Научно-практическая работа "Синусоида" (10 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска

«Средняя общеобразовательная школа №64»

Синусоида и ее применение

Выполнил:

 Конвиз Илья Викторович

ученик 10 «А» класса

Руководитель работы:

Прохорова Виктория Александровна,

учитель математики

Новосибирск 2021

Оглавление

Введение. 3

Теоретическая часть. 5

1.1.  Возникновение тригонометрии как науки. 5

1.2. Что такое синусоида?. 6

Практическая часть. 7

2.1. Для чего нужны синусы в обычной жизни?. 7

2.2. Тригонометрия в физике. 7

2.3. Тригонометрия в медицине. 8

2.3.1 Анализ расчётных графиков биоритмов десятиклассников. 9

2.4. Тригонометрия в природе. 10

2.5.  Тригонометрия в архитектуре и искусстве. 12

2.6. Результат опроса среди десятиклассников. 13

Заключение. 14

Литература. 15

Приложение. 16

Введение

Недавно, начиная изучать раздел математики - тригонометрию, я задал себе вопрос: зачем она нужна, где её применяют, зачем её вообще изучают. Особый интерес у меня вызвало построение графиков тригонометрических функций – а именно синусоиды; это график функции y = sin x, она завораживает меня своей грацией, а ее волны, простирающие от минус бесконечности до плюс бесконечности, уносят меня в просторы тригонометрии. Преобразование графиков - сжатие, растяжение, параллельный перенос является увлекательным путешествием в алгебру и начала анализа. Научившись строить на уроках элементарные графики тригонометрических функций, мне захотелось узнать о них больше: возможно ли применение синусоиды в других областях науки?  Ведь многие явления, происходящие в природе периодичны, а периодичность является одним из свойств тригонометрических функций.  Такие явления можно наблюдать в биологии, в физике, медицине. Помимо периодичности она обладает вертикальной симметрией, а значит, тригонометрические функции имеют место и в практической деятельности – в архитектуре и искусстве.

Красоту такого разнообразного раздела математики и хотелось раскрыть этим проектом «Синусоида и ее применение».

Хотя многие считают, что математика скучна и однообразна, рассмотрение ее через призму различных областей окружающего мира вызывает большой интерес.  Я считаю, что именно в этом и состоит актуальность данной работы

Объект исследования –  синусоида; 

Предмет исследования - области ее практического применения.

Цель: Раскрыть красоту и многообразие тригонометрии через явления окружающего мира, различные области деятельности человека

Задачи:

1.     Изучить литературу по данной теме.

2.     Выяснить, какие законы природы выражаются тригонометрической функцией.

3.     Найти примеры применения тригонометрических функций в деятельности человека.

4.     Проанализировать и систематизировать имеющийся материал.

Гипотеза: Всё в мире: и неживая природа, микро и макромир, живые организмы, в том числе человек и сообщества людей – государства, империи, мировые религии (идеологии) подчиняются закону синусоиды.

Для исследования мы использовали такие методы как:

•      Изучение научно- популярной литературы;

•      Проведение опроса среди десятиклассников насчет актуальности тригонометрии в жизни;

•      Построение и анализ расчетных графиков биоритмов одноклассников.

Теоретическая часть

1.1.  Возникновение тригонометрии как науки

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Слово тригонометрия состоит из двух греческих слов: trigwnon - треугольник и metrew - измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников. [4]

Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы; немного позднее ее стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов. [3, c.55]

Первым графиком тригонометрической функции, появившимся в печати, была синусоида, помещенная в одном из произведений французского математика Жиля Персона де Роберваля. Вычерчивание и применение графиков тригонометрических функций вошло в широкое употребление лишь после появления «Геометрии» Декарта и создания аналитической геометрии. [2, c.7-10]

Рис.1 Первый график тригонометрической функции, появившийся в печати.

1.2. Что такое синусоида?

 Синусоида - волнообразная плоская кривая.

Рис.2 Синусоида [1, с.71]

          Если рулончик бумаги разрезать наискось и развернуть его, то край бумаги окажется разрезанным по синусоиде. Любопытно, что проекция на плоскость винтовой линии также будет синусоидой.
   Изменение какой либо величины по закону синуса называется гармоническим колебанием. Примеры таких колебаний: колебания маятника, колебания напряжения в электрической сети, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и др.

Практическая часть

 2.1. Для чего нужны синусы в обычной жизни?     

На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.

2.2. Тригонометрия в физике

Колебательный процесс - периодический или почти периодический процесс, который повторяется через одинаковые или почти одинаковые промежутки времени.

Колебательный процесс включает в себя гармонические колебания – колебания, при которых изменения физических величин происходит по закону синуса и косинуса, выражающего связь между амплитудой и временем (рис. 1) [2, с.155]

рис.3. Понятие колебательного процесса

  

Выражение, стоящее под знаком косинуса или синуса, называется фазой колебания:

2.3. Тригонометрия в медицине

           Приходилось ли вам видеть кривую на бумаге или фотопленке при регистрации деятельности сердца специальными приборами (ЭКГ)? (рис. 3)    

Рис. 4. Электрокардиограмма сердца

Электрокардиограмма – это кривая, которая отражает биоэлектрическую работоспособность сердца. В момент возбуждения сердца с его внешней, а также внутренней стороны происходит разность потенциалов, которая постепенно меняет свою величину и направление. Эти изменения становятся результатом внедрения в возбуждение иных частей сердца.          

Если сравнить график кардиограммы сердца с графиком функции y=sin x, можно увидеть, что кардиограмма сердца является искривленной синусоидой (рис. 5, рис.6)

Рис. 5. ЭКГ сердца

Рис. 6. График синусоиды

          Жизнь человека, как и всё в природе, подвержено влиянию циклических изменений. В определенные дни, которые рассчитывает этот график (рис. 7). Люди имеют либо максимум, либо минимум в физическом плане, психологическом плане или интеллектуальном плане, т.е. они либо имеют большой прилив сил, либо имеете очень позитивный настрой, либо вы можете решать даже самые сложные для вас задачи.

рис. 7. Расчетный график биоритмов автора проекта

 

2.3.1 Анализ расчётных графиков биоритмов десятиклассников

Ряполов Савелий

 

           Сенин Роман

 

рис. 8-9. Расчетный график биоритмов одноклассников

Я построил расчетные графики биоритмов всех своих одноклассников. Проведя парочку исследований, можно выявить то, что эти данные подтвердились. Я проанализировал поведение двух моих одноклассников (Савелий Ряполов и Роман Сенин Биоритмы класса 10 «А» (Приложение 1)) и свое, на протяжении недели, и выявил, что все спады и подъемы полностью совпадают.

 

2.4. Тригонометрия в природе

Тригонометрия встречается и в природе. При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду (рис. 10)

Рис. 10. Траектория взмаха крыльев птицы

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения (рис. 11).

Рис. 11. Движение рыб в воде

Северное сияние, всеми знакомое нам явление, также связано с синусоидальным законом:

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы (рис. 12).

Рис. 12. Северное сияние

Рис. 13. Движение Земли вокруг Солнца

Движение Земли вокруг Солнца иллюстрирует «движение» точки тригонометрической окружности (рис. 14)

Рис. 14. «Движение» точки тригонометрической окружности

2.5.  Тригонометрия в архитектуре и искусстве

Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Некоторые композиционные решения и построения рисунков проходило именно с помощью тригонометрии.

Особый интерес вызвало у меня архитектурное сооружение в Барселоне каталонского архитектора Антонио Гауди, построенное в 1888-1894 гг. - школа при монастыре святой Терезы (рис 15).

Рис. 15. Детская школа Гауди в Барселоне

Поверхность крыши школы напоминает синусоидальную поверхность (рис. 16).

Рис. 16

Уравнение синусоидальной поверхности имеет вид:    

k=1, a=1.[2]

Арочные сооружения, построенные по проекту испанского архитектора Феликса Канделлы так же вызвали у меня не меньший интерес. Необычные поверхности зданий напоминают арку, являющуюся элементом синусоиды (рис. 17, рис.18).

Рис. 17. Океанариум („L'Oceanogràfic“, 1994–2002), Валенсия

Рис. 18 Павильон в Космическом центре, Мехико (1950/1951)

 

2.6. Результаты опроса среди десятиклассников

Проведя опрос среди десятиклассников (рис.19), я пришел к выводу, что не каждый школьник имеет представление об использовании тригонометрии в жизни.

Рис.19 Результат опроса среди десятикласников

Заключение

В сегодняшнем проекте я выяснил кое-что важное. Хоть с самого начала кажется, что тригонометрия кажется абсолютно бесполезной и неприменимой, но это не так. Это благодаря тому, что я привел несколько примеров о применении синусоиды в различных сферах науки и общества. Я также решил, что на будущее лучше сделать парочку задач.

Задачи на будущее:

•      Продолжить изучение синусоиды

•      Продолжить наблюдение за применением тригонометрии в жизни

•      Познакомить своих одноклассников с их расчетными графиками биоритмов

И вывел результаты своей работы.

Результаты работы:

•      Мы изучили историю возникновения тригонометрии как науки и первое появление синусоиды

•      Изучили и разобрали «закон синусоиды» на примере разных сфер в науке и обществе

•      Выявили мнение школьников о применении тригонометрии в жизни

Литература

1. Мордкович А.Г. и др. "Алгебра и начала математического анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М.: Мнемозина, 2012.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклас. чтения IX-XX кл. – 2-е изд., испр.  - М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 1983.

4.https://ru.wikipedia.org/wiki

5.     http://www.math24.ru

Приложение 1

(Таблица расчётных графиков биоритмов обучающихся 10 «А» класса)

№	ФИ	Дата рождения	Расчетный график биоритмов
1	Карина Симанович	09.04.2005
2	Даниил Шатоба	12.07.2005
3	Алина Абдрахманова	25.05.2005
4	Сергей Кобелев	21.09.2005
5	Никита Демиденко	05.03.2005
6	Ксения Кудрина	25.02.2006
7	Елизавета Саморядова	28.04.2005
8	Кирилл Веселов	14.03.2005
9	Савелий Ряполов	25.11.2005
10	Ксюша Календина	15.01.2005
11	Ярослав Лучинин	13.05.2005
12	Екатерина Макарова	07.06.2005
13	Дмитрий Кретинин	25.04.2005
14	Самран Гасанов	25.12.2005
15	Алена Свистунова	21.04.2005
16	Екатерина Белицкая	17.07.2005
17	Арина Гаврилевич	20.07.2005
18	Екатерина Горбунова	29.07.2005
19	Елизавета Горбунова	27.06.2005
20	Артем Злобин	03.03.2005
21	Коротин Данил	29.05.2005
22	Виктория Кузьменко	23.06.2005
23	Владимир Лузин	17.09.2005
24	Максим Москалев	30.09.2005
25	Ульяна Овчинникова	21.08.2005
26	Роман Рогожников	01.11.2005
27	Роман Сенин	15.10.2005
28	Илья Фуркайло	08.03.2005
29	Анна Умрихина	12.05.2005
30	Диана Пацукова	26.11.2005
31	Александра Губаз	26.12.2005
32	Вероника Ощепкова	05.10.2005
33	Анастасия Ядрова	14.01.2005
34	Сергей Сергеев	28.12.2005
35	Конвиз Илья	21.11.2005