Научно-исследовательская работа " Шаг в будущее" по теме : "Последние цифры степеней"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Потанинская средняя общеобразовательная школа»

Секция: алгебра и математический анализ.

 Теория чисел.

 Исследовательская работа                                                                    

Последние цифры степеней

Выполнила:                                                                                 Игумнова Александра,

Ученица 8 класса МБОУ «Потанинская СОШ»

                                                                                 Руководитель:

                                                                                 Полянская Виктория Анатольевна,

                                                                                  учитель математики первой категории

Потанино,2019

Содержание

Введение…………………………………………………………………………1

Цели и задачи исследования……………..…………………………………...1 

Глава 1. Обзор литературы

1.1.Степень числа…….…………………………...............................................2

1.2.Последняя цифра степени…….………………………………………..….2

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа…………………………..…………………………………………………2

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4………………………………………………………………….3

Глава 2. Практическая часть…………..……………………………………4

Выводы…..……………….………………………………………..…………...5

Литература………………………………………….………………………….6

Приложение……………………………………………………………………7

Введение.

    Когда готовишься к различным олимпиадам и конкурсам по математике, то часто встречаются задания типа: “Какой  цифрой оканчивается данное число?”

      И решая такие задания, возникла тема исследования: “какой же будет последняя цифра натурального числа, взятого в любой степени?  Имеется ли какая-либо закономерность в том, как изменяется последняя цифра натурального числа в зависимости от степени?”.

Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. В сборнике олимпиадных задач по математике, я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример. Надо было найти последнюю цифру суммы 1981¹⁹⁸⁹ + 1982¹⁹⁸⁹ + 1983¹⁹⁸⁹ + 1984¹⁹⁸⁹ [phone] +…+ 1989¹⁹⁸⁹. Я решила изучить глубже тему: возведение в степень.

 Вызвана ли потребность в изучении темы практической жизнью? Конечно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени.

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

Задачи:

• изучить литературу по данной теме;
• построить таблицу последних цифр различных степеней;
• выявить какая  закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
• применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

Глава 1. Обзор литературы.

                                                 1.1.Степень числа

      Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

     Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью:  а×а×а× а= а ⁴.

Читают: «а в степени 4» (или просто «а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

     Степенью числа а с натуральным показателем n (n>1) называется произведение  n множителей, каждый из которых равен а: 

1.2.Последняя цифра степени

    Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

21 = 2 25 = 32 29 = 512

22 = 4 26 = 64 210 = 1024

23 = 8 27 = 128 211 = 2048

24 = 16 28 = 256 212 = 4096

     Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

     В самом деле конечно, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

     Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

     Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2,  т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

     А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

     Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во - второй строке - цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0
	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0
	1	6	1	6	5	6	1	6	1	0
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

   Когда с я заполнила пятую строку, затем шестую и удивились. Оказывается, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

     Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я вывела следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

·         Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

·         Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;

·         В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;

·         В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;

·         В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;

·         В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные - цифрой 6.

     Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

	531441	12:4=3(остаток 0)	1
	84934656	4:4=1(остаток 0)	6
	4294167296	16:4=4(остаток 0)	6
	130321	4:4=1(остаток 0)	1
	152387890625	8:4=2(остаток 0)	5

      Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

     Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

	5153632	5:4=1(остаток 1)	2
	10604499373	9:4=2(остаток 1)	3
	87089010407	13:4=3(остаток 1)	7

     Вывод: если остаток равен 1, то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

      Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

	16777216	6:4=1(остаток 2)	6
	609623072849	14:4=3(остаток 2)	9
	85766121	10:4=2(остаток 2)	1

     Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

     Найдем последнюю цифру степеней

	62748517	7:4=1(остаток 3)	7
	31381059609	11:4=2(остаток 3)	9

    Вывод: если остаток равен 3, то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

Глава 2. Практическая часть.

1.Найти последнюю цифру числа .

Решение:

 

2001:4=500 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 2.

187:4=46 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна кубу последней цифре в записи основания степени, т.е. 2³=8.

114:4=28 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи основания степени, т.е. 3²=9.

2.Какой цифрой оканчивается число ?

Решение:

11:4=3 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  - 1.

12:4=3 (остаток 0).

Следовательно, последняя цифра числа  - 6.

13:4=3 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра  числа  - 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3.Найти последнюю цифру числа .

Решение:

365:4=91 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа  - 2.

241:4=60 (остаток 1).

Следовательно, последняя цифра числа  - 3.

Получаем, 2+3=5. Итак, последняя цифра числа 5.

4.Какова последняя цифра числа .

Решение:

358:4=89 (остаток 2).

Следовательно, последняя цифра числа  - 9.

275:4=68 (остаток 3).

Следовательно, последняя цифра числа  - 7.

Получаем, 9+7=16. Итак, последняя цифра числа 6.

5.Доказать, что число  не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число  должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда,  оканчивается цифрой 1,  оканчивается цифрой 6,  оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число   оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

6.Найдите последнюю цифру суммы 1981¹⁹⁸⁹ + 1982¹⁹⁸⁹ + 1983¹⁹⁸⁹ + 1984¹⁹⁸⁹ [phone] +…+ 1989¹⁹⁸⁹ .

1989:4=499 (остаток 3).

Тогда  оканчивается цифрой 1,  - 8,  - 7,   - 4,

 - 5,  - 6,  - 3,  - 2,  - 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 1981¹⁹⁸⁹ + 1982¹⁹⁸⁹ + 1983¹⁹⁸⁹ + 1984¹⁹⁸⁹ [phone] +…+ 1989¹⁹⁸⁹  оканчивается цифрой 5.

Выводы.

     В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения факультативных занятий по математики для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике.

       Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Литература

1.      Избранные олимпиадные задачи. Приложение к журналу «Квант», № 2, 2007, Москва.

2.      Н.Х. Агаханов, Л.П.Купцов и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1997

3.      Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1990,-224с.

4.      Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ - М.: Просвещение, 2013

5.      Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006

6.      http//portfolio.1september.ru

7.      http://mat.1september.ru/view_article.phpID=201000202 

Приложение

Краткое описание документа:

Исследовательская работа по алгебре ученицы 8 класса по теме "Последние цифры степеней"