Научная работа по теме:"Координатно параметрический метод решения задач с параметром"

г. Улан-Удэ, 2018 г.

Частное общеобразовательное учреждение

«Школа-интернат №22 ОАО «РЖД»

                               Тема:                                    

«Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами»

                                                                                                                   Выполнил ученик 10 класса

  Волосатов Артём Алексеевич

                                                                                   Научный руководитель:

                                                                                    Учитель математики

       Бурдуковская Елена Ивановна

Оглавление:

·         Введение

·         Теоретическая часть

·         Классификация задач, решаемых КП-методом

·         Метод «частичных» областей

·         Практическая часть

·         Заключение

·         Библиографический список

·         Приложение

Введение

           Начиная с конца 50-х годов, на вступительных экзаменах по математике в ВУЗы появились задачи нового класса, называемые задачами с параметрами. К ним относятся задачи на решение уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, содержащих параметры.

         Не только сложность и оригинальность задач с параметрами привлекают к себе внимание. Оно связано в большей степени с тем, что необходимой частью таких задач является исследование характера и конечного результата процесса, описываемого математической моделью уравнения или неравенства в зависимости от значения параметров, причем не всегда от каждого параметра в отдельности, но и от их совокупности. Решение таких задач очень неформально, требует владения многими методами, а сами задачи чрезвычайно разнообразны. Общая методика для решения неравенств и уравнений с параметрами отсутствует.

            В своей работе   я  рассмотрел один из наиболее общих методов решения задач такого типа – координатно-параметрический. Данный метод выбрал не случайно, так как при решении многих задач довольно часто оказывается полезным графический метод. Было понятно, как строить графики в плоскости XOY, но не понимал, как построить график в плоскости XOa. Решил подробнее с этим разобраться. Рассмотрел ряд задач решённых данным методом, и ряд задач которые исследовал самостоятельно, в том числе задачу из КИМа ЕГЭ.

Актуальность.  Сегодня нет необходимости доказывать актуальность темы «Задачи с параметрами» в рамках обучения математике в школе. Чтобы получить хорошие баллы на экзамене, необходимо решать задачи повышенной сложности.

Конечно, совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что многие задачи с параметром решить проще,  используя координатно-параметрический метод.

            Цели работы:

1. Рассмотреть координатно-параметрический метод решения задач с параметрами.

2. Показать его применение при решении различных математических задач.

            Задачи: изучить основы  данного метода  решения задач с параметром и показать его применение на примерах одноклассникам. Рассмотреть решения  двух задач разными методами, провести анализ эффективности методов для конкретной задачи.

Теоретическая часть

            Метод решения задач, с параметрами использующий КП-плоскость (плоскость с осями параметр – переменная), называется КП-методом. Т.е.  одна из них (Ох) является координатной, а другая (Оа) параметрической. Он основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координаты х и параметра a, каждой из которых, удовлетворяют заданному условию задачи. Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра a=const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

       Итак, в основе координатно-параметрического метода лежит использование координатной плоскости хОa или аОх.

           Если исходное уравнение (или неравенство) удается преобразовать к виду

  a  φ(x) или x g(a) (где знак  обозначает любой из знаков:=,>,,,), то в первом случае на плоскости аОх строят график функции φ(х), а затем, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси Ох, получают необходимую информацию; во втором – производят построения графика функции g(а) на плоскости хОа. Другой вариант связан с нахождением на плоскости хОа графического решения уравнения (неравенства) вида f(х, а)  0 .

           При решении конкретной задачи координатно-параметрическим методом плоскость xOа иногда разбивается на «частичные области», внутри каждой из которых геометрически интерпретируется и решается поставленная задача.

           КП-метод основан на нахождении множества всех точек КП-плоскости, значения координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению). Если  указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра  а = const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

           При решении уравнения или неравенства f(х, а)  g(х, а) иногда удается выразить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с параметром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зависимости одной переменной от другой.

              Классификация задач, решаемых  КП-методом:

1.      К первому типу отнесем задачи, в условии которых спрашивается о количестве решений уравнения или систем уравнений в зависимости от значения параметра.

2.      Ко второму типу задач отнесем такие, в которых необходимо найти значение параметра, при которых задача имеет заданное количество решений (единственное, k решений, бесконечное множество).

3.      Третий тип представляют задачи, в которых необходимо получить решение для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

4.      Четвертый тип представляют задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяют заданным условиям.

                                                    Метод «частичных» областей.

Метод областей – это аналог метода интервалов решения неравенств с одной переменной при решении неравенств с двумя переменными. Рассмотрим подробно все шаги решения методом областей.

Пример.  Рассмотрим неравенство Р (х, а) > 0, где Р (х ,а) > 0 – многочлен, аргументами которого являются переменная х и параметр а.

Пусть уравнение   Р (х,а) =0 определяет некоторые линии на КП- плоскости.

Разобьем этими линиями КП- плоскость на конечное число n «частных областей» G1,G2,…….Gn, ограниченных линиями Р=0. В каждой из «частичных областей» Gi(i=1,2,…….., n) многочлен Р (х,а) отличен от нуля, так как точки в которых Р (х,а) =0 принадлежат границе этих частичных «областей».

Справедлива теорема:  В каждой из областей Gi(i=1,2,…….., n), на которые линии Р=0 делят КП-плоскость ,многочлен Р (х,а) либо положителен, либо отрицателен.

Таким образом, решение неравенства (2) – множество всех пар чисел (х, а), при которых неравенство выполняется, образуют объединение тех областей Gi(i=1,2,…….., n), в которых значение  Р (х,а) положительно.

Для установления  какое из неравенств Р>0 или P<0 выполняется в данной области достаточно вычислить значение Р (х,а) в какой-нибудь определенной точке этой области.

Решением системы алгебраических неравенств  

Заключается в отыскивании для каждого из неравенств системы областей, в которых оно выполняется, и в нахождении общей части (пересечения) всех этих областей.

    Итак, можно сформулировать алгоритм решения:

1) Найти на КП-плоскости ОДЗ (область допустимых значений переменной и параметра) – множество всех точек ,при значениях координаты  х и параметра   а  в каждой из которых выражения P(х,а) определено.

2) Построить на КП - плоскости  линии, состоящие из всех точек, при значениях координаты х и параметра а  в каждой из которых выражение P(х,а) обращается в нуль или не существует.

3) Разбить этими линиями  найденную ОДЗ на «частичные области».

            4) Исследовать знак выражения P(х,а) в каждой из полученных частных областей. Для этого достаточно установить знак выражения P(х,а)  в какой-нибудь одной точке в каждой из «частичных областей».

Практическая часть

Задача №1: На координатно-парамертической плоскости  хОа  изобразить множество решений уравнения  (см. приложение рисунок 1)

Решение: По определению абсолютной величины действительного числа имеем

       На рисунке данное множество изображено жирной линией.

Задача №2: Для каждого значения параметра а решить неравенство (х-а)(х-2)0

Рассмотрим решение этой задачи двумя способами:  аналитическим и координатно-параметрическим.

1. Аналитический.

Рассмотрим  неравенство: х²-(2+а)х+2а. Прибегая к помощи квадратичной функции, рассматриваем все возможные случаи:

1. Если а=2, то вершина параболы лежит на оси ОХ, её координаты: а=2 ветви направлены вверх , тогда х=2

                                             2. Если а, то х₁= а;  х₂ = 2, тогда получается два случая:

                                             а) а>2                                                                   

                                           

                                              б) а <2                                                                   

Ответ: Если  а< 2, то ; если а=2, то х=2; если

2. Координатно –параметрический.

На координатно- параметрической плоскости  хОа строим две прямые:

х=а и х=2 (см. приложение рисунок 2).

Множества точек, значения координаты и параметра которых удовлетворяют рассматриваемому неравенству, представляет собой области І и ІІІ.

Ответ: Если  а< 2, то ; если а=2, то х=2; если

Вывод: При решении данной задачи я считаю, что импонирует координатно-параметрический метод т.к. он требует меньше вычислений, и не вызывает  трудность вычисления параметра на граничных положениях прямой.

Задача №3: При всех а решить уравнение  и определить при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение

     1. Найдём нули модуля: х₁=-3; х₂=1

2.      Определим знак модуля на каждом промежутке

	()
	-	+	+
	-	-	+

3.      Рассмотрим совокупность трёх смешанных систем:

Ι.        ΙΙ.   

    4.  Строим графики:    (см. приложение рисунок 3).

Первая система при a1 имеет единственное решение х=  гипербола, а при а=1 не имеет решений; вторая система при a-1 имеет единственное решение х=1, а при а=-1 множество решений -3х1; третья система при а=1 не имеет решений, а при а=1 имеет множество решений х>1

Ответ.

Задача №4: Для каждого значения параметра определить число корней уравнения                 

Решение:

1. Применяя метод частичных областей и раскрывая модуль в каждой области , получим, что уравнение равносильно совокупности трёх систем

Ι.             ΙΙ.       ΙΙΙ.

2. Строим графики:  ,  а=с  (см. приложение рисунок 4).

3. Записываем ответ: .

Задача №5: Найти все значения параметра а при которых уравнение

  имеет единственное решение.

Решение:  1. Проверяя  х=0, определяем,  что ноль не является корнем;

2.  Раскрывая модули, заменим данное уравнение совокупностью смешанных систем:

	-	+	+
	-	-	+

;

3. На КП аОХ строим графики: a= -4-  ; a= ; a= 4- ; каждый в своей области заданного промежутка (см. приложение рис 5). Далее находим координаты точек пересечения графиков: а) слева:         б) справа:

Чтобы уравнение имело единственное решение необходимо, чтобы прямая  a=b имела с графиком одну общую точку, это возможно при

Ответ:

Задача № 6: Для каждого значения параметра а решить неравенство:

Используя раскрытие модуля по определению, заменим неравенство равносильной ему совокупностью систем неравенств:

 

Изобразим на КП- плоскости хОа множество всех точек (х; а), значения координаты х и параметра а каждой из которых удовлетворяют совокупности данных систем (см. приложение рис 6.)

Ответ:

Задача №7:  Для каждого значения параметра а решить неравенство

Решение: Изобразим на КП-плоскости  хОа множество всех точек (х;а), значения которых удовлетворяют данному неравенству. Сначала построим контур уравнения . В І четверти КП-плоскости при  уравнение пимет вид х+а=1. Значит, это множество изобразится отрезком прямой  х=1-а, во ІІ четверти при х>0, а<0 множество изобразится отрезком прямой  х=1+а, соответственно в ІІІ четверти отрезком прямой х= -1-а, в ІV отрезком прямой х=-1+а. Таким образом множество представляет собой контур квадрата с вершинами в точках (1;0); (0;1); (-1;0); (0;-1) (см. приложение рисунок 7). КП- плоскость разбивается на две области: внутри квадрата и вне. Нашему неравенству удовлетворяет внутренняя область.

Ответ:

Задача №8: Для каждого значения параметра а решить уравнение   

Решение: Применяя метод «частичных областей» и определение модуля составим совокупность трёх систем.

	-	+	+
	-	-	+

І.  ;

;

ІІІ.

На плоскости  хОа решением уравнения в І области: х<0 является значение координат точек, лежащих на луче ; во второй полосе  значения координат точек отрезка прямой х=2-а; в третьей значение координат точек, лежащих на луче  (см. приложение рисунок 8).  Поставим в соответствие  каждому значению параметра а значение х на полученной линии и запишем ответ.

Ответ: Если а<1, то решений нет; если a=1, то х=1; если ;

если а=2, то х₁=0 и х₂=4/3; если а>2, то ;

Задача №9: Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства (а-х²)(а+х-2)<0 не содержит ни одного решения неравенства

Решение:

 В КП-плоскости  хОа строим графики: а = х² и а = 2-х (см. приложение рисунок 9). Графиком первой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, и координата вершины лежит в точке (0;0). Графиком второй функции является прямая проходящая через точки (2;0) и (0;2). Выделяем «частичные»  области и полосу  - решение неравенства

. В каждой из трёх «частичных» областей І, ІІ, ІІІ данной полосы это выражение сохраняет знак, для установления которого достаточно вычислить значение рассматриваемого выражения в кокой-либо точке «частичной» области. Точки, удовлетворяющие самому данному неравенству, изображаются закрашенными областями зелёного и розового  цвета вместе, а розовая область (ΙΙ) отдельно-это та общая часть решений двух неравенств её не  должна пересекать прямая параллельная оси ох. Очевидно, что а ≤ 0 или а ≥ 3. При этом сами точки 0 и 3 требуют отдельного внимания.  В силу строгости данного неравенства они нас устраивают тоже. Точка а=3 это точка пересечения прямых   х=-1  и а= 2-х.

Ответ: а ≤ 0 и а ≥ 3.

Задача № 10: (ЕГЭ 2010). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно три различных корня.

Решение: Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, то данное уравнение равносильно совокупности: ;

Построим графики полученных функций в системе координат хОа. Графиком первой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, координата вершины находится в точке

 (2; -3). График второй функции получен из графика   параллельным переносом вдоль оси Ох вправо на две единицы и вдоль оси Оа на одну единицу вниз (см. приложение рисунок 10).

Из рисунка видим, что условию задачи удовлетворяет одно значение а=-1

Ответ: а=-1

Задача № 11: Для каждого значения параметра а решить систему неравенств:

Решение:

Найдем

Выполним преобразования системы

  

Строим:  (см. приложение рисунок 11).

3  это объединение систем:      

        

 

                     

Ответ:

Задача № 12: (сайт «Решу ЕГЭ»). Найдите все положительные значения a , при каждом из которых множеством решений неравенства      является некоторый луч.

Решение.

Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

Способ 1 (метод интервалов).

Так как a>0,  знаменатель исходной дроби имеет корни a и   . Если числа 2,   a и   попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, a и    какие-то два совпали.

1. Если a=2 или a=0,5 то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: (0,5; 2)(2;+). 

2. Если a=  , то a=1, так как, согласно условию a>0.

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч [2;+). 

 Способ 2 (координатно параметрический).

Данное неравенство задает на координатной плоскости Oxa три области (см. приложение рисунок 12, заштрихованные области).

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a.

Это множество является лучом только при a=1.

Ответ: а=1.

Задача № 13: (сайт «Решу ЕГЭ»). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство  не имеет решений на интервале (1; 2).

 Решение:

1. ОДЗ: x -a

2. Преобразуем заданное неравенство  ⇒ ⇒    ⇒  4(x+)² ⇒(x² -3 -2(x+))(x² -3 +2(x+)) ⇒ (x²-2x-5)(x²+2x-)

3. Строим графики функций:  = x²+2x ;   = (x²-2x) . Графиками являются параболы ветви которых направлены вверх, первая с вершиной в точке (-1; -1), вторая в точке (1; ).

  = -x , а так же прямые х =1 и х = 2, так как будем рассматривать интервал  (1; 2).

4. Определяем  знак  в каждой полученной области (см. приложение рисунок 13).

5. Выясняем при каких значениях параметра прямая  =b не имеет общих точек с выделенной областью на интервале (1;2).

Ответ:  .

Заключение

 Работая над данной темой, я определил, что процесс обучения методу можно разделить на три этапа.

           Этап 1.  Обучение нахождению множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением F(x,a) V 0, где  значок V обозначает один из знаков: =,>,

В рамках этого этапа рассматриваются два шага: построение графиков уравнений и нахождение областей, задаваемых неравенством. То есть необходимо:

а)  построить график заданного уравнения.

б)  определить знак функции в каждой полученной области (метод областей).

         Этап 2.  Установить соответствие между допустимым фиксированным значением параметра a и значениями искомой величины х, то есть, снять информацию с готового чертежа.

        Этап 3. На этом этапе происходит соединение этапов 1 и 2, таким образом  поставленная задача с параметром рассматривается  полностью от условия до ответа.

           Практическая ценность работы заключается в использовании полученных результатов для более качественной подготовки к экзамену.

           Рассмотрев ряд задач с параметром, я сделал вывод:

1. При решении уравнений с параметрами нельзя говорить о предпочтении одного способа перед другим.

2. Выбор метода решения зависит от постановки задачи, т.е. когда нам требуется определить количество корней уравнения, то удобнее использовать графический способ, а если нам необходимо найти корни уравнения в зависимости от параметра, то эффективнее координатно-параметрический способ.

3. Для людей, у которых лучше развито левое полушарие мозга, координатно-параметрический метод более прост в понимании и применении, чем другие методы.

Библиографический список:

1. Моденов, В. П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие / В.П. Моденов. — М.: Экзамен, 2007. – 288 с.

2. Ляхова Н.Е., Яковенко И.В. Методы решения уравнений и неравенств в задачах с параметрами: учеб.пособие / Н.Е. Ляхова, И.В. Яковенко; отв. ред. А.А. Илюхин. – Таганрог: ТГПИ имени А.П.Чехова, 2014.– 92 с.

3. Статья О.В. Шилкина «Разноуровневый подход к обучению координатно-параметрическому методу решения задач с параметром»

4.  Координатно-параметрический способ решения...egetrener.ru›

5. Тесты «Алекс Ларин»

6. Сайт «Решу ЕГЭ»

Приложение

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13