Методические указания для выполнения практической работы "Решение задач по комбинаторике".

Министерство образования и науки Самарской области Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Тольяттинский политехнический техникум» (ГБПОУ СО «ТПК»)

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УР

___________ C.А.Гришина

__ _________ 20__ г.

Методические УКАЗАНИя

для выполнения практической работы №1

«Решение задач по комбинаторике»

дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика

специальностей: 09.02.06 Сетевое и системное администрирование

                               09.02.07 Информационные системы и программирование

Тольятти, 2021

ОДОБРЕНА Протокол УПО №2 от ___  _____20__  № ____ Руководитель УПО №2 ________    Л.Г. Светличная ___  ______ 20__

Методические указания разработаны Захаровой С.В. – преподавателем

математических дисциплин ГБПОУ СО «ТПК».

            Методические указания предназначены для студентов второго курса дневного отделения специальностей 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование», 09.02.07 «Информационные системы и программирование». Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой и могут быть использованы с целью формирования практических умений и навыков при изучении темы «Комбинаторика».

Практическая работа №1

Тема: «Решение задач по комбинаторике»

 Цель работы:

• научиться решать задачи по комбинаторике;
• научиться применять формулы комбинаторики при решении задач.

В результате выполнения практической работы студент должен:

знать:

• формулы комбинаторики;

уметь:

• применять формулы комбинаторики при решении задач.

Краткие теоретические сведения

1        а)  Перестановки     По определению, считают, что 0!=1,1!=1.

            б)  Перестановки с повторениями 

Пример 1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ГОРА?

1)      Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)

2)      Повторяются ли буквы (нет – значит перестановки без повторения)

Решение.

Пример 2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ИНСТИТУТ?

 1) Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)

2) Повторяются ли буквы (да – значит перестановки с повторениями)

Решение.

             

2        а)  Сочетания     

б)  Сочетания с повторениями               

Пример 1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

1)      3 из 36

2)      Порядок важен? (нет – значит сочетания)

3)      Повторяться могу? (нет – значит сочетания без повторений)

Решение.

Пример 2. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры,    песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

1)      7 из 4

2)      Порядок важен? (нет – значит сочетания)

3)      Повторяться могу? (да – значит сочетания с повторениями)

Решение.

               

3        а)  Размещения   

б)  Размещения с повторениями                         

Пример 1. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8, если цифры не повторяются?

1)      3 из 4

2)      Порядок важен? (да – значит размещения)

3)      Цифры повторяются (нет)

Решение.

Пример 2. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8?

1)        3 из 4

2)        Порядок важен? (да – значит размещения)

3)        Цифры повторяются (да – значит размещения с повторениями)

 Решение.  

Образец решения задач

Перестановки, сочетания и размещения без повторения

1.      Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9?                                                    

2.      Сколько трёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?

3.      Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

4.      Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 1 даму и 2 туза?

5.      Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом?

6.      Сколькими способами можно рассадить 3 мальчика и 3 девочки за столом?

7.      Сколькими способами можно рассадить в 2 ряда 3 мальчика и 3 девочки?

                                                             

8.      Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

9.      У Васи дома живут 4 кота.

       а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?

б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?

                      

  в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного

         на левую, другого – на правую)?

10.  Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

11.  Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду? (2 мальчика точно входят, т.е. осталось выбрать 3 из 8)

12.  В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

                                                          

13.  Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа?

14.   Имеется 3 фрукта. Сколькими способами можно взять хотя бы  один фрукт?

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

15.  Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня –               силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

                                                  

16.  Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

                                                       

17.  В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-х, 5-ти и десятирублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

                                             

18.  В коробке лежат шары трех цветов—красного, синего и зеленого. Шары одного цвета считаются одинаковыми. Вопрос: сколькими способами можно составить набор из двух шаров?

                                               

19.  Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

1)     

2)     

20.  Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

                                     

Задания для самостоятельного решения

Практическая работа №1

Тема: «Решение задач по комбинаторике»     

1.      В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

2.      В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов переставить буквы в слове абракадабра?

3.      Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?

4.      Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

5.      Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

6.      Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7?

7.      Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

8.      Секретный замок состоит из 3 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?

9.      К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

10.  В начале игры каждому игроку раздается 6 карт из колоды, в которой 36 различных карт. Сколько существует различных комбинаций карт, которые игрок может получить в начале игры?

11.  В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

12.  На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

13.  На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

14.  В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами люди могут выйти на разных этажах?

15.  Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).

Контрольные вопросы

1 Формулы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без.

Краткое описание документа:

Методические указания для выполнения практической работы: "Решение задач по комбинаторике" предназначены для студентов второго курса специальностей 09.02.06 "Сетевое и системное администрирование", 09.02.07 "Информационные системы и программирование".