, ответственности за результаты своего труда и труда одноклассника.

Тип урока: урок формирования и первичного применения  новых знаний

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-репродуктивный.

Оборудование: презентация, интерактивная доска, платформа «Открытая школа 2035»

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа: Учебник  для 11 класса общеобразовательных учреждений: базовый и углубленный уровни/ А.Г.Мордкович,  и др.; под ред. А.Г.Мордковича. − 9-е изд., – М.: Мнемозина, 2020

2. ЕГЭ- 2022. Типовые варианты экзаменационных заданий о  разработчиков ЕГЭ, Математика. Профильный уровень. 50 вариантов.  Учебное пособие./ И.В.Ященко,  А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий и др. ,; под ред. И.В.Ященко; М.: Издательство «Экзамен», 2022.

План урока:

1. Организационный момент.

2.     Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности.

3.     Постановка учебной задачи.

4.     Построение проекта решения учебной задачи.

5.     Первичное закрепление.

6.     Самостоятельная работа на отработку нового способа действий по эталону. Промежуточный контроль через дифференцированные задания.

7.     Рефлексия деятельности (итог урока)  

8.     Домашнее задание.

Структура урока

1.   Организационный момент.

Учитель приветствует учеников, проверяет отсутствующих, готовность помещения к уроку.

Учитель:  В этом году вы познакомились с понятием производной функции, операцией дифференцирования.  Учились работать по формулам и правилам дифференцирования.  С помощью производной  можно изучить свойства функций. Сегодня нам предстоит выяснить, как именно можно применять производную к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.  

2.     Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности

Учитель: Вспомним понятия возрастания, убывания и  монотонности функции (Слайды2- 3 из образовательной платформы «Открытая школа 2035». Раздел Алгебра и начала анализа. 11 класс. Блок « Производная и ее применение.  Применение производной к исследованию функции»)

  

Учитель:  Предлагаю интерактивные упражнения  из образовательной платформы ( Слайды 4-6, 8)

     

Пример №44. 3 Представлен график производной функции у=f(x). На каком из указанных промежутков функция убывает?

Итог этапа: по результатам работы учащиеся констатируют:  пример №44.3 для них является невыполнимым.

3.     Постановка учебной задачи 

(Выявление того, где и почему возникло затруднение; Постановка цели урока, связанной с устранением причины затруднения; Формулировка темы урока.)

Учитель:   И так, что же нам сделать, чтобы решить проблему?  Какими будут цели урока? (Ответы: Найти связь между монотонностью и производной. Создать алгоритм решения задач на поиск промежутков монотонности функции….) А как мы сформулируем тему урока в связи с поставленными целями?

4.     Построение проекта решения учебной задачи.

Учитель: Для решения учебной задачи предлагаю вам выполнить небольшое исследование.  Выполнение работы и фиксация результатов деятельности  производится работа в парах. Заполнить таблицу

	Функция	Производная	Монотонность функции на промежутках, где  f′(x) > 0	Монотонность функции на промежутках, где f′(x) < 0
1	f(x) = x3 – x2+ 5
2	f(x) = x3 + 6x2- 10
3	f(x) = x4 -3x2-13
4	f(x) = 2х3 -8х

Обобщая итоги работы,  обратить внимание на рисунок 231 из учебника.  Учитель подтверждает верность итогов  формулировкой  теорем о достаточном условии возрастания  и убывания функций ( теорема 1 и 2) 

Теорема 1.

Если  во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство    0(причем  равенство   лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция  возрастает на промежутке Х.

Теорема 2.

Если  во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство    0, (причем  равенство   лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция  убывает на промежутке Х.

Итог этапа. Делается вывод, что цели изучения достаточных условий возрастания и убывания функций, мы достигли.

(выполняется решение задачи №44.3, 44.4, 44.5 – устно)

Организуется беседа с учащимися о возможности создания алгоритма. В ходе обсуждения  следует подвести их к выводу, что для того, чтобы исследовать функцию на монотонность, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые  некоторые особые точки разбивают область определения функции. Через фронтальное обсуждение фактически составляется алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность

Учитель: Давайте запишем алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания:

Алгоритм:

1.     Указать область определения функции.

2.   Найти производную функции y=f(x). Решить уравнение

3.   Определить промежутки, в которых >0 и  <0.

4.     Сделать выводы о монотонности функции.

Обобщая итоги работы,  учитель  предлагает  пример (Упражнение 4 слайд 13 из платформы Открытая школа 2035)

   

5.     Первичное закрепление.

Учитель: № 44.29.  Определить промежутки монотонности  функции.

Сначала находим производную этой функции.

f '(x)= 3х²-3.

Затем производную   приравниваем к нулю и находим значения х.

f '(x)=0, т.е. 3х²-3=0; х=-1, х=1.

После этого отмечаем значение х на числовой оси и выясняем какие знаки будут на интервалах.

f '(x)

                     ^{+                                  -                                    +}               

                              -1                            1

f (x)

Делаем вывод: т.к. f '(x)>0 на интервале (-∞;-1 и (1; +∞) ), то функция f(x) - возрастает;

а на интервале (-1; 1) функция f(x) -убывает, т.к. f '(x)<0.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.

6.     Самостоятельная работа на отработку нового способа действий по эталону. Промежуточный контроль через дифференцированные задания.

Выполняются  упражнения 14и 15 ( слайды 29-30)

       

Задания из учебника № 44.21, 44.22

 Проверка решений по слайдам

№44.21.

а)  . Область определения D(y)= (-∞;-, (; +∞) , 

у′=  ,   у′=0,  , нет точек экстремума   у′ при любых х. Значит  функция  возрастает  на всей области определения.

б) а)  . Область определения D(y)= (-∞;-1,5, (-1,5; +∞) , 

у′=  ,   у′=0,  , нет точек экстремума.  у′ при любых х. Значит  функция  убывает  на всей области определения.

№44.22

а) у=   Область определения D(y)=

у′=  ,  у′=0,    нет точек экстремума   у′ при любых х. Значит  функция  возрастает   на

г)  у= - х   Область определения D(y)=

у′=  ,  у′=0,    х=1,5 

 

f '(x)

                                                       ^{+                                    -}               

                                0,5                               1

f (x)

Значит,  функция  возрастает   на (0,5; 1)  и  убывает на (1; + 

(По окончании урока учитель проводит проверку выполненных заданий у желающих сдать свою работу)

7.     Рефлексия деятельности

На этом этапе проговариваются выводы, сделанные учащимися в ходе практической работы, отмечаются позитивные моменты урока, и, обязательно, надо отметить то, что каждый ученик на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт.

Учитель: Итак, урок подходит к концу, давайте подведем итоги. Назовите тему Ученик: Признаки возрастание и убывание функции.

Учитель: При каких значениях производной функция возрастает?

Ученик: Функция возрастает, когда производная больше нуля. f '(x)>0.

Учитель: При каких значениях производной функция убывает?

Ученик: Функция убывает, когда производная меньше нуля. f '(x)<0.

Учитель: При каких значениях производной функция постоянна?

Ученик: Функция постоянна, когда производная равна нулю. f '(x)=0.

8.     Домашнее задание

Учитель: Записываем домашнее задание: учебник п.44 §1 выучить теорему 1,2 и определения, № 44.23, 44.25, 44.26 (из учебника  задания профильного уровня).

 Платформа «Открытая школа 2035» задания №11-13 , Тренажер ЕГЭ )

Выставление оценок.

Урок окончен.