Методические рекомендации к выполнению внеаудиторных самостоятельных работ обучающихся по дисциплине «МАТЕМАТИКА ЕН.01» для специальности 44.02.02 «Преподавание в начальных классах» (по программе углубленной подготовки)

Скачать материал

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Добрянский гуманитарно–технологический техникум им. П. И. Сюзева»

Методические рекомендации

к выполнению внеаудиторных

самостоятельных работ обучающихся

по дисциплине «МАТЕМАТИКА ЕН.01»

для специальности 44.02.02 «Преподавание в начальных классах»

(по программе углубленной подготовки)

форма обучения - очная

Добрянка, 2021

Рассмотрено на заседании П(Ц)К Общеобразовательных, гуманитарных и естественнонаучных дисциплин Протокол №_____________	ОДОБРЕНО методическим советом ГБПОУ ДГТТ им. П.И. Сюзева
«__» _____________________ 2021 г.	Протокол № __ от «__» ____________ 2021
Председатель П(Ц)К Общеобразовательных, гуманитарных и естественнонаучных дисциплин	Заведующий структурным подразделением
_________________ Г.П. Трушникова	________________ М.К. Рябкова

Составители: Трушникова Галина Петровна, преподаватель ГБПОУ «Добрянский гуманитарно-технологический техникум им. П.И. Сюзева»

Рецензенты:

Внешние:

Содержание:

Пояснительная записка………………………………………………………………………..4

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Основы дискретной математики»……6

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Элементы вычислительной математики»…………………………………………………………………………………...14

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Решение текстовых задач»…..…….....18

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Геометрические фигуры на плоскости и в пространстве»………………………………………………………………………………..25

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Методы математической статистики»25

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Основы дифференциального и интегрального исчисления»………………………………………………………………….30

Внеаудиторная самостоятельная работа по теме «Элементы линейной алгебры»……….43

Литература…………………………………………………………………………………….49

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по дисциплине «Математика. ЕН. 01» предназначены для обучающихся по специальности: 44.02.01« Дошкольное образование»

Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине «Математика».

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по специальности, опытом творческой и исследовательской деятельности и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Самостоятельная работа студентов проводится с целью:

-систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений и навыков студентов;

- углубления и расширения теоретических и практических знаний;

- формирования умений использовать специальную, справочную литературу, Интернет;

- развития познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

-формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

- развития исследовательских знаний.

Самостоятельные работы являются важным средством проверки уровня знаний, умений и навыков.

Массовой формой контроля являются экзамены. Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при решении задач;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями ФГОС.

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, цели работы, задания, основной теоретический материал, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, формы контроля, требования к выполнению и оформлению заданий. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведено учебно-методическое и информационное обеспечение.

Перечень видов самостоятельной работы представлен в таблице 1.

Таблица 1

№ темы	Кол-во часов	Вид самостоятельной работы	Форма контроля
1-7	2-4	Работа с конспектом с последующим выполнением заданий	Проверка выполнения предложенных заданий
1-7	2-4	Подготовка к практическим занятиям	Проверка выполнения предложенных заданий
4	4	Подготовка презентаций	Защита презентаций
1-7	2	Решение задач	Проверка выполнения предложенных заданий
7	6	Подготовка к дифференцированному зачету	Проверка выполнения предложенных заданий

Указания к выполнению ВСР

1. ВСР нужно выполнять в отдельной тетради в клетку. Необходимо оставлять поля шириной 5 клеточек для замечаний преподавателя.

2. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

3. Оформление решения задачи следует завершать словом «Ответ».

4. После получения проверенной преподавателем работы студент должен в этой же тетради исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Вносить исправления в сам текст работы после ее проверки запрещается.

5. Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения ВСР производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица).

Процент результативности (правильных ответов)	Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
Процент результативности (правильных ответов)	балл (отметка)	вербальный аналог
90 ÷ 100	5	отлично
80 ÷ 89	4	хорошо
70 ÷ 79	3	удовлетворительно
менее 70	2	неудовлетворительно

Тема 1 «Основы дискретной математики».

Самостоятельная работа

Цель:

- ознакомиться с понятием множества;

- ознакомиться со способами задания множеств;

- ознакомиться с основными видами множеств

- изучить операции над множествами;

- изучить свойства операций над множествами

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

Самостоятельная работа с конспектом лекций

Решение дополнительных примеров

Тема «Множества. Способы задания множеств»

Множества.
Множество - совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. Элемент множества - объект А называется элементом множества, если он обладает характеристическим свойствами этого множества.
Способы задания множеств.
1) Перечислением - при перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки:
{2,4,6,...} — множество четных чисел,
{3,6,9,...}— множество чисел кратных трем.
Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.
2) Описание свойств - для задания (описания) некоторого множества
X, состоящего из элементов, обладающих свойством α, используют запись X={x |α(x)}. Читается как: «X — множество элементов x таких, что α(x)". Например, Y={y | y∈N и y<7} — множество натуральных чисел, меньших 7.
Характеристическое свойство множеств.
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.
Равные множества, подмножества.
Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:

$(A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).$

Универсальное множество.
Определение: Универсальное множество — это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области.
Конечные и бесконечные множества.
Множества, состоящие из бесконечного числа элементов, называются бесконечными, из конечного – конечными.
Пустое множество.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. ∅
Основные числовые и геометрические множества.
Z− множество целых чисел;
Q− множество рациональных чисел;
I− множество иррациональных чисел;
R− множество действительных чисел;
C− множество комплексных чисел.

Образцы решения заданий

Пример 1. Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех положительных чисел.

Ответ: .

Пример 2. Задать перечислением элементов множества, заданные указанием характеристического свойства элементов:

. Ответ: М = {1; 2; 3; 4}.

Пример 3. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой:

Примеры для самостоятельного решения.

Задание 2.Выполните указанные примеры.

1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

б) животных;

в) растений;

г) геометрических фигур;

д) населенных пунктов;

е) водоемов;

ж) политических деятелей.

2. Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

3. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

а) восьмиугольник;

б) параллелограмм;

в) отрезок;

г) параллелепипед;

д) круг;

е) полукруг?

4. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

5. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний истина, а какие ложь:

а) 270 N; ж) -3 Z;

б) 0 N; з) Q;

в) –3 N; и) R;

г) 1 Q; к) sin 2,3 R;

д) –7 N; л) tg R.

е) 22 N;

6. Пусть Е – множество европейских государств, А – множество азиатских государств. Какие из следующих высказываний истина, а какие – ложь?

а) Франция Е; з) Волга Е;

б) Испания Е; и) Нигерия А;

в) Монголия А; к) Гималаи А;

г) Индия А; л) Япония А;

д) Ирак Е; м) Альпы Е;

е) Турция А; н) Швеция А.

ж) Байкал А;

7. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен .

8. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) множество различных букв в слове «головоломка»;

б) множества цифр числа 134433154.

9. Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства с одним неизвестным x:

а) x > 5,3;

б) x ≤ –3,8;

в) – 4,5 ≤ x < 4;

г) 2,7 ≤ x ≤ 9.

10. Выясните, множество решений какого неравенства изображено на числовой прямой в каждом случае:

11. Найдите длину каждого из следующих множеств и назовите их элементы:а) {а}; б) {{а}}; в) ; г) {}; д) {{ a; b }, { а }}; е) {{ a; b; c}, а }; ж) {{ а }, а, }.

2) Из каких элементов состоят следующие множества:

а) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1 и 3;

б) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1, 3, 5, причем так, что никакие две цифры не встречаются дважды;

в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 так, что любые две соседние цифры различны;

3) Задайте перечислением элементов множество делителей числа 36. Можно ли задать таким образом множество чисел, кратных числу 36?

Тема «Операции над множествами»

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, тоАΔВ = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A
A∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Образцы решения заданий

Пример 1. Найдите объединение, разность и пересечение множеств А и В, если

А = {x x R , – ≤ х ≤ }, В = {x x R , – ≤ х ≤ 2}.

Решение. Если изобразить данные множества на числовой прямой, то объединение А В есть часть прямой, где имеется хотя бы одна штриховка, т. е. отрезок [–; 2]. Другими словами,

А В = { x x R , – ≤ х ≤ 2}.

Пример 2. Доказать, что для любых множеств А, В, С верно:

А (В С) = (А В) (А С).

Решение. 1) Пусть А ≠ Ø, В ≠ Ø, С ≠ Ø. Обозначим А (В С)=М₁_,(АВ) (А С) = М₂_.Для того чтобы доказать, что М₁ =М₂, нужно показать, что

а) если x М₁_,то x М₂;

б) если x М₂_,то x М₁_.

Рассмотрим случай (а):

Итак, если x М_2
,то x М_1.

Значит, т. е. М₁=М_2.

2) Если А = Ø, то М₁=В С, М₂=В С, т. е. М₁= М_2.

Если В = Ø, то М₁=А Ø = А, М₂=А (А С) = А, т. е.
М₁= М_2.

Аналогично, если C = Ø. Если А = В = С = Ø, то М ₁= Ø, М_2. = Ø,
т. е. М₁= М_2.

В итоге мы можем сказать: для любых множеств А, В и С верно:

А (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C).

Пример 3. Доказать, что для любых множеств А и В верно:

Решение. 1) Пусть А Ø, В Ø и = М₁, = М_2.

Значит, М₁М₂и М₂ М_1,т. е. М_{1 =}М₂_.

2) Если А=Ø, то М₁= , М₂= J=, т.е. М₁= М₂_.

Аналогично, если В = Ø.

3) Если А = В = Ø, то М₁ =J, М_2.= JJ = J, т.е. М₁= М_2.

Примеры для самостоятельного решения.

Задание 2. Выполните указанные примеры.

1. Найдите объединение, пересечение, разность множеств А и В, если

а) А = ;

б) А = , В = ;

в) А = , В = .

2. Даны множества: А – тупоугольных треугольников, В – прямоугольных треугольников, С – треугольников с углом в 50^{0 .}Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна, выделив штриховкой область, изображающую множество (А В) С.

3. S – множество правильных многоугольников, Т – множество прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т. Какие из фигур, изображенных на рис 9, принадлежат пересечению множеств S и Т, а какие – их объединению?

4. А – множество натуральных чисел, кратных 3, В – множество натуральных чисел, кратных 7. Задайте характеристическим свойством элементов множество А \ В и назовите три числа, принадлежащих этому множеству.

5. Пусть А = {2; 3; 4; 5; 7; 10}, В = {3; 5; 7; 9}, С ={4; 9; 11}. Найти длину множества:

а) А (В С);

б) (С В) А;

в) А (В С);

г) А (В С);

д) А (В С).

6. Пусть A = N.

Верно ли, что

а) – 4 A; г) –8 A;

б) 0 A; д) –5,3 A;

в) 13 A; е) 1,2 A ?

7. Найдите дополнение к множеству А до множества Z, если

а) А = {х | х Z , х = 2k + 1, k Z };

б) А = {х | х Z , х = 3k, k Z };

в) А = {х | х Z , х = 4k + 1, k Z }.

8. Найдите дополнение в множестве всех треугольников к множеству:

а) всех равносторонних треугольников;

б) всех равнобедренных треугольников;

в) всех прямоугольных треугольников.

9. Для любых множеств А, В, С доказать, что:

а) А (В С) = (А В) (А С);

б) А (А В) = А;

в) А (А В) = А;

г) А Ø = А;

д) А Ø = Ø;

е) В (А \ В) = Ø;

ж) (А \ В) \ С = (А \ С) \ (В \ С);

з) А \ ( А \ В) = А В;

и) В (А \ В) = А В.

Результат проиллюстрировать на кругах Эйлера – Венна.

10. Докажите, что для любых подмножеств А и В универсального множества J справедливы следующие равенства:

11. Даны следующие пары множеств:

1) А = {а; б; в; г; д; е}, В = (а; в; д; ж);

2) А = {а; б; в}, В = {а; б; в; г; д};

3) А = {г; д; е}, В = {а; б; в};

4) А = {е; д; г}, В = {г; д; е};

5) А = {2; 4; 6; 8}, В = {2};

6) А = {8; 10; 12,...}, В = {2; 4; 6; 8,…};

7) А = {1; 2; 3; 4,….}, B = {1; 4; 9; 16,….};

8) А = {х|х = 2n, n N, n ≤ 30}, B = {x|x = 3n, , n N, n ≤ 20};

9) А – множество нечетных натуральных чисел,

В – множество простых чисел, больших чем 2;

10) А – множество четных натуральных чисел,

В – множество простых чисел, больших чем 2.

Задание: а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;

б) связаны ли пары одним из соотношений: =, , ;

в) найдите пересечение А В;

г) найдите разность А \ В;

д) найдите А В;

е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

12. Проверьте равенство множеств

1) а) А = (А В) ;

б) \ = (А \ В) А;

в) (А \ В) \ С = (А \ В) \ (С\В).

2) а) А = () А;

б) В \ А = (А В) ;

в) А \ (В \ С) = (А \ С) \ (В \ С).

3) а) В = (А В) ;

б) В \ А = (А В) ;

в) (А \ В) \ С = (А \ С)\ (В \ С).

4) а) А = ( ) А;

б) В \ А = (А ) ;

в) (А \ В) \ С = (А \ В) (А \ С).

5) а) А В = А \ (А );

б) А В = В (А\В);

в) А \ (В С) = (А \ В) \ (С \ В).

6) а) А В = В \ (В );

б) А В = А ( \ );

в) А (В \ С) = (А В) \ (С \ А).

7) а) В = (А В) ;

б) А \ = (А ) ;

в) (А \ С) \ С = (А \ В) (А \ С).

8) а) А В = ( В) \ ;

б) А В = В ( \ );

в) А \ (В \ С) = (А \ В) (А \ С).

9) а) А В = А \ (А \ В);

б) \ = (А В) ;

в) А (В \ С) = (А В) \ С.

10) а) А В = А \ ( \ );

б) В \ А = ( ) А;

в) (А \ В) \ С = А \ (В С).

Вопросы для самопроверки.

1. Множества А, В, С изображены с помощью кругов Эйлера-Венна. Множество М – результат некоторого действия с множествами А, В, С – отмечено в диаграмме Эйлера-Венна штриховкой.

2. Записать два варианта формул получения множества М через множества А, В, С.

Контроль знаний обучающихся:

- проверить практическую работу;

Контроль знаний обучающихся:

- проверить самостоятельную работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Тема 2. «Элементы вычислительной математики».

Самостоятельная работа:

Цель:

- закрепление навыков работы с приближенными числами, умения вычислять абсолютной и относительной погрешностей

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2. Самостоятельная работа по подготовке к практической работе

1Правила приближенных вычислений
ПОНЯТИЕ	ОПРЕДЕЛЕНИЕ	ПРИМЕР ИЛИ ПРИМЕЧАНИЕ
Приближенные вычисления	Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте.	Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Погрешности	Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется *погрешностью* данного приближенного числа. Модуль разности точного и приближенного значений величины называется *абсолютной погрешностью* приближения величины. Отношение называется *относительной погрешностью*; последнюю часто выражают в процентах.	3,14 является приближенным значением числа , погрешность его равна 0,00159..., абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Значащие цифры	все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться.	Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 ^.10²или 0,524 ^.10⁵. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число a = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что относительная погрешность 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. а = 47,5
Округление	Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить.	При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Действия над приближенными числами	Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

Задание 2.Решить задания из указанного преподавателем варианта.

ВАРИАНТ – 1

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа:

2,645 25,689

2. Округлить с точность до 1 следующие числа:

17,349 0,785

3. Округлить с точностью до 1000 следующие числа:

4382 72356

4. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что - 0,143 является приближенным значением для .

5. Округлить число 21,345 тремя способами, найти ошибки округления.

6. Выполнить действия:

а) 428, 263+107,316+264,2+748,35;

б) найти с точностью до 100

283,425+15627,321+17216,35.

ВАРИАНТ – 2

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа:

0, 428 16,452

2. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285 60,605

3. Округлить с точностью до 1000 следующие числа:

1835 10428

4. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,777 является приближенным значением для 7/9.

5. Округлить число 18,315 тремя способами, найти ошибки округления.

6. Выполнить действия:

а) 15,283+4,04527+8,253741+17,52;

б) найти с точностью до 0,01

564,375+7489,296+114,206+748,601.

ВАРИАНТ – 3

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа:

8,993; 81,341

2. Округлить с точность до 1 следующие числа:

34,931; 2,501

3. Округлить с точностью до 1000 следующие числа:

64975; 6872,73

4. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,444 является приближенным значением для 4/9.

5. Округлить число 31,317 тремя способами, найти ошибки округления.

6. Выполнить действия:

а) 12030+645,29+478,5+1652,375;

б) найти с точностью до 100

563+14879+74596+23702.

ВАРИАНТ – 4

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа:

10,328; 15,1613

2. Округлить с точность до 1 следующие числа:

785,501; 0,499

3. Округлить с точностью до 1000 следующие числа:

16765; 1335,42

4. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,273 является приближенным значением для 3/11.

5. Округлить число 24,815 тремя способами, найти ошибки округления.

6. Выполнить действия:

а) 26,35+1400+729,3+745,68;

б) найти с точностью до 0,01

172,350+113,215+712,305+546,554.

Умножение приближенных значений чисел.

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного) сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем границу абсолютной погрешности произведения (частного).

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице (см. лекцию 4).

Пример 1. Найти верные цифры произведения приближенных значений чисел a = 0,3862; b = 0,8

Имеем 0,3862 = 0,30896. Границы абсолютной погрешности сомножителей равны 0,00005 и 0,05. Находим относительную погрешность произведения
= 0,063

Находим границу абсолютной погрешности произведения:

(ab)= 0,30896 = 0,0195; 0,005<0,0195<0,05.

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых): 0,30896

Пример 2. Вычислить объем цилиндра V = если = 45,8 см,

= 78, 6 см. Указать верные цифры ответа.

Имеем V = 45,8² = 517000 см³. Используя формулу для нахождения относительной погрешности и , находим:

Находим границу абсолютной погрешности

³.

Верными цифрами являются5 и 1.

Примеры для самостоятельного решения.

1. Найдите произведение чисел 0,456 и 3,350,005 и относительную погрешность произведения.

2. Диаметр окружности равен 12,5Полагая

бсолютной погрешности.

3. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда по формуле

abh, еслиa = 7,8; b = 4,6; h = 9,3. Сколько верных значащих цифр получится в ответе?

Деление приближенных значений чисел.

Пример 3. Найти границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел a =8,36 и b = 3,72.

Имеем, 8,36:3,72 = 2,25. По формуле находим относительную погрешность частного:

Находим границу абсолютной погрешности частного:

_a_/_b= 2,250,002 = 0,0045

Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.

Пример 4. Вычислить Х = , если известно, что 0,05,

= 5,090,04

Находим:

Х =

+ +

= 0,844 = 0,0127;

или

Примеры для самостоятельного решения.

4. Найдите относительную погрешность частного приближенных значений чисел a =19,8 и b = 48,4.

5. Найдите частное приближенных значений чисел a =68,4 и b = 72,8.

6. Вычислите Х = , если известно, что , = 6,29

Контроль знаний обучающихся:

- проверить решение дополнительных примеров;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Тема 3. «Решение текстовых задач».

Самостоятельная работа:

Цель:

- изучить алгоритм решения задач на движение

- изучить алгоритм решения задач на работу

- изучить алгоритм решения задач на проценты

- изучить алгоритм решения задач на концентрацию

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2. Самостоятельная работа по подготовке к практической работе

Тема «Решение задач на движение»

Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:

- задачи на числовые зависимости;

- задачи, связанные с понятием «процента»;

- задачи на прогрессии;

- задачи на движение;

- задачи на совместную работу;

- задачи на смеси и сплавы.

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

1. Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.

2. Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).

3. Решение полученного уравнения или системы уравнений.

4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.

1. Составляющие движения.

Движение состоит из трех компонент:
- скорости (),
- пути (пройденного расстояния) ( ),
- времени движения () .
Эти составляющие находятся в зависимостях вида:
.
Очень часто человек в стрессовой ситуации контрольной работы или экзамена путается и забывает эти формулы. В этом случае обязательно нужно проговорить про себя какой-нибудь очевидный пример из жизни. Например, формулу можно сказать словами как «автомобиль едет 2 часа со скоростью 60 км/ч, значит, он проехал 120 км, т.е. время нужно умножить на скорость».

2. Единицы измерения.

Всегда записывая условия задачи и ответ необходимо указывать единицы измерения величин.
Время может измеряться в часах, минутах, секундах, днях и т.д.
Расстояние может измеряться в километрах, метрах, сантиметрах, лье, милях, кабельтовых, попугаях и их крылышках ( м/ф «38 попугаев», Союзмультфильм, 1976 год), и т.п.
Скорость может измеряться в километрах в час, метрах в секунду, милях в час и еще много, много в чём.
При решении задачи все составляющие требуется обязательно приводить к одним единицам измерения, т.е. если в задаче говориться, что «Маша гуляла 2 часа, а потом 15 минут делала уроки. Сколько времени она потратила всего? », то нужно выбрать единицы измерения времени, например, часы, тогда условие примет вид «Маша гуляла 2 часа, а потом 0,25 часа делала уроки».

Единицы измерения длины

1 сантиметр = 10 миллиметров

1 дециметр = 10 сантиметров = 100 миллиметров

1 метр = 10 дециметров = 100 сантиметров = 1000 миллиметров

1 километр = 1000 метров

1 миля = 1609, 344 метра

1 морская миля = 1852 метра

Единицы измерения времени:

1 минута = 60 секунд

1 час = 60 минут = 3600 секунд

1 сутки = 24 часа = 1440 минут = 86400секунд

Замечание: Для перевода минут в часы или секунд в минуты рекомендуется представлять в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что 15 минут это четверть циферблата, т. е. 0,25 часа, 20 минут – это треть циферблата, т. е. часа. И вообще, 1 минута это часа.

2. Составление уравнений.

Для решения текстовой задачи требуется перевести слова человеческого языка на математический язык, записать факты, изложенные в условии в виде математических выражений. При решении задачи на движение следует определиться с двумя вещами:

1)Какую составляющую движения брать за переменную

2) Какую составляющую движения использовать для составления уравнений, т. е. какая из характеристик движения или одинакова в двух вариантах перемещения или известно соотношение.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

3. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 ч. быстрее другого. Найдите скорость каждого из поездов, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

4. Расстояние между городами А и В равно 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 1 ч. 30 мин. вслед за ним выехал мотоциклист. Обогнав велосипедиста, он прибыл в город В на 1 ч. раньше него. Найдите скорость мотоциклиста, если известно, что она в 2,5 раза больше скорости велосипедиста.

5. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от А до С он затратил 18 ч., на обратный – от А до С – 15 ч. Найдите расстояние от пункта А до С, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч.

6. Первые 432 км автомобиль ехал по шоссе со скоростью 72 км/час, следующие 152 км – со скоростью 75 км/час, а затем 66 км проехал за 1 час. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

7. Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 70 км/час и 80 км/час?

Тема «Решение задач на проценты»

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

1. Пусть известна некоторая величинаА, надо найтиа % этой величины.

Если считать, чтоА есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции

имеем .

2. Пусть известно, что некоторое число bсоставляета % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем .

3. Пусть некоторая переменная величинаА, зависящая от времени t, в начальный момент t₀ имеет значение А₀, а в момент t₁ – значение А₁.

Тогда абсолютный прирост величиныА за время t₁–t₀ будет равен А₁–А₀; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле .

Задача 1. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за эту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.

Решение:

Пусть х – стоимость факса,

у – стоимость телефона.

По условию 4у+3х=1470.

Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть

0,8у – стоимость телефона после снижения.

По условию 3х+4×0,8у=1326.

Решим полученную систему двух уравнений методом алгебраического сложения.

Так как нам нужно найти только х, исключим у из системы, для чего первое уравнение умножим на (–0,8) и сложим со вторым: 0,6х=150 Þх=250.

Ответ: факс стоит 250 долларов.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов. Содержащих 12% воды. Какой процент воды в свежих грибах?

2. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй – на 110%, вместе заводы выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод в отдельности?

3. Магазин выставил на продажутовар с наценкой 45% от закупочной цены. После продажи 0,6 всего товара магазин снизил назначенную цену на 40% и распродал оставшийся товар. Сколько процентов от закупочной цены товара составила прибыль магазина?

4. В течение третьего квартала стоимость некоторого пакета акций изменялась следующим образом: 15 августа стоимость пакета акций была на 25 % выше, чем его стоимость 1 июля, а среднее арифметическое его стоимости 30 сентября и 1 июля равнялось его стоимости 15 августа. На сколько процентов подорожал пакет акций за период с 15 августа по 30 сентября?

5. Население города за два года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.

6. Стоимость 20 мячей до уценки составляла 900 рублей. Какое максимальное количество мячей можно приобрести на ту же сумму после их уценки на 10%?

7. Тетя Маша пошла на продуктовый рынок и купила там 1 кг черешни, после чего заметила в продаже еще черешню стоимостью 90 рублей за килограмм, что было на 10 % дешевле той, что она уже купила, и взяла еще 1 кг этих ягод. Не меньше какой суммы в рублях было у тети Маши с собой изначально?

Тема «Решение задач на работу»

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р– производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда – производительность труда первого рабочего,

– производительность труда второго рабочего.

– совместная производительность труда.

– время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение:

Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.

у – время работы второго рабочего.

По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.

Тогда – производительность труда первого рабочего,

– производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

– объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

– объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

ÞÞ4у²–19у+12=0

ч. и у₂=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у₁=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому не подходит по смыслу задачи. Для полученного у₂=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1Þх=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин., а второй – на 20 мин., то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин., а второй – на 15 мин., то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?

2. Двум рабочим была поручена работа. Второй приступил к работе на час позже первого. Через 3 ч. после того, как первый приступил к работе, им осталось выполнить 9/20 всей работы. По окончанию работы оказалось, что каждый выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить свою работу?

3. Двое рабочих вытачивают вместе 136 деталей за 8 часов. Если бы первый делал на две детали в час меньше, а второй на 1 деталь больше, то на изготовление одной детали второй рабочий затратил бы на 4 минуты меньше, чем первый. Сколько деталей в час изготавливается первый рабочий?

4. Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана. Определите наименьшее время (в часах), необходимое для разгрузки баржи. (Производительность каждого крана постоянна в течение всей работы).

5. Студент, выполняя домашнее задание по математике, решил первую задачу за 1 час. На решение каждой следующей задачи он тратил на 6 минут меньше, чем на предыдущую. Оказалось, что на выполнение всего домашнего задания по математике студент потратил 5 часов 24 минуты. Сколько задач было задано студенту?

6. В фирме «Рога и копыта» работают два менеджера. За 4 дня работы они продали 0,6 от всего товара, находящегося на складе, при этом объемы их продаж соотносятся как 4:5. Затем один из них заболел, а второй ушел в отпуск, и вместо них начал работать новый сотрудник. Скорость работы нового сотрудника в два раза ниже скорости работы первого менеджера. Когда первый менеджер выздоровел (а второй еще был в отпуске), на складе осталось 20% товара от первоначального объема. Определите, сколько дней болел первый менеджер.

7. Маша и Даша выполняют одинаковый тест. Маша за час отвечает на 15 вопросов теста, а Даша на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Даша закончила свой тест на 20 минут позже Маши. Сколько вопросов содержал тест?

Тема «Решение задач на концентрацию»

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

- концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина

- процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с₁ и с₂. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c₁m₁+c₂m₂, а концентрация .

2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и опять залили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% раствор кислоты?

2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 тонн стал и с содержанием никеля 30%?

3. В первой колбе находится однопроцентный раствор уксуса, а во второй колбе – пяти процентный. В третью колбу выливают половину раствора из каждой колбы. В результате колба содержит двухпроцентный раствор. Во сколько раз масса раствора в первой колбе больше массы раствора во второй?

4. Сплавляя два одинаковых по весу куска чугуна с разным содержанием хрома, получили сплав, в котором содержится 12 килограммов хрома. Найдите процентное содержание хрома в полученном сплаве, если известно, что содержание хрома в первом куске чугуна было на 5% меньше, чем во втором, и что если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве оказалось бы 16 килограммов хрома.

5. В сосуде было 10 литров масла. Часть масла отлили и сосуд дополнили таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров воды доливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 81%-ный раствор?

Контроль знаний обучающихся:

- проверить решение дополнительных примеров;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Тема 4. «Геометрические фигуры на плоскости и в пространстве».

Самостоятельная работа:

Цель:

- рассмотреть геометрические фигуры на плоскости

- рассмотреть геометрические фигуры в пространстве

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2. Самостоятельная работа по подготовке презентаций и докладов об истории развития геометрии

Контроль знаний обучающихся:

- Защита презентаций;

Требования к оформлению практической работы:

Оформление презентации

Тема 5. «Методы математической статистики».

Самостоятельная работа

Цель:

- ознакомиться с теоремами сложения и умножения вероятностей

- научиться решать задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей, дискретной случайной величины

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2. Самостоятельная работа по подготовке к практической работе

Определение дискретной случайной величины

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные. Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Определение: Случайная величина Х называется *дискретной* (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать. Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения. Определение: *Законом распределения дискретной случайной величины* называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е. x
p

где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения:

external image Lab1-ris1.png

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Рассмотрим следующие задачи.

1.Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны

0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем:

2. Случайные величины X и Y независимы, причем и . Найти , если .

Решение.

На основании свойств дисперсии получаем:

3. Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения

	1	2	3	4

Найти:

1) Так как , т.е. , следовательно

Т.о. закон распределения примет вид

	1	2	3	4

2) Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Сначала найдем математическое ожидание ДСВ Х² для этого составим закон распределения этой СВ. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем.

3) Найдем среднее квадратичное отклонение:

4. Функция распределения ДСВ Х имеет вид

Найти:

Решение.

Составляем закон распределения ДСВ Х (т.е. выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье)

	0	1	2	3

Составляем закон распределения ДСВ Х²

	0	1	4	9

5. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей

	10	20

	30	40	50

Найти двумя способами:

1. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;

2. Используя правило сложения дисперсий.

Решение.

Составим таблицу распределения ДСВ .

Найдем

10+30=40	20+30=50
10+40=50	20+40=60
10+50=60	20+50=70

Т.о. значения ДСВ Z таковы:

Найдем соответствующие им вероятности:

Получаем ряд распределения СВ Z

	40	50	60	70

2. Используя правило сложения дисперсий:

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Решите предложенные задачи на вычисление числовых характеристик ДСВ

Задание 1. Составить закон распределения случайной величины Х .

Для заданного закона распределения найти М(x), Д(x), (x).

п – порядковый номер учащегося по списку в журнале.

x_i	п – 10	п – 6	п – 2	п	п + 1	п + 3	п + 5	п + 8
p_i	0,17	0,03	0,16	0,07	0,12	0,4	0,04	0,01

Задание 2. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти числовые характеристики случайной величины x (x – выигрыш владельца одного лотерейного билета).

· В лотерее разыгрываются N билетов;

· m из них выигрывают по А рублей;

· k из них выигрывают по В рублей;

· p из них выигрывают по С рублей.

Задание 3. Найти числовые характеристики случайной величины “х”. Варианты:

Контроль знаний обучающихся:

- проверить решение дополнительных примеров;

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Тема 6. «Основы дифференциального и интегрального исчислений».

Самостоятельная работа:

Цель:

- повторить основные формулы и правила дифференцирования;

- изучить производные тригонометрических, логарифмических и показательных функций

- повторить правило для нахождения производных сложных функций

- изучить правило для нахождения производных высших порядков

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2 Самостоятельная работа по построению графиков и исследованию функций методами дифференциального исчисления

3. Самостоятельная работа по вычислению интегралов разными методами

4. Применение интегралов для вычисления площади криволинейной трапеции

Тема «Производные сложных функций».

Пусть у = у(u) и u = u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем

у'_х = у'_uЭто правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.

Примеры:

1. у(х) =

y'(x) = ((3

2. у(х) =

y'(x) = ( =

3. у(х) = sin(ln

y'(x) = (sin(ln )' )' = cos(ln =

4.у(х) =

y'(x) = ( = = =tgx

5. у(х) = arctgln2x

y'(x) = =

6.у(х) = (6x² - +5)²

у(х) = (6x²– 2x^-4+5)²

y'(x) =2(6x² – 2x^-4+5) (6x² – 2x^-4+5) = 2(6x² – 2x^-4+5) (12x+8x^-5) =

= (12x² - +5) (12x + )

Примеры для самостоятельного решения:

7. у(х) = cosНайти: y'(x)

8. у(х) = Найти: y'(x)

9. у(х) = Найти: y'(x)

Тема «Производные и дифференциалы высших порядков»

Производная второго порядка (вторая производная) от функции у = f(х) есть производная от её первой производной: у''= (f '(x))'

Производная третьего порядка (третья производная) от функции у = f(х) есть производная от её второй производной: у'''= (f ''(x))'

Производная п-го порядка ( п-я производная) от функции у = f(х) есть производная от её (п – 1)-й производной: у ^(п)= (f ^(п-1) (x))'

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её первого дифференциала: d²y = d(dy)

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её второго дифференциала: d³y = d(d²y)

Дифференциал п-го порядка (п-й дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её (п – 1)-го дифференциала: dⁿy = d(dⁿ^-1y)

Если х независимая переменная, то dⁿy = у ^(п) dxⁿ, откуда у ^(п) = ,

т. е. п-я производная функции у = f(х) равна отношению её п-го дифференциала dⁿy к п-й степени дифференциала независимой переменной dx.

Если функция имеет производную п-го порядка, то говорят, что функция дифференцируемап раз

Примеры:Найти производные второго порядка от указанных функций

1. у(х) = (2х+5)³

у'(х) = 3(2х+5)²(2х+5)' = 3(2х+5)²2= 6(2х+5)²

у''(х) = (6(2х+5)²)' = 62 = 24(2х+5)

2. у(х) =

у'(х) = ( + )'= +(-sinx) =

у''(х) = ( + + = = -2

3. Найти второй дифференциал и третью производную от функции y = xln2x в точке x = 2

Решение: Дифференцируя данную функцию, получим

у'(х) = ln2x + х = ln2x + 1

Дифференцируя производную у', найдем вторую производную

у''= (у '(x))' = (ln2x + 1)' =(ln2 + lnx + 1)' =

и второй дифференциал d²y = x².

Таким образом, третья производная у''' = (у '')' = -

При х = 2 имеем у'''(2) =- = -

Примеры для самостоятельного решения:

Найти производные второго порядка от функций

4. у =

5. у = tg x

6. y(x) = 2 + - - + 1 Найти: y'(x).

7. y(x) = - + - + 3х Найти: y'(1).

8. y(x) = 4х³ - + - Найти: y'(1).

9. у(х) = + - - +5Найти: y'(1).

10. у(х) = Найти: y'(x)

11. у(х) = (cosx - Найти: y'(x)

12.у(х) = Найти: y'(x)

13. у(х) = Найти: y'(x)

14. у = Вычислить производную второго порядка

15. у = ln (2x – 3) Вычислить производную второго порядка

Тема «Применение производной к исследованию функций

и построению графиков.

Промежутки монотонности и экстремумы функции»

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком её первой производной f '(x), а именно, если в некотором промежуткеf '(x)

f '(x), то функция возрастает (убывает) в этом промежутке.

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функцииy = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знак f '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x); промежутки, в которых f '(x ), являются промежутками возрастания функции, а промежутки, в которых

f '(x). При этом если на двух соседних промежутках, граничная точка которых является нулем производной f '(x), знак f '(x) одинаков, то они составляют единый промежуток монотонности.

Точка х = х₀ называется точкой максимума (минимума) функции

y = f(x), если существует такая окрестность точки х₀, что для всех х(х х₀) из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(x₀) (соответственноf(x)f(x₀)

Точки максимума и минимума функции называются точками её экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производнаяf '(x) меняет знак, а именно, если при переходе через критическую точку х = х₀ в положительном направленииf '(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то

х = х₀ есть точка максимума (минимума).

Отсюда получаем правило отыскания экстремумов функции y = f(x).

1. Найти нули и точки разрыва f '(x).

2. Определить знакf '(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения функцииf(x).

3. Из этих точек выделить те, в которых функцияf(x) определена и по разные стороны от каждой из которых производная f '(x) имеет разные знаки – это и есть экстремальные точки. При этом экстремальная точка х = х₀ является точкой максимума, если при движении по осиОх в положительном направлении она отделяет промежуток, в котором f '(x) , от пf '(x), и точкой минимума в противном случае.

Заметим, что точки, в которых производная обращается в нуль, иногда проще исследовать на экстремум, выяснив знак второй производной f ''(x₀): точках = х₀, в которой f ''(x₀) = 0, а f ''(x)существует и отлична от нуля, является экстремальной, а именно точкой максимума, если f ''(x₀) 0, и точкой минимума, если f ''(x₀) 0.

Примеры для самостоятельного решения.

Найдите промежутки монотонности следующих функций:

1. у = х⁴ - 32х + 40

2. у = lnx -

3. у(х) =

Исследовать функцию на экстремумы:

4. у(х) = 3х⁴ – 4х³

5.у(х) =

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба».

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже(выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка. Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f ''(x), а именно, если в некотором промежуткеf ''(x)(соответственноf ''(x)), то кривая выпукла (вогнута) в этом промежутке.

Точкой перегиба кривой называется такая её точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функцииy = f(x) являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производнаяf ''(x) меняет знак.

Отсюда получаем правило отыскания промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

1. Найти точки, в которых вторая производная f ''(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

2. Определить знак f ''(x) в промежутках, на которые полученные в п. 1 точки делят область определения f (x); промежутки, в которых

f ''(x)промежутки вогнутости, а промежутки, в которыхf ''(x), - промежутки выпуклости графика функцииy = f(x).

3. Из полученных в п. 1 точек выделить те, в которых функцияf(x) определена и по разные стороны от каждой из которых вторая производная

f ''(x) имеет противоположные знаки, - это и есть абсциссы точек перегиба графика функции y = f(x).

Тема «Асимптоты»

Прямая Ах + Ву + С = 0 называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от этой прямой до точки М(х; f(x)) данной кривой стремится к нулю при х²+ у².Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Если по крайней мере один из пределов функцииy = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности, т. е. если

= или = ,

то прямаях = а является вертикальной асимптотой.

Если существует конечный предел функции при хили х, т. е. если = в или = с, то прямая у = в (у = с) является горизонтальной асимптотой (при х она называется правой, а при х - левой).

Если существуют пределы

= k₁ и [ – k₁x] = b₁,

то прямаяу =k₁х + b₁ служит наклонной (правой) асимптотой.

Аналогично, если существуют пределы

= k₂ и [ – k₂x] = b₂,

то прямаяу =k₂х + b₂ служит наклонной (левой) асимптотой.

Заметим, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

Примеры.

1. Найти асимптоты кривой y =

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2, так как

= - , = +

(х = -2 – точка разрыва II рода).

Найдем горизонтальную асимптоту: = -5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2 и горизонтальную асимптоту у = - 5.

2. Найти асимптоты кривой y =

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту х = 3, поскольку

+ -

Так как при х функция не имеет конечного предела, то горизонтальных асимптот у данной кривой нет. Ищем наклонные асимптоты:

= = = -1

b = = = = 4

Следовательно, прямая у= –х + 4 служит наклонной асимптотой (рис. 1)

рис 1рис 2

Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба графики следующих функций:

1. у = 3х⁵ – 10х⁴ – 30х³ + 12х + 7

2. у =

3. у = ln(х² + 4)

Найти асимптоты заданных кривых:

4. у =

5. у =

Тема «Общая схема исследования функции и построение её графика»

1. Найти область определения функции D(f)

2. Выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической. Функция является чётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция является нечётной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) =- f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для любого х из области определения функции выполняется равенство:

f(x-P) = f(x) = f(x+P).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

х=0. у=… у=0. х=…

4. Найти асимптоты графика функции.

Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат. График функции имеет вертикальную асимптоту при х, если. График функции имеет горизонтальную асимптоту, если = b. График функции имеет наклонную асимптоту y = kx +b, если существуют такие числа k и b, что выполняются равенства: = k = b

5. Найти промежутки монотонности и её экстремумы. Вычислить значения функции в точках экстремума.

6. Найти промежутки выпуклости - вогнутости графика функции и точки перегиба. Выпуклость вниз или вверх графика функции характеризуется знаком её второй производной: если в некотором промежутке f"(x)>0, то график функции выпуклый вниз в этом промежутке; если же f"(x)<0, то график функции выпуклый вверх. Точка графика функции, разделяющая промежутки выпуклости разных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример 1.

1. Построить график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

Решение. 1. Функция определена на всей числовой прямой, т. е. D(y) = R.

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной; кроме того, она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: полагая х = 0, получим

у = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5. Найдем производную: у' = 3х² – 12х +9. Далее, имеем 3х² – 12х +9 = 0

х² – 4х + 3 = 0 х₁= 1, х₂= 3. Полученные точки делят область определения функции на три промежутка: (-,1), (1, 3), (3, +). В промежутках (-,1) и

(3, +) у', т. е. функция возрастает, а в промежутке (1, 3) у', т. е. функция убывает. При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 3 – с минуса на плюс. Значит, у_max = y(1) = 1, y_min = y(3) = -3

6. Найдем вторую производную у '' = 6х – 12; 6х – 12 = 0, х = 2. Точка х = 2 делит область определения функции на два промежутка (-, 2) и (2, +). В первом из них у ''а во втором у '', т. е. в промежутке (-, 2) кривая выпукла, а в промежутке (2, +) кривая вогнута.

Таким образом, получаем точку перегиба (2; -1)

7. Используя полученные данные, строим искомый график (см. рис.).

Пример 2.Построить график функции у =

1. Находим область определения функции D(y) = (-

2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. При х = 0 получим у = 0, т. е. график проходит через начало координат.

4. Так как =, то прямая х = 3 служит вертикальной асимптотой графика.

Далее находим = = 1

b = = [ = = 3

Следовательно, прямая у = х + 3 является наклонной асимптотой графика.

5. Находим у' = = =

Производная у' обращается в нуль в точках х = 0 и х = 6 и терпит разрыв при х = 3. Этими точками числовая прямая делится на четыре промежутка:

(-,0), (0, 3), (3, 6), (6, +). Исследуем знак у' в каждом из них. Очевидно, что у' в промежутках (-,0) и (6, +) (в этих промежутках функция возрастает) и у' в промежутках (0, 3) и (3, 6) (в этих промежутках функция убывает). При переходе через х = 0 производная меняет знак с плюса на минус, т. е. это точка максимума, а при переходе через х = 6 – с минуса на плюс, т. е. это точка минимума. Находим у_max = y(0) = 0,

y_min = y(6) = 12.

Находим у '' = =

Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х = 3. В промежутке (-,3) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая выпукла; а в промежутке (3, +) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая вогнута. Точек перегиба нет.

7. На основании полученных данных строим график функции (см. рис.)

Пример 3.Построить график функции у = хе^х

1. Здесь D(y) = R.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной. Исследуемая функция непериодична.

3. При х = 0 имеем у = 0, т. е. график функции проходит через начало координат.

4. Так как у при х, то исследуемая кривая имеет левую горизонтальную асимптоту – прямую у = 0. Вертикальных и наклонных асимптот кривая не имеет.

5. Найдем производную данной функции у' = е^х + хе^х = е^х(х+1).

Производная у' обращается в нуль при х = -1. Точка х = -1 делит область определения функции на два промежутка (-,-1) и (-1, +), в первом из которых у', а во втором у'. Следовательно, исследуемая функция в промежутке (-,-1) убывает, а в промежутке (-1, +) возрастает. Точка х = -1 есть точка минимума, минимум функции y_min = y(-1) = - .

6. Находим вторую производную у '' = е^х(х+1) + е^х = е^х(х+2).

Она обращается в нуль при х = - 2; мы получили два промежутка знакопостоянства второй производной: (-,-2) и (-2, +). В первом из них

у '', т. е. в этом промежутке кривая выпукла; а в промежутке (-2, +) имеем у '', т. е. в этом промежутке кривая вогнута. Точка х = -2 – абсцисса точки перегиба. Точка перегиба имеет координаты (-2, - ).

7. По полученным данным строим график функции (см. рис.)

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать и построить графики функций:

1. у =

2. у =

3. у = x²e^x

Тема «Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование»

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F '(x) = f(x).

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(x) +С совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

dx = F(x) +С, если d(F(x) +С) = dx

Основные свойства неопределенного интеграла

1⁰.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции и дифференциал от него равен подынтегральному выражению:

(dx)' = d(dx) =f(x) dx

2⁰. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

dx = kdx

4⁰.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

+ dx

5⁰. Если а – постоянная, то справедлива формула

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

2. = + C (n

3. = ln + C

8. = tgx + C

9. = - ctgx + C

10. = ln + C

11. = ln + C

12. = arcsin + C

13. = arctg + C

При применении формул (3), (10). (11) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3⁰ и 4⁰ приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3⁰ и 4⁰ приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры.

На основании свойства 3⁰ постоянный множитель 5 выносится за знак интеграла и, используя формулу 1, получим

= 5

Решение. Используя свойство 3⁰ и формулу 2, получим

= = 6

3. - х + 3)

Решение. Используя свойства 3⁰ и 4⁰ и формулы 1 и 2, имеем

- х + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12х + С = + 12х + С

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную (С₁ – С₂ + С₃ = С)

Решение. Возводя в квадрат и интегрируя каждое слагаемое, имеем

= х -

Используя тригонометрическую формулу 1 + ctg²x =

= = - ctgx – x + C

Решение. Вычитая и прибавляя в числителе подынтегральной функции число 9, получим

= = + = - =

= -х + 9 + С = - х +

Примеры для самостоятельного решения

Вычислите интегралы, используя непосредственное интегрирование:

Тема «Неопределенный интеграл. Метод замены переменной»

В основе интегрирования методом замены переменной лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если,

то ,

где u(x) – произвольная дифференцируемая функция от х.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:

1) х = (t), где t – новая переменная, а (t) – непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:

(1)

Функцию (t) стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;

2) t = (x), где t – новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид:

Примеры.

Решение. Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент 3х подынтегральной функции . Так как d(3x) = 3dx, то

Следовательно, подстановка 3х = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному: = = = -cost + C

Возвращаясь к старой переменной х, окончательно получим

= -cos3х + C

Решение. Так как d() = 3х²dx, то

Полагая = t, получим

+ C = + C.

Решение. Поскольку d(sinx) = cosx, имеем

Поэтому, используя подстановку t = , приходим к табличному интегралу:

= = =

Из соотношения d( получаем

Воспользовавшись подстановкой t = , приходим к табличному интегралу:

= = arcsin

Решение. Здесь используем подстановку . Отсюда х = t³, dx = 3t²dt и, следовательно по формуле (1) находим

= = 3sin t + C

Возвращаясь к старой переменной х, получим

= 3sin + C

Применим подстановку x = . Тогда dx = - , = , t =

По формуле (1) находим

= - = - = - ln + C

Возвращаясь к старой переменной х, получим

- ln + C = - ln + C = -ln + x

Примеры для самостоятельного решения

Вычислите интегралы, используя метод замены переменной:

Тема «Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям».

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле (1)

где и - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (1) отыскание интеграласводится к нахождению другого интеграла, её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так при нахождении интегралов вида

за следует принять многочлен, а за - соответственно выражения, ; при отыскании интегралов вида

за принимаются соответственно функции , а за - выражение .

Примеры.

. Положим = lnx, = , откуда

du = , v =

Тогда по формуле (1) находим

= lnx( = - + = - - + С

Решение. Полагая = = найдем du =,

v = =

Следовательно,

= =

Решение. Пусть = , = du =, v =

По формуле (1) находим

= - (

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

Положим =, = du =, v = и, следовательно, - =

Подставляя найденное выражение в соотношение (, получим

= (

Положим = = , откуда du = , v =

Используя формулу (1), находим

= - х +

Решение. Пусть = ; тогда du = - v = -

Согласно формуле (1) имеем

I = = = - . (

К последнему интегралу снова применяем интегрирование по частям. Полагая = , находим du = - v = и, следовательно, =

Подставляя полученное выражение в соотношение (приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:

I = = - - – I,

Из которого находим

I = - (

Примеры для самостоятельного решения

Вычислите интегралы, используя метод интегрирования по частям:

Контроль знаний обучающихся:

- проверить решение дополнительных примеров;

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Тема 7. «Элементы линейной алгебры».

Самостоятельная работа:

Цель:

- познакомиться с понятием определителя второго и третьего порядков

- познакомиться с формулами Крамера для решения систем линейных уравнений

- научиться применять формулы Крамера для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядков

Порядок выполнения внеаудиторной самостоятельной работы:

1.Самостоятельная работа с конспектом лекций

2. Самостоятельная работа по решению систем линейных уравнений

3. Самостоятельная работа по подготовке к дифференцированному зачету

Тема «Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера»

Определители второго и третьего порядков. Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

= а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя; при этом элементы а₁₁ и а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂ и а₂₁-побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое

Равенством

=а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» - три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» - три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Алгоритм решения систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Габриель Крамер (1704–1752) швейцарский математик.

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, то есть ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся , .

Действительно, если какое-либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Система из двух уравнений с двумя неизвестными

решается с помощью формул Крамера:

, ,

где и , .

При решении системы возможны три случая:

1. Определитель системы . Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

2. Определитель системы . Если при этом хотя бы один из определителей и не равен нулю, то система не имеет решений.

3. Если , и , то одно из уравнений есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнений .

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнительные определители ,

Система имеет единственное решение

Ответ: .

Пример 1. Решить систему уравнений .

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнительные определители , . Коэффициенты уравнений системы пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнительные определители .

Так как , то одно уравнение есть следствие другого (второе уравнение получено из первого умножением на ).

Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых вычисляется по формуле: , где числовые значения задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения .

Ответ: – общее решение данной системы, а решения – частные.

Система из двух уравнений с тремя неизвестными

Из основной матрицы при помощи поочередного вычеркивания столбцов получаем определители

, , .

Дополнительные определители , .

Возможны три случая:

1. Если из трех определителей

, ,

хотя бы один не равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений, причем одному неизвестному можно дать любое значение. Пусть, например, отличен от нуля , тогда неизвестному можно придать любое значение (если , то , если , то ), а исходную систему переписать в виде, . Отсюда неизвестные определяются по формулам Крамера.

2. Все определители , но один из определителей, , , не равен нулю. В этом случае система несовместна, то есть не имеет решений.

3. Все выписанные определители равны нулю. Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Основная матрица системы . Вычислим определители , , , система имеет бесчисленное множество решений.

Любое значение можно придать одному из неизвестных , так как и . Неизвестному придать любое значение нельзя, так как .

Решим систему относительно . Вычислим определитель системы . Вычислим

Ответ: , , – общее решение системы.

Система из трех уравнений с тремя неизвестными

При решении системы из трех уравнений с тремя неизвестными возможны три случая:

1. Определитель системы . Система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера ,

, , где и ,
, .

2. Определитель системы равен нулю, . Если при этом хотя бы один из определителей , не равен нулю, то система несовместна, решений не имеет.

3. Если и , то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы и дополнительные определители

и , .

По формулам Крамера имеем, что .

Ответ: .

Задание . Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Примеры для самостоятельного решения.

Контроль знаний обучающихся:

- проверить практическую работу;

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Введем матрицу системы

и матрицы и . Пусть .

Представим систему (1.10) в виде матричного уравнения АХ=В. Это легко проверить, перемножив матрицы А и Х.

Действительно,

Решим теперь матричное уравнение А·Х=В. Умножим обе части уравнения на матрицу А^-1 слева. Тогда А^-1·А·Х = А^-1·В, а так как

А^-1·А=Е, то имеем Е·Х=А^-1·В и, наконец,

Х = А^-1·В (1.12)

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель матрицы А.

то есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу А^-1. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

Находим теперь решение системы по формуле (1.12).

то есть

x = 3, y = 1, z = -1.

o Примеры для самостоятельного решения

- Задание 2.

- Представить систему уравнений в виде одного матричного уравнения и найти её решение с помощью обратной матрицы

- а)

- б)

- в)

Контроль знаний обучающихся:

- проверить решение дополнительных примеров;

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для самостоятельных работ

Работу сдать после занятия

Литература

1. Подольский В. А., Суходский А. М., Мироненко Е. С. Сборник задач по математике: Учеб.пособие, М.: Высшая школа, 2012

2. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: учебное пособие для средних спец. учеб.заведений, М.: Высшая школа, 2013

3. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: ОНИКС, Мир и образование, 2011.

4. Калинина В. Н., Панкин В. Ф. Математическая статистика: Учебник для студентов средних специальных учебных заведений. М.: Высшая школа, 2012.

5. В.Е.Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической М.: Высшая школа, 2011.

6. Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 2012

7. Воеводин В. В. Математические основы параллельных вычислений. — М.: Изд-во МГУ, 1991 .

8. Бахвалов Н. С. Численные методы. 3-е изд. — М, 2013.

9. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2012

10. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 2-е изд. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 2010

11. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — М.—Л.: ГИИТЛ, 2012.

Скачать материал

Скачать материал "Методические рекомендации к выполнению внеаудиторных самостоятельных работ обучающихся по дисциплине «МАТЕМАТИКА ЕН.01» для специальности 44.02.02 «Преподавание в начальных классах» (по программе углубленной подготовки)"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 669 006 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Внеурочное мероприятие "День учителя!"

26.12.2020
239
0

docx

Внеклассное занятие по самопознанию: "Красота"

19.12.2020
173
0

pptx

Презентация по технологии на тему "Первый модельер"

16.12.2020
323
0

docx

Проектная работа на тему " Проектирование современного урока английского языка"

11.12.2020
561
12

docx

Конспект урока "Я - одуванчик" (4 класс)

10.11.2020
646
11

docx

Конспект урока по изобразительному искусству "Внутренний мир русской избы" для 5 класса

07.11.2020
179
0

docx

Упражнение для поднятия настроения, снятия усталости

10.10.2020
2667
7

pptx

Презентация по английскому языку на тему "Коучинг в образовании"

09.10.2020
420
5

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 12.10.2020 674
- DOCX 759.3 кбайт
- 17 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Красильникова Екатерина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Красильникова Екатерина Михайловна
- На сайте: 3 года и 4 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 79473
- Всего материалов: 215