Открытый урок 11 класс

Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений».

Цель урока:

Обобщить и систематизировать изученные методы решения   логарифмических  уравнений, выявить особенности каждого метода и  сформулировать общий алгоритм решения  логарифмичесих уравнений.

Оборудование: доска, компьютер, проектор.

Ход урока

Урок сопровождается компьютерной презентацией. (Приложение 1)

1. Разминка

Повторение материала по теме «Логарифм, свойства логарифма»  по плану (СЛАЙДЫ 4-9)

1. Определение логарифма.

2. Свойства логарифма.

3.Установи соответствие.

4. Вычислите.

5.Найди ошибку!

6. Математический диктант (Учащиеся вспоминают определение логарифма, свойства логарифма).

Математический диктант (подготовка к ЕГЭ, прототипы заданий №9)
 (По одному ученику выходят к доске выбирают задание и записывают решение, остальные самостоятельно выполняют задание в рабочей тетради).

Задания:

Ответ:169	Ответ:0,25	Ответ: 2
Ответ: 49	Ответ:0	Ответ: -0,5
Ответ:7	Ответ:19	Ответ:2
Ответ:2	Ответ: 0,5	12 Ответ:84

2. Мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?» Зачем мы изучаем логарифмы? ( Сведения из истории и не только)

СЛАЙД 10

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц

СЛАЙД 11

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

СЛАЙД 13

Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах. Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата. 

Логарифмы появились в ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Зачем изучают логарифмы сегодня в школе?

СЛАЙД 14

Особенности логарифмической спирали  поражали не только математиков. Её геометрические свойства, в частности инвариантность (сохранение угла), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.

Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров.

Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

СЛАЙД 15

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам.

СЛАЙД 35

Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке.

Логарифмы применяются для измерения энергетических (мощность, энергия) или силовых (напряжение, сила тока) величин. Эти величины встречаются практически во всех разделах физики.

Зачем мы изучаем логарифмы?

Ребята, чтобы вы хотели узнать поданной теме? Ваша цель на урок?

Целепологание.

           Изученные нами определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволяют  решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас. Сегодня на уроке при решении уравнений мы будем использовать  те методы, которые нам известны и познакомимся с новыми методами решения логарифмических уравнений. Сформулируем общий алгоритм решения  логарифмичесих уравнений.

           Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

3. Изучение нового материала

3.1. Логарифмические уравнения.

Определение. Логарифмическим уравнением называют уравнения вида

 где а – положительное число, отличное от нуля, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

3.2. Виды логарифмических уравнений и методы их решений:

1.     х = , где а(по определению логарифма)

2.  

3.  

Методы  решения логарифмических уравнений:

1.Решение уравнений по определению логарифма

log_a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение  х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

·        по данным основаниям и числу определяется логарифм,

·        по данному логарифму и основанию определяется  число,

·        по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х,         log₁₆х = ¾,                 log_х 27= 3,

2^х= 128,               х =16 ^¾   ,                   х³ =27,

2^х = 2⁷,                 х =2 ³  ,                       х³ = 3³   ,

х =7  .                   х = 8.                          х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

2. Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

 log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Метод потенцирования –  широко применяется при решении логарифмических уравнений. Но при решении уравнений этим способом расширяется область допустимых значений переменной, поэтому здесь нужна проверка полученных корней.

Пример:

Решите уравнение   =

ОДЗ:

3х-1>0;                     х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

3.Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример:

Решите уравнение  =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log₂х²>0;

х²>0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

 = log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

 С классом решить следующее уравнение:

 ⁼  (ответ: х=1)

4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Пример:

Решите уравнение  log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х>0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

 +  =3 (ответ: х=5/3)

5.Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма.

Пример:

Решите уравнение  log₂ (х +1)  -  log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0.         х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем   log₂ = 2, откуда следует  = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅  (х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3   =  1,

37-12х >0,                 х< 37/12,

7-2х >0,                     х< 7/2,                     х< 7/2, 

7-2х≠ 1;                     х≠ 3;                         х≠ 3;

       log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х )  =  1,

       ½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

        log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

        37-12х= 49 -28х +4х²  ,

        4х²-16х +12 =0,

         х²-4х +3 =0,   Д=19,   х₁=1,   х₂=3,  3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

    в) lg(х²-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

 (х²-6х+9) >0,     х≠ 3,

 х-7 >0;               х  >7;             х  >7.

        lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))²    = 9,

(х-3)/(х-7) = 3,                                 (х-3)/(х-7)= - 3 ,

х- 3 = 3х -21 ,                                    х -3 =- 3х +21,

х =9.                                                       х=6 -   посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.              

  Ответ : 9

6.Уравнения, решаемые введением новой переменной.

 Пример:

Решите уравнение    lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1,                                                 lgх =5

х=10, 10>0 – верно                              х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

   log₆² х  + log₆ х  +14 = (√16 – х²)² +х²,

      16 – х²  ≥0  ;      - 4≤ х ≤ 4;

       х >0 ,                    х >0,                О.Д.З. [ 0,4).    

    log₆² х  + log₆ х  +14 = 16 – х² +х²,        

      log₆² х  + log₆ х  -2 = 0

      заменим log₆ х  = t

   t ² + t -2 =0 ;        D = 9 ;      t₁ =1 ,  t₂ = -2.

 log₆ х = 1 , х = 6  посторонний корень .

 log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает  1/36 является корнем .

                                                Ответ : 1/36.

7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители.

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

 2х-1>0;

  х >0.      х>½.

log₄(2х-1)∙ log₄х - 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0    или    log₄х-2=0

2х-1=1                        log₄х = 2

х=1                             х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

8.Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Пример:

Решите уравнения                    

Прологарифмируем обе части  уравнения  по основанию 3.

Получим      log₃                           =  log₃ (3х)

                                               .

получаем :    log₃ х² log₃ х   =  log₃ (3х),

                      2log₃ х log₃ х   =  log₃ 3+ log₃ х,

                      2 log₃² х    =  log₃ х +1,

                      2 log₃² х   -  log₃ х -1=0,

заменим log₃ х  = р ,     х >0

  2 р ² + р -2 =0 ;     D = 9 ;   р₁ =1 ,  р₂ = -1/2

 log₃ х  = 1 ,  х=3,

log₃ х  = -1/ 2 , х= 1/√3.                      

Ответ: 3 ;  1/√3

С классом решить следующее уравнение:

    log₂ х  - 1                      

х  =   64 (ответ:  х=8 ; х=1/4)

9. Функционально – графический метод.

Пример:

Решите уравнения:   log₃ х = 12-х.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log₃ х и  у =12-х.

При  х=10  заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функций у = f(x) возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ : х=1).

Сформулируем общий алгоритм решения  логарифмичесих уравнений

4. Итог урока.

Рефлексия. Учитель  вместе с учащимися подводят итог урока.

5. Домашнее задание.