Методическая разработка занятия на тему: "Определенный интеграл"

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина	Математика
Тема	Определенный интеграл, его свойства. Непосредственное интегрирование
Цели занятия	Образовательные цели: Ø ввести основные понятия и формулу Ньютона-Лейбница, рассмотреть свойства определенного интеграла и геометрический смысл; Ø сформировать умения вычисления определенного интеграла; Ø применять полученные знания при решении задач. Развивающие цели: Ø развитие логического мышления; Ø развитие математической речи; Ø развитие памяти и внимания. Воспитательные цели:  Ø развитие навыков вычислительной культуры; Ø развитие трудолюбия и аккуратности; Ø развитие самостоятельности и настойчивости.
Тип занятия	По основной дидактической цели: изучение нового материала; По способу проведения: лекция с элементами беседы.
Общие методы обучения	По источнику знаний: словесный, наглядный, практический; По характеру познавательной деятельности: эвристический.
Специальные методы обучения	анализ, синтез, обобщение
Формы обучения	фронтальная
Оборудование	меловая доска, мел, карточки с заданиями
Этапы занятия	1) организационный момент (5 мин); 2) актуализация знаний (15 мин); 3) изучение нового материала (35 мин); 4) закрепление нового материала (30 мин); 5) постановка домашнего задания (3 мин); 6) итог занятия (2 мин).

Литература:
1. Богомолов, Н. В. Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 401 с. – (Серия: Профессиональное образование). https://biblio-online.ru/viewer/D70C4F85-E465-42CA-BBD3-F7EC185EB415/matematika#page/1

2. Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 1: учеб. Пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 439 с. – (Серия: Профессиональное образование). https://biblio-online.ru/viewer/C1FB959D-9DE5-43C8-838D-BB7FE441593D/matematika-zadachi-s-resheniyami-v-2-ch-chast 1#page/1

3. Богомолов, Н.В. Математика. Задачи с решениями. В 2 ч. Часть 2: учеб. Пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 439 с. – (Серия: Профессиональное образование). https://biblio-online.ru/viewer/69336BB2-F937-41DD-BD3D-0FACBD8BCB29/matematika-zadachi-s-resheniyami-v-2-ch-chast-2#page/1

СХЕМА ДОСКИ НА НАЧАЛО ЗАНЯТИЯ

Определенный интеграл, его свойства. Непосредственное  интегрирование.

дата

ХОД ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ (5 МИНУТ)

Деятельность преподавателя:
Здравствуйте, ребята, присаживайтесь. Сегодня на занятии мы продолжим изучение интегрального исчисления. Целью нашего занятия будет знакомство с так называемым определенным интегралом, нам необходимо рассмотреть его свойства, геометрический смысл, а также узнать историческую справку и, конечно же, нахождение определенного интеграла нужно закрепить на практике. Откройте свои тетради, запишите дату и тему занятия.
Деятельность обучающихся:
Приветствие преподавателя. Запись в тетради даты и темы занятия: «Определенный интеграл, его свойства. Непосредственное интегрирование».

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ (15 МИНУТ)

Деятельность преподавателя:
Прежде чем приступить к изучению нового материала, я предлагаю вспомнить, что нахождение производных и нахождение первообразных – это две взаимно-обратные операции. На доске вы можете видеть таблицу, в которой задана функция f(x), а нам необходимо для данной функции найти производную и первообразную.
Примечания:
Опрос проводится по цепочке, в случае затруднения при ответе вместе с группой вспоминаем формулу, а затем даем возможность обучающемуся ответить на поставленный ранее вопрос.
Деятельность обучающихся:
Работают устно, следят за ходом работы у доски, дополняют друг друга. В ходе работы вспоминают, что называют производной функции f(x), первообразной F(x), неопределенным интегралом, а также таблицы производных и первообразных
Примечания:
После окончания работы таблица на доске выглядит следующим образом:

Деятельность преподавателя:
Вот мы с Вами и заполнили таблицу, ответили на вопросы, вспомнили прошлый материал и готовы узнавать новое.

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА (35 МИНУТ)

Деятельность преподавателя:
Давайте рассмотрим задачу, которая звучит следующим образом:
пусть в декартовой прямоугольной системе координат дана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции  на отрезке .

Такую фигуру мы назовем криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, отметим это в тетради.

Деятельность обучающихся:
Обучающиеся внимательно слушают, конспектируют материал.
Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная отрезками прямых
 и графиком непрерывной функции .

Деятельность преподавателя:
Сейчас мы рассмотрим способ нахождения площади криволинейной трапеции. Для простоты будем считать функцию f неотрицательной и непрерывной на отрезке
[а; b] тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом:

o   Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков одинаковой длины точками

 = а <  <  < … < <  = b. 

o   На каждом из отрезков [x_k-1; x_k] постоим прямоугольник высотой
f(x_k-1). Сумма всех этих прямоугольников приблизительно равна площади нашей криволинейной трапеции.

         Чем меньше отрезки, на которые мы разбиваем функцию, т.е. чем больше этих отрезков, тем ближе объединение всех прямоугольников походит на нашу трапецию, т.е. почти совпадает с ней.

         Мы говорим, что →S, при n→¥. Для любой непрерывной на отрезке функции  стремится к некоторому числу. Это число называют ИНТЕГРАЛОМ ФУНКЦИИ f от a до b. И обозначают . Числа a и b называют пределами интегрирования, знак  интегралом, а f(x) подынтегральная функция, а переменная х – переменной интегрирования.

Деятельность обучающихся:
- обозначение определенного интеграла, где
a – нижний предел интегрирования;
b – верхний предел интегрирования;
[а; b] – отрезок интегрирования;
f(x) – подынтегральная функция;
 – дифференциал.

Деятельность преподавателя:

Для вычисления определенного интеграла обычно используется следующая формула:

которая получила своё название: формула Ньютона-Лейбница.
         В 1708 году вспыхнул печально известный спор Лейбница с Ньютоном о научном приоритете открытия дифференциального исчисления. Известно, что Лейбниц и Ньютон работали над дифференциальным исчислением. Известно также, что Ньютон создал свою версию математического анализа, «метода флюксий», хоть и опубликовал свои результаты лишь много лет спустя; Лейбниц же первым опубликовал исчисление бесконечно малых и разработал символику, которая оказалась настолько удобной, что ее используют и на сегодняшний день. Поэтому эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница. 
         Итак, мы с вами рассмотрели понятие определенного интеграла, решив задачу, какой же вывод можно сделать? В чем, по-вашему, мнению, заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Деятельность обучающихся:
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в нахождении площади криволинейной трапеции.

Деятельность преподавателя:
Верно. Если мы желаем  произвести проверку правильности нахождения интеграла до подстановки пределов, такая же как и проверка правильности нахождения площади криволинейной трапеции: нужно найти производную полученного выражения и если оно совпадет с подынтегральной функцией, то интеграл найден верно и может подставлять пределы интегрирования.

Рассмотрим пример применения формулы для решения задач.

Пример 1. Вычислим:

Пример 2.

Пример 3.

 Деятельность обучающихся:
Решают примеры вместе с преподавателем, отвечают на вопросы, задают вопросы по решению.

Деятельность преподавателя:
Сейчас мы обозначаем интеграл так, потому что мы выяснили, что интеграл это число, равное сумме площадей прямоугольников, из которых составлена криволинейная трапеция. А первая буква в слове сумма на латинском языке
Summa – S. Если ее вытянуть, то получится знак ò. А как же пришли к такому обозначению математики?

         Ньютон использовал в качестве символа интегрирования значок квадрата (перед обозначением или вокруг нее):  или 
         Современное обозначение интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из буквы S  сокращения слова лат. summa.
         Современное обозначение определенного интеграла с указанием пределов интегрирования были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в
1819-1820 годах.

Деятельность обучающихся:
Решают задачи вместе с преподавателем, отвечают на вопросы по ходу решения, задают вопросы в случае затруднения.

Деятельность преподавателя:
Итак, а какими же свойствами обладает определенный интеграл? Это мы сейчас и узнаем, напишем подзаголовок: «Свойства определенного интеграла»
1)

2)

3) , где С – const

4)

5)

ЗАКРЕПЛЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА (30 МИНУТ)

Деятельность преподавателя:
Раздача карточек с заданиями. Решение задач проходит у доски самими обучающимися, преподаватель контролирует решение.

Деятельность обучающихся:

ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (3 МИНУТЫ)

Деятельность преподавателя:
Наше занятие подходит к концу, пора записать домашнее задание, чтобы вы самостоятельно закрепили нахождение определенного интеграла дома.  Обязательно повторите конспект занятия.

ИТОГ ЗАНЯТИЯ (2 МИНУТЫ)

Деятельность преподавателя:
Скажите, у кого остались вопросы? Всё ли у Вас получилось сегодня на занятии?
В чем возникли трудности?

Деятельность обучающихся:
Обучающиеся делятся своими впечатлениями о занятии, обсуждают затруднения, возникшие на занятии, методы их устранения.

Деятельность преподавателя:
Вот и подошло к концу наше занятие, дежурных попрошу собрать карточки с заданиями, а также всех благодарю за работу. До свидания.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 

Решение домашней работы