Методический материал по теме "Решение задач на построение" (7 класс)

ЧАСТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №50»

ОТКРЫТОГО АКЦИОНЕРНОГО ОБЩЕСТВА «РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ»

Инверсия

             Выполнила: Патрина В. А.      

Учитель математики

Ерофей Павлович,

2018

Содержание

1. Введение ……………………………………………………………     3

2. Инверсия ……………………………………………………………     6

3. Свойства инверсии …………………………………………………    9    

4. Теоремы инверсии …………………………………………………    15

5. Последствия инверсии …………………………………………….    17

6. Практическое применение инверсии …………………………….     19

7. Заключение ……………………………………………………...…     28

8. Список литературы ………………...…………..…………………      30

1. Введение

Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Так как в геометрии основную роль играют различные преобразования фигур, основой решения целого ряда геометрических проблем является удачное применение того или иного преобразования плоскости. При этом использование какого-либо преобразования считается удачным, если образы рассматриваемых фигур поддаются простому геометрическому анализу.

В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые преобразуются в прямые, а окружности – в окружности. Такие преобразования объединяются под общим названием коллинеаций.

 Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной геометрии и так называемой высшей геометрии - интерпретация геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. Применение преобразования инверсии при решении задач на построение и доказательство позволяет решить ряд задач, которые трудно решить с помощью других методов решения подобных задач.

Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (3 век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты; было совершенно безразлично, как выполнять отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или одного циркуля, или одной линейки. Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой и т.д. Было обращено внимание на тот факт, что при резьбе на тонких металлических пластинках, при разметке делительных кругов астрономических инструментов пользуются, как правило, одним только циркулем. Последнее, вероятно, и послужило толчком к исследованию геометрических построений, выполняемых одним лишь  циркулем.

В 1797 году итальянский математик, профессор университета в Павии Лоренцо Маскерони опубликовал большую работу «Геометрия циркуля», которая позже была переведена на французский и немецкий языки. В этой работе было доказано следующее предположение: «Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем».

В 1831 году Людвиг Иммануэль Магнус (Ludwig Immanuel Magnus) опубликовал статью об инверсных преобразованиях, где впервые стал рассматривать особый тип преобразования точек на плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Практическая польза этого преобразования в том, что зачастую оно позволяет свести решение геометрической задачи с окружностями к решению соответствующей задачи с прямыми, которая обычно имеет гораздо более простое решение.

Метод инверсии  (метод обратных радиусов, метод обращения) является мощнейшим среди методов решения задач на построение, которые могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника, ведь ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение.

В конце 19 столетия это утверждение было оригинальным способом доказано с помощью инверсии А. Адлером  (1890 год). Он также предложил общий метод решения геометрических задач на построение одним лишь циркулем. А. Адлер применил принцип инверсии к теории геометрических построений одним циркулем. С помощью этого принципа он установил в геометрии циркуля общий способ решения задач на построение.

Что же такое инверсия и как она применяется при решении задач на построение? Как выполнить такое построение? Как строить чертежи одним циркулем?

В данной работе дано определение инверсии, рассмотрены некоторые построения с помощью инверсии.

2. Инверсия

    Определение. Пусть в плоскости дана окружность с центром в точке  радиуса  (рис. 1). Точечное преобразование плоскости самой в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка ', лежащая на луче и удовлетворяющая условию || · |'| = ², называется инверсией относительно данной окружности.

Точка ' называется инверсной или обратной точке  относительно данной окружности.

Эта окружность называется основной окружностью или  окружностью инверсии.

Её центр   - называется  центром инверсии.

Её радиус – радиусом инверсии.

А квадрат радиуса – степенью инверсии.

рис.1

    Точки  и ', соответствующие друг другу в инверсии, а также две фигуры, соответствующие друг другу в инверсии, называются взаимно обратными относительно основной окружности.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точкам данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на то, что при   . Так что, если точка  инверсна точке ', то расстояния  и  являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку  называют обратной точке , а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением.

В пределах плоскости можно выполнить построение точи, инверсной данной, посредством циркуля и линейки. Построение это основано на двух теоремах, известных из школьного курса геометрии:

1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, соединяющему центр с точкой касания.

2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу.

 Рассмотрим следующие случаи построение инверсных точек:

1 случай.

Если точка  лежит на базисной окружности – , то инверсная точка – сама точка , то есть  (совпадают).  

2 случай.

Пусть точка  внутри базисной окружности . На рис. 2 указан способ построения образа точки  при инверсии относительно окружности . Для этого проводят перпендикуляр  к прямой  и из точки пересечения окружности и перпендикуляра  проводят касательную к этой окружности.

Рис. 2  

Доказательство: Из подобия треугольников  и  получаем отношение  =  или

= = .  Следовательно, inv_O^R .

Точка  (по построению).

3 случай.

Пусть точка  вне базисной окружности . Строим луч .  Через точку  проводим  касательнуюк базисной окружности. Из точки касания  опускаем перпендикуляр на прямую . Основание этого перпендикуляра  является точкой, инверсной точке . Из прямоугольного треугольника  (рис.3) видно, что .

Рис. 3

3. Свойства инверсии.

Прежде, чем рассмотреть свойства инверсии, устанавливают одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.

Лемма. Рассмотрим любые две точки  и , и применим к ним преобразование инверсии, получим точки и . Тогда следующие углы равны:

Доказательство:

Докажем, что треугольники и  подобны (порядок вершин важен!).

В самом деле, по определению преобразования инверсии имеем:

откуда получаем равенство:

Таким образом, треугольники  и   имеют общий угол, а две прилежащие к нему стороны пропорциональны, следовательно, эти треугольники подобны, а потому соответствующие углы совпадают.

Следствие из леммы

Если даны любые три точки , причём точка  лежит на отрезке , то выполняется:

причём эти углы ориентированы в разные стороны (т.е. если рассматривать эти два угла как ориентированные, то они разного знака).

Рис. 4

Для доказательства заметим, что — это разность двух углов  и , к каждому из которых можно применить лемму о равных углах:

При осуществлении последнего перехода мы изменили порядок следования точек, что и означает, что мы изменили ориентацию угла на противоположную.

Свойства инверсии:

1.     Внутренние точки окружности инверсии преобразуются во внешние и наоборот (поэтому говорят также о зеркальном отображении относительно окружности); точки самой окружности инверсии остаются неподвижными, то есть преобразуются сами в себя.

        2. Преобразование, обратное для данной инверсии, есть также инверсия, то есть если точка Р переходит при инверсии в точку Р', то одновременно, обратно, точка Р' переходит в точку Р.

        3. а) Окружности, не проходящие через O, преобразуются в окружности, не проходящие через O.

            б) Окружности, проходящие через O, преобразуются в прямые, не проходящие через O.

            в) Прямые, не проходящие через O, преобразуются в окружности, проходящие через O; прямые, проходящие через O, преобразуются сами в себя.

        4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, причём касательная к этой окружности в центре инверсии параллельна данной прямой.

       5. Прямые, параллельные и не проходящие через центр инверсии, преобразуются в окружности, касающиеся друг друга в центре инверсии и обратно.

             6. Инверсия есть конформное преобразование, то есть при инверсии угол между двумя кривыми в точке их пересечения сохраняется.

При этом, если углы рассматривать как ориентированные, то ориентация углов при применении инверсии изменяется на противоположную.

 Рис.5

Для доказательства этого рассмотрим две произвольные кривые, пересекающиеся в точке Р  и имеющие в ней касательные.

Пусть по первой кривой будет идти точка , по второй — точка  (мы их устремим в пределе к ).

Очевидно, что после применения инверсии кривые будут по-прежнему пересекаться (если, конечно, они не проходили через точку , но такой случай мы не рассматриваем), и точкой их пересечения будет .

Учитывая, что точка  лежит на прямой, соединяющей  и , получаем, что можем применить следствие из леммы о равных углах, из которой мы получаем:

,

где под знаком "минус" мы понимаем то, что углы ориентированы в разных направлениях.

Устремляя точки  и  к точке , мы в пределе получаем, что это равенство — выражение угла между пересекающимися кривыми, что и требовалось доказать.

        7. Как бы ни были расположены в плоскости две произвольные окружности, или окружность и прямая, или две параллельные прямые, всегда можно их преобразовать друг в друга при помощи инверсии, если к инверсии причислить его предельный случай – симметрию относительно прямой.

       8. Всякую окружность (или прямую) можно при помощи инверсии преобразовать саму в себя так, чтобы две фиксированные точки этой окружности (или прямой) переходили друг в друга.

       9.  а) Ортогональные траектории эллиптического пучка окружностей, пересекающихся попарно в точках A и B, образуют гиперболический пучок окружностей, имеющий точки A и B предельными точками и прямую AB линией центров.

            б) Ортогональные траектории параболического пучка окружностей образуют также параболический пучок окружностей с тем же центром пучка и с линией центров, перпендикулярной к линии центров данного пучка.

            в) Ортогональные траектории гиперболического пучка окружностей с предельными точками A и B образуют эллиптический пучок окружностей, попарно пересекающихся в точках A и B.

Если — обобщённая окружность, то при преобразовании инверсии она сохраняется тогда и только тогда, когда  ортогональна окружности , относительно которой производится инверсия ( и  считаются различными).

Доказательство этого свойства интересно тем, что оно демонстрирует применение геометрической инверсии для ухода от окружностей и упрощения задачи.

Первым шагом доказательства будет указание того факта, что  и  имеют как минимум две точки пересечения. В самом деле, преобразование инверсии относительно отображает внутренность окружности в её внешность, и наоборот. Раз  после преобразования не изменилась, то значит, она содержит точки как из внутренности, так и из внешности окружности  . Отсюда и следует, что точек пересечения две (одна она быть не может — это означает касание двух окружностей, но этого случая, очевидно, быть по условию не может; совпадать окружности также не могут по определению).

Обозначим одну точку пересечения через , другую — через . Рассмотрим произвольную окружность с центром в точке , и выполним преобразование инверсии относительно неё. Заметим, что тогда и окружность , и обобщённая окружность необходимо переходят в пересекающиеся прямые. Учитывая конформность преобразования инверсии, получаем, что  и  совпадали тогда и только тогда, когда угол между двумя этими пересекающимися прямыми прямой. В самом деле, первое преобразование инверсии, — относительно , — изменяет направление угла между окружностями на противоположное, поэтому если окружность совпадает со своей инверсией, то углы между пересекающимися прямыми с обеих сторон должны совпадать и быть равны .

        10. При инверсии плоскость, проходящая через центр инверсии (без центра инверсии), преобразуется в себя.

4. Теоремы инверсии.

Теорема 1. Если две кривые пересекаются в точке P, то инверсные им кривые пересекаются в точке Р₁, инверсной точке Р.

Теорема 2. Прямая, проходящая через центр инверсии О, сама себе инверсна.

Теорема 3 . Кривая, инверсна данной прямой , не проходящей через центр инверсии, есть окружность, проходящая через центр инверсии  , причем всегда .

  Рис. 6

Доказательство. Пусть  -основание перпендикуляра, опущенного из центра  на данную прямую произвольную точку Р и обозначим  = iпv (Р). На основании леммы:

Следовательно, когда точка Р будет перемещаться по прямой АВ, инверсная её точка Р¹ будет описывать окружность, имеющую отрезок ОQ¹ своим диаметром. Так как окружность  (О₁, |ОО₁|) и данная прямая АВ являются взаимно инверсными, то имеет место также обратное утверждение, а именно, что окружности, проходящей через центр инверсии, будет инверсна прямая линия.

Теорема 4 . Кривая, инверсна данной окружности  (О₁; R), не проходящей через центр инверсии, есть так же окружность. Центр инверсии является при этом центром подобия этих окружностей.

Рис. 7

Доказательство. Пусть линия центров ОО₁ окружности инверсии (О; r) и данной окружности (О₁; R) пересекает последнюю из них в точках  А и В. Обозначим А₁ = inv(А) и В₁ = inv (В). Возьмем на окружности (О₁; R) произвольную точку  Р и обозначим Р₁= inv(Р) .

Применяя лемму

В треугольниках А₁Р₁В₁ и АРВ.

Принимая во внимание предыдущее равенство, получают:

Пусть точка Р перемещается по данной окружности (О₁; R), тогда точка Р₁= inv (Р) будет описывать окружность (О₂; /О₂Р₁/), имеющую отрезок А₁В₁ своим диаметром. Теорема доказана.

5. Последствия инверсии

Построение фигур после инверсии

Сразу стоит отметить, что при применении в расчётах нужно учитывать большую погрешность, вносимую преобразованием инверсии: могут появляться дробные числа весьма малых порядков, и обычно из-за высокой погрешности метод инверсии хорошо работает только со сравнительно небольшими координатами.

В программных вычислениях зачастую более удобно и надёжно использовать не готовые формулы для координат и радиусов получающихся обобщённых окружностей, а восстанавливать каждый раз прямые (окружности) по двумя точкам. Если для восстановления прямой достаточно взять любые две точки и вычислить их образы и соединить прямой, то с окружностями всё гораздо сложнее.

Если мы хотим найти окружность, получившуюся в результате инверсии прямой, то, согласно приведённым выше выкладкам, надо найти ближайшую к центру инверсии точку  прямой, применить к ней инверсию (получив некую точку ), и тогда искомая окружность будет иметь диаметр .

Пусть теперь мы хотим найти окружность, получившуюся в результате инверсии другой окружности. Вообще говоря, центр новой окружности — не совпадает с образом центра старой окружности. Для определения центра новой окружности можно воспользоваться таким приёмом: провести через центр инверсии и центр старой окружности прямую, посмотреть её точки пересечения со старой окружностью, — пусть это будут точки  и . Отрезок  образует диаметр старой окружности, и легко понять, что после инверсии этот отрезок по-прежнему будет образовывать диаметр. Следовательно, центр новой окружности можно найти как среднее арифметическое точек и .

Параметры окружности после инверсии

Требуется по заданной окружности (по известным координатам её центра  и радиусу  определить, в какую именно окружность она перейдёт после преобразования инверсии относительно окружности с центром в  и радиусом .

Т.е. мы решаем задачу, описанную в предыдущем пункте, но хотим получить решение в аналитическом виде.

Ответ выглядит в виде формул:

,

,

,

где

.

Мнемонически эти формулы можно запомнить так: центр окружности переходит "почти" как по преобразованию инверсии, только в знаменателе помимо появилось ещё вычитаемое .

Выводятся эти формулы ровно по описанному в предыдущем пункте алгоритму: находятся выражения для двух диаметральных точек  и , затем к ним применяется инверсия, и затем берётся среднее арифметическое от их координат. Аналогично можно посчитать и радиус как половину длины отрезка .

6. Практическое применение инверсии

Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощь циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности, что и составляет проблему 3. Сначала рассмотрим решения задач 1 и 2, которые носят вспомогательный характер.

1. Разделить с помощью циркуля данный отрезок AB на n равных частей .

2. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.

3. Даны точки A, B, C, D и окружность w. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью  (задачи геометрии Мора-Маскерони).

Решение 1. Чтобы разделить отрезок (AB) на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. найдем точку C, что . А затем построим точку C¢ - образ точки C при инверсии относительно окружности w(A,|AB|). Из соотношения |AC|·|AC¢| = |AB|² получаем |AC¢| = |AB|/n. Все указанные построения можно выполнить только с помощью циркуля (для этого даже не нужна прямая (AB)).

Решение 2. Выберем произвольную точку O окружности w₁(X,r), центр X которой нам нужно определить (рис. ).

Рис. 8

Из точки O проведем произвольную окружность w(O,R) так, чтобы она пересекала исходную окружность w₁. Обозначим точки пересечения wÇw₁ через A и B. Куда перейдет прямая (AB) при инверсии inv_O^R? Конечно же в w₁, поскольку точки A и B остаются неподвижными (свойства). По свойству  центр inv_O^R((AB)) (т.е. центр w₁) является образом точки S_(AB)(O) при inv_O^R. Из этих рассуждений следует цепочка необходимых построений. Сначала находим точку O₁ = S_(AB)(O), симметричную O относительно прямой (AB) (школьная задача). А затем строим образ точки O₁ при inv_O^R, он и будет искомым центром. Все указанные построения выполняются только с помощью циркуля.

Решение 3. Опишем поиск пересечения двух прямых только с помощью циркуля. Пусть даны точки A, B, C и D (рис. 9).

Рис. 9

Выберем точку O так, чтобы она не лежала на прямых a = (AB) и b = (CD). При инверсии inv_O^R прямые a и b должны перейти в окружности inv_O^R(a) и inv_O^R(b), а их точка пересечения отобразится в точку пересечения окружностей inv_O^R(a) и inv_O^R(b), отличную от точки O. Теперь необходимые построения становятся очевидными: строим окружности inv_O^R(a) и inv_O^R(b), находим точку пересечения этих окружностей - точку X, и снова действуем инверсией уже на точку X. Точка Y = inv_O^R(X) является искомой. Пересечение прямой и окружности находится похожим образом.

Теперь терема Мора-Маскерони следует из решений задач 1, 2 и 3.

Применение при решении задач вычислительной геометрии

Замечательное свойство геометрической инверсии — в том, что во многих случаях она позволяет упростить поставленную геометрическую задачу, заменяя рассмотрение окружностей только рассмотрением прямых. Т.е. если задача имеет достаточно сложный вид различных операций с окружностями, то имеет смысл применить ко входным данным преобразование инверсии, попытаться решить полученную модифицированную задачу без окружностей (или с меньшим их числом), и затем повторным применением инверсии получить решение исходной задачи.

Пример такой задачи описан ниже.

Цепочки Штейнера

Даны две окружности и , одна находится строго внутри другой. Затем рисуется третья окружность , касающаяся этих двух окружностей, после чего запускается итеративный процесс: каждый раз рисуется новая окружность так, чтобы она касалась предыдущей нарисованной, и первых двух. Рано или поздно очередная нарисованная окружность пересечётся с какой-то из уже поставленных, или по крайней мере коснётся её.

Случай пересечения (рис.10):

рис.10

Случай касания (рис. 11):

рис. 11

Соответственно, наша задача — поставить как можно больше окружностей так, чтобы пересечения (т.е. первого из представленных случаев) не было. Первые две окружности (внешняя и внутренняя) фиксированы, мы можем лишь варьировать положение первой касающейся окружности, дальше все касающиеся окружности ставятся однозначно.

В случае касания получающая цепочка окружностей называется цепочкой Штейнера.

С этой цепочкой связано так называемое утверждение Штейнера (Steiner's porism): если существует хотя бы одна цепочка Штейнера (т.е. существует соответствующее положение стартовой касающейся окружности, приводящее к цепочке Штейнера), то при любом другом выборе стартовой касающейся окружности также будет получаться цепочка Штейнера, причём число окружностей в ней будет таким же. Из этого утверждения следует, что и при решении задачи максимизации числа окружностей ответ не зависит от позиции первой поставленной окружности.

Доказательство и конструктивный алгоритм решения следующие. Заметим, что задача имеет очень простое решение в случае, когда центры внешней и внутренней окружностей совпадают.

Понятно, что в этом случае число поставленных окружностей никак не будет зависеть от первой поставленной. В этом случае все окружности имеют одинаковый радиус, и число их и координаты центров можно посчитать по простым формулам.

Чтобы перейти к этой простой ситуации из любой подаваемой на вход, применим преобразование инверсии относительно некоторой окружности. Нам нужно, чтобы центр внутренней окружности передвинулся и совпал с центром внешней, поэтому искать точку, относительно которой будем брать инверсию, надо только на прямой, соединяющей центры окружностей.

Используя формулы для координат центра окружности после применения инверсии, можно составить уравнение на положение центра инверсии, и решить это уравнение. Тем самым мы от произвольной ситуации можем перейти к простому, симметрическому случаю, а, решив задачу для него, повторно применим преобразование инверсии и получим решение исходной задачи.

Задача Аполлония

Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

Рассмотрим задачу о построении окружности, касающейся трех данных окружностей, названную в честь крупнейшего специалиста по коническим сечениям древности Аполлония Пергского.

Решение. 1) Построим окружность , проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности ₁. Рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного радиуса R. Образом при инверсии  должна быть некоторая прямая , проходящая через точку  и касающаяся окружности .  Касательные из произвольной точки X к произвольной окружности  провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность на диаметре  и соединить X с точками пересечения . Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим  и , через точку  проводим касательные a и b к окружности , строим образы  и  при инверсии . В зависимости от расположения точки  относительно окружности  может быть два, одно и ни одного решения (например, когда  находится внутри ).

 2)  Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям  и . Будем считать, что . Проведем из точки  X касательную a к окружности  (рис. 12), тогда искомая внешняя касательная b к окружностям w и w¢ будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r.

Рис. 12

Для проведения внутренней касательной вместо  надо рассмотреть окружность . В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходным данным задачи.

Пусть даны точка A и две окружности  и .  Искомая окружность , проходящая через A и касающаяся  и , при инверсии с центром O = A должна перейти в некоторую прямую a, которая касается окружностей  и .  

Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим  и , проводим общие касательные (a,b,c,d) и строим образы этих касательных при . В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями w₁ и w₂, если они касаются в точке A).

3)Задача Аполлония легко сводится к пункту 2).

Пусть даны окружности w₁(O₁,r₁), w₂(O₂,r₂) и w₃(O₃,r₃), и r₁ < r₂ < r₃. Построим окружность w(O,R), проходящую через точку O₁ и касающуюся окружностей w₂(O₂,r₂-r₁) и w₃(O₃,r₃-r₁). Уменьшив радиус окружности w на r₁, т.е. рассматривая w(O,R-r₁), приходим к одной из искомых окружностей.

 Возможно до восьми решений данной задачи.

Применение в технике: прямило Липкина-Поселье

Долгое время задача преобразования кругового (вращательного) движения в прямолинейное оставалась весьма сложной в машиностроении, удавалось находить в лучшем случае приближённые решения. И лишь в 1864 г. офицер инженерного корпуса французской армии Шарль Никола Поселье (Charles-Nicolas Peaucellier) и в 1868 г. студент Чебышёва Липман Липкин (Lipman Lipkin) изобрели это устройство, основанное на идее геометрической инверсии.

Устройство получило название "прямило Липкина-Поселье" (Peaucellier–Lipkin linkage).

Чтобы понять работу устройства, отметим на нём несколько точек:

Точка  совершает вращательное движение по окружности (красного цвета), в результате чего точка необходимо движется по прямой (синего цвета). Наша задача — доказать, что точка — суть инверсия точки относительно центра с некоторым радиусом .

Формализуем условие задачи: что точка  жёстко закреплена, отрезки и  совпадают, и также совпадает четвёрка отрезков , , , . Точка  движется вдоль окружности, проходящей через точку .

Для доказательства заметим вначале, что точки ,  и  лежат на одной прямой (это следует из равенства треугольников). Обозначим через  точку пересечения отрезков  и . Введём обозначения:

 

Нам нужно показать, что величина :

.

По теореме Пифагора получаем:

Возьмём разность этих двух величин:

Таким образом, мы доказали, что , что и означает, что — инверсия точки .

Применение инверсии (в точке-середине доски) к изображению шахматной доски даёт интересную картинку (справа):

7. Заключение

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника.

Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.

В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также рассмотрена задача Аполлония, решение которой  является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии, проанализированы сферы применения инверсии и способы её построения.

Из свойств видно, что окружности и прямые равноправны. Если условиться считать прямую линию окружностью «бесконечно большого радиуса», то перечисленные свойства означают, что при инверсии окружность всегда переходит в окружность. Инверсия же относительно окружности «бесконечно большого радиуса» (то есть относительно прямой линии) совпадает с обычной симметрией относительно прямой.

Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 7 классе, так как в 7 классе изучаются основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии.. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени. В процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса.

Список литературы

1.     Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 2. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 240 с.

2.     Вавилов В. Геометрия круга – с. 38-42.

3.     Костовский А. Н. геометрические построения одним циркулем на плоскости и одним лишь сферографом в пространстве. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – с. 28-39.

4.     А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;

5.     Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;

6.     Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;

7.     Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;

8.     А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;

9.     И. Я. Бакельман, Инверсия;

10. С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;

11. И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;

12. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;

13. Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских и педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;

14. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;

15. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, М., Учпедгиз, 1957;

16. 13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии, М., Наука, 1989;

17. 14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М., Учпедгиз, 1958;

18. 15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.

Краткое описание документа:

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 7 классе, так как в 7 классе изучаются основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии.. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени. В процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса.