Памятка для подготовки к ЕГЭ "Признаки делимости"

ПАМЯТКА

В помощь выпускнику!

Признаки делимости — особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.

Знание этих признаков необходимо при решении многих арифметических задач. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости пригодится при подготовке к ЕГЭ для решении задач типа №19 базового уровня.

Таблица признаков делимости чисел

Число n	Число а делится на число n тогда и только тогда, когда
2	Последняя цифра числа а делится на 2
3	Сумма цифр числа а делится на 3
4	Число, составленное из двух последних цифр числа а делится на 4
5	Число а оканчивается цифрой 0 или 5
6	Число а делится на 2 и на 3
7	Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* числа а делится на 7
8	Число, составленное из трёх последних цифр числа а, делится на 8
9	Сумма цифр числа а делится на 9
10	Число а оканчивается цифрой 0
11	Знакочередующаяся сумма цифр числа а делится на 11
12	Число а делится на 3 и на 4
13	Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней* а делится на 13
25	Число, составленное из двух последних цифр числа а, делится на 25

Определение.

Двузначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на двузначные числа. Например, разбиение числа 123456789 на двузначные грани выглядит так: 1|23|45|67|89 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 23, 45, 67, 89 являются двузначными гранями числа 123456789.

Трёхзначные грани числа — это числа, полученные разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890. Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Признаки делимости на 2

Признак делимости на 2: число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях - не делится.

Пример:, число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 - четная;

7691 не делится на 2, так как 1 - цифра нечетная;

1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

Признаки делимости на 3

Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример:

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3.

Признаки делимости на 4

Признак делимости на 4: число n делится на 4 тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится на 4.

Пример: определить, делятся ли на 4 числа а) 216 б) 530232 в) 1102.

Решение: а) 216. «Отрезаем» две последние цифры от числа 216 — получаем число 16. Так как 16 делится на 4, то и 216 делится на 4. Ответ: делится.

б) 530 232. Составляем число из двух последних цифр числа 530 232 — получаем число 32, которое делится на 4. Следовательно, число 530 232 делится на 4.  Ответ: делится.

в) 1102. Составляем число из двух последних цифр этого числа — получаем число 2. Число 2 на 4 не делится, поэтому и число 1102 не делится на 4.  Ответ: не делится.

Признаки делимости на 5

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда, когда последняя цифра делится на 5, т.е. если она 0 или 5.

Пример:

375, 5680, 233575 — делятся на 5, так как их последняя цифра равна 0 или 5;

9634, 452, 389753 — не делятся на 5, так как их последняя цифра не равна 0 или 5.

Признаки делимости на 6

Признак делимости на 6:  число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Пример:

462 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 4+6+2=12, 12:3=4);

3456 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 3+4+5+6=18, 18:3=6);

24642 — делятся на 6, по признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 2 делится на 2), по признаку делимости на 3 оно делится на 3 (сумма цифр числа делится на 3: 2+4+6+4+2=18, 18:3=6);

861 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2;

3458 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 3;

34681 — не делятся на 6, так как по признаку делимости оно не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Признак делимости на 7:  число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7

Пример:

343 делится на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7;

259 делится на 7, так как 25-(2·9)=7 делится на 7

Признаки делимости на 9

Признак делимости на 9:  число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример:

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Признаки делимости на 10

Признак делимости на 10:  число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.

Пример:

460, 24000, 1245464570 — делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел равна нулю;

234, 25048, 1230000003 — не делятся на 10, так как последняя цифра этих чисел не равна нулю.

Признаки делимости на 11

Всего существует три важных признака делимости на 11.

1-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Пример: проверить, делятся ли на 11 числа а) 1234321 б) 10101.

Решение: а) 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11. Если не верите — возьмите калькулятор и проверьте! Вообще говоря, многие красивые числа делятся на 11. Ответ: делится.

б) 10101. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 0 + 1 − 0 + 1 = 3. Число 3 на 11 не делится, поэтому 10101 не делится на 11. Ответ: не делится.

2-й признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма его двузначных граней делится на 11.

3-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 11.

Пример: проверить, делится ли на 11 число 1002001.

Решение: а) применим 2-й признак делимости на 11. Сумма двузначных граней числа 1002001 равна 1 + 20 + 0 + 1 = 22. Число 22 делится на 11, поэтому 1002001 делится на 11.

б) применим 3-й признак делимости на 11. Разбиваем число 1002001 на трёхзначные грани: 1|002|001. Их знакочередующаяся сумма равна 1 − 2 + 1 = 0 — делится на 11. Поэтому 1002001 делится на 11.

Ответ: делится.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 104 делится на 13, так как 10+(4·4)=10+16=26 делится на 13; 832 делится на 13, так как 83+(4·2)=83+8=91 делится на 13).

Признаки делимости на 25

Признак делимости на 25: число n делится на 25 тогда, когда число, составленное из двух последних цифр числа n, делится на 25. То есть число делится на 25, если оно оканчивается цифрами 00, 25, 50 или 75.

Например, число 775 делится на 25, а число 1105 — не делится.

Краткое описание документа:

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной). В данной памятке представлены собраны и представлены несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления. Памятка "Признаки делимости" поможет обучающмся 11 класса при подготовке к ЕГЭ.