Подборка материала к ЕГЭ по математике базовый уровень "Задачи на смекалку" №20

Задачи на смекалку БАЗА №20

1. Задание 20 № 506313

Каждую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бактерии. Известно, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

Пояснение.

Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. То есть если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд то есть через 3599 секунд.

2. Задание 20 № 510016

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

Пояснение.

Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, то по­лу­чит­ся 15 кусков, следовательно, линий — 14. Если рас­пи­лить палку по жел­тым — 5 кусков, следовательно, линий — 4. Если рас­пи­лить по зе­ле­ным — 7 кусков, линий — 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кус­ков будет 25.

3. Задание 20 № 510036

Кузнечик пры­га­ет вдоль ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в любом на­прав­ле­нии на еди­нич­ный от­ре­зок за один прыжок. Куз­не­чик на­чи­на­ет пры­гать из на­ча­ла координат. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных точек на ко­ор­ди­нат­ной прямой, в ко­то­рых куз­не­чик может оказаться, сде­лав ровно 11 прыжков?

Пояснение.

Заметим, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с нечётными координатами, по­сколь­ку число прыжков, ко­то­рое он делает, — нечётно. Мак­си­маль­но куз­не­чик может ока­зать­ся в точках, мо­дуль ко­то­рых не пре­вы­ша­ет одиннадцати. Таким образом, куз­не­чик может ока­зать­ся в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Ответ: 12.

4. Задание 20 № 510166

В кор­зи­не лежит 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Согласно усло­вию задачи:  - долж­но быть рыжиков.  - долж­но быть груздей. Таким образом, ры­жи­ков в кор­зи­не .

Ответ: 24.

5. Задание 20 № 510211

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 = 66 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5

6. Задание 20 № 510231

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в вось­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 468, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 8 подъ­ез­дах не мень­ше 468 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 468 : 8 = 58,5 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 12 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 4 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 4 квартиры. Тогда в пер­вых вось­ми подъ­ез­дах всего 4 · 8 · 12 = 384 квартиры, и квар­ти­ра 468 ока­жет­ся не в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 5 квар­тир. Тогда в пер­вых вось­ми подъ­ез­дах 5 · 8 · 12 = 480 квар­тир, а в пер­вых семи — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 468 на­хо­дит­ся в вось­мом подъ­ез­де. Она в нем 48-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 5 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на де­ся­том этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 6 квар­тир, то в пер­вых семи подъ­ез­дах ока­за­лось бы 6 · 7 · 12 = 504 квар­ти­ры, то есть 482 квар­ти­ра в седь­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Тем самым, Саша живёт на де­ся­том этаже.

Ответ: 10

7. Задание 20 № 510251

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в две­на­дца­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 465, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 12 подъ­ез­дах не мень­ше 465 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 465 : 12 = 38,75 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 5 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 7 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 7 квар­тир. Тогда в пер­вых две­на­дца­ти подъ­ез­дах всего 12 · 7 · 5 = 420 квар­ти­р, и квар­ти­ра 465 ока­жет­ся в три­на­дца­том подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 8 квар­тир. Тогда в пер­вых две­на­дца­ти подъ­ез­дах 12 · 8 · 5 = 480 квар­тир, а в пер­вых один­на­дца­ти — 440. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 465 на­хо­дит­ся в две­на­дца­том подъ­ез­де. Она в нем 25-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 8 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на чет­вер­том этаже.

Тем самым, Саша живёт на чет­вер­том этаже.

Ответ: 4

8. Задание 20 № 510271

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в де­ся­том подъ­ез­де в квар­ти­ре № 333, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

По­сколь­ку в пер­вых 10 подъ­ез­дах не мень­ше 333 квар­тир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 333 : 10 = 33,3 квар­тир. Сле­до­ва­тель­но, на каж­дом из 9 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 3 квар­тир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 3 квар­тиры. Тогда в пер­вых де­ся­ти подъ­ез­дах всего 10 · 3· 9 = 270 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 333 ока­жет­ся в один­на­дца­том подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 4 квар­тиры. Тогда в пер­вых де­ся­ти подъ­ез­дах 10 · 4 · 9 = 360 квар­тир, а в пер­вых де­вя­ти — 324. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 333 на­хо­дит­ся в де­ся­том подъ­ез­де. Она в нем 9-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 4 квар­тиры, она рас­по­ло­же­на на тре­тьем этаже.

Тем самым, Саша живёт на тре­тьем этаже.

Ответ: 3

9. Задание 20 № 507073

Тренер по­со­ве­то­вал Ан­дрею в пер­вый день за­ня­тий про­ве­сти на бе­го­вой до­рож­ке 15 минут, а на каж­дом сле­ду­ю­щем за­ня­тии уве­ли­чи­вать время, проведённое на бе­го­вой дорожке, на 7 минут. За сколь­ко за­ня­тий Ан­дрей проведёт на бе­го­вой до­рож­ке в общей слож­но­сти 2 часа 25 минут, если будет сле­до­вать со­ве­там тренера?

Пояснение.

Время, проведённое на бе­го­вой до­рож­ке пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном рав­ным 15 и раз­но­стью 7. Сумма  чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии может быть най­де­на по формуле:

Получили квад­рат­ное урав­не­ние на  решим его:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит зна­че­ние 

Ответ: 5.

10. Задание 20 № 507074

Врач про­пи­сал пациенту при­ни­мать лекарство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен принять 3 капли, а в каж­дый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. При­няв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 ка­пель лекарства, а потом еже­днев­но уменьшает приём на 3 капли. Сколь­ко пузырьков ле­кар­ства нужно ку­пить пациенту на весь курс приёма, если в каж­дом содержится 20 мл ле­кар­ства (что со­став­ля­ет 250 капель)?

Пояснение.

На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап, когда число капель в день возрастает продолжается  Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:

Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё  Последний этап приёма капель длится  Аналогично первому этапу:

Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше  пузырьков лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства — 2.

Ответ: 2.

11. Задание 20 № 509705

Врач про­пи­сал па­ци­ен­ту при­ни­мать ле­кар­ство по такой схеме: в пер­вый день он дол­жен при­нять 20 капель, а в каж­дый сле­ду­ю­щий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма па­ци­ент де­ла­ет пе­ре­рыв в 3 дня и про­дол­жа­ет при­ни­мать ле­кар­ство по об­рат­ной схеме: в 19-й день он при­ни­ма­ет столь­ко же капель, сколь­ко и в 15-й день, а затем еже­днев­но умень­ша­ет дозу на 3 капли, пока до­зи­ров­ка не ста­нет мень­ше 3 ка­пель в день. Сколь­ко пу­зырь­ков ле­кар­ства нужно ку­пить па­ци­ен­ту на весь курс приёма, если в каж­дом со­дер­жит­ся 200 капель?

Пояснение.

С на­ча­ла курса до 15 дня приёма ле­кар­ства (включительно), па­ци­ент будет при­ни­мать каж­дый день на три капли больше, чем в предыдущий, следовательно, к 15 дню приёма ле­кар­ства па­ци­ент при­мет 615 капель. С 19 дня до конца приёма ле­кар­ства он вы­пьет столь­ко же, но на 55 ка­пель больше. Следовательно, за весь курс приёма ле­кар­ства па­ци­ент вы­пьет 615 + 615 + 55 = 1285 ка­пель лекарства. Те­перь найдём сколь­ко пу­зырь­ков нужно ку­пить: 1285 : 200 = 6,4. Счи­та­ем пол­ные пу­зырь­ки с ле­кар­ством — 7.

12. Задание 20 № 507075

Произведение де­ся­ти идущих под­ряд чисел раз­де­ли­ли на 7. Чему может быть равен остаток?

Пояснение.

Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.

Ответ: 0.

13. Задание 20 № 507076

Сколькими спо­со­ба­ми можно по­ста­вить в ряд два оди­на­ко­вых крас­ных кубика, три оди­на­ко­вых зелёных ку­би­ка и один синий кубик?

Пояснение.

Занумеруем все ку­би­ки от од­но­го до шести. Пока не учитываем, что в нашем на­бо­ре есть ку­би­ки одинакового цвета. На пер­вое место можно по­ста­вить кубик ше­стью способами, на вто­рое — пятью, на тре­тье — че­тырь­мя и так далее. Получаем, что всего воз­мож­но­стей расстановки ку­би­ков  Те­перь учтём, что перестановка, например, двух крас­ных кубиков не даёт но­во­го способа рас­ста­нов­ки кубиков. В любом по­лу­чен­ном выше на­бо­ре можно пе­ре­ста­вить красные ку­би­ки местами, то есть число рас­ста­но­вок уменьшится в два раза. С зелёными ку­би­ка­ми аналогично. Зелёных ку­би­ков три, по­это­му в любом по­лу­чен­ном выше на­бо­ре можно пе­ре­став­лять их, не по­лу­чая новых спо­со­бов расстановки кубиков. Таких пе­ре­ста­но­вок зелёных ку­би­ков 

Следовательно, ис­ко­мое число спо­со­бов равно: 

Ответ: 60.

14. Задание 20 № 507077

В бак объёмом 38 лит­ров каж­дый час, на­чи­ная с 12 часов, на­ли­ва­ют пол­ное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть не­боль­шая щель, и из неё за час вы­те­ка­ет 3 литра. В какой мо­мент вре­ме­ни (в часах) бак будет за­пол­нен полностью.

Пояснение.

К концу каждого часа объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров. Через 6 часов, то есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.

Ответ: 18.

15. Задание 20 № 507078

Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

Пояснение.

Достаточно взять два числа, одно из ко­то­рых кратно семи, например, 7 и 8.

Ответ: 2.

Примечание.

Если бы усло­вие задачи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­нно де­ли­лось на 7?» То нужно было бы взять семь под­ряд идущих чисел.

16. Задание 20 № 507079

В ре­зуль­та­те паводка кот­ло­ван заполнился водой до уров­ня 2 метра. Стро­и­тель­ная помпа не­пре­рыв­но откачивает воду, по­ни­жая её уро­вень на 20 см в час. Под­поч­вен­ные воды, наоборот, по­вы­ша­ют уровень воды в кот­ло­ва­не на 5 см в час. За сколь­ко часов ра­бо­ты помпы уро­вень воды в кот­ло­ва­не опустится до 80 см?

Пояснение.

За час уровень воды в котловане уменьшается на 20 − 5 = 15 см. Нужно откачать 2 · 100 − 80 = 120 см воды. Следовательно, уровень воды в котловане опустится до 80 см за 

Ответ: 8.

17. Задание 20 № 507080

В меню ре­сто­ра­на имеется 6 видов салатов, 3 вида пер­вых блюд, 5 видов вто­рых блюд и 4 вида десерта. Сколь­ко вариантов обеда из салата, первого, вто­ро­го и де­сер­та могут вы­брать посетители этого ресторана?

Пояснение.

Салат можно выбрать шестью способами, первое — тремя, второе — пятью, десерт — четырьмя. Следовательно, всего 6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда.

Ответ: 360.

18. Задание 20 № 507081

Нефтяная ком­па­ния бурит сква­жи­ну для до­бы­чи нефти, ко­то­рая залегает, по дан­ным геологоразведки, на глу­би­не 3 км. В те­че­ние ра­бо­че­го дня бу­риль­щи­ки про­хо­дят 300 мет­ров в глубину, но за ночь сква­жи­на вновь «заиливается», то есть за­пол­ня­ет­ся грун­том на 30 метров. За сколь­ко ра­бо­чих дней неф­тя­ни­ки про­бу­рят сква­жи­ну до глу­би­ны за­ле­га­ния нефти?

Пояснение.

За день скважина уве­ли­чи­ва­ет­ся на 300 − 30 = 270 м. к началу одиннадцатого рабочего дня неф­тя­ни­ки пробурят 2700 метров. За один­на­дца­тый рабочий день неф­тя­ни­ки пробурят ещё 300 метров, то есть дойдут до глубины 3 км.

Ответ: 11.

Примечание.

В действительности, часто, на на­сто­я­щих буровых вышках, неф­тя­ни­ки бурят в три смены, по­это­му у них сква­жи­ны заливаться не успевают.

19. Задание 20 № 507083

Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 9?

Пояснение.

Достаточно взять два числа, одно из ко­то­рых крат­но девяти, например, 9 и 10.

Ответ: 2.

Примечание.

Если бы усло­вие за­да­чи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­нно де­ли­лось на 9?» То нужно было бы взять шесть под­ряд иду­щих чисел.

20. Задание 20 № 509227

В об­мен­ном пункте можно со­вер­шить одну из двух операций:

• за 2 зо­ло­тых монеты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ных и одну медную;

• за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лая были толь­ко серебряные монеты. После не­сколь­ких посещений об­мен­но­го пункта се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 50 медных. На сколь­ко уменьшилось ко­ли­че­ство серебряных монет у Николая?

Пояснение.

Пусть Ни­ко­лай сде­лал сна­ча­ла  опе­ра­ций вто­ро­го типа, а затем  опе­ра­ций пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на  больше, то есть на 10 меньше.

21. Задание 20 № 509625

На по­верх­но­сти глобуса фло­ма­сте­ром проведены 12 па­рал­ле­лей и 22 меридиана. На сколь­ко частей проведённые линии раз­де­ли­ли поверхность глобуса?

Меридиан — это дуга окружности, со­еди­ня­ю­щая Северный и Южный полюсы. Па­рал­лель — это окружность, ле­жа­щая в плоскости, па­рал­лель­ной плоскости экватора.

Пояснение.

Двенадцать параллелей разделили глобус на 13 частей, следовательно 13 · 22 = 286 — на столько частей разделят глобус 12 параллелей и 22 меридианы.

Ответ: 286.

22. Задание 20 № 509665

В кор­зи­не лежит 50 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 28 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко груз­дей в корзине?

Пояснение.

В корзине точно лежит 27 груздей и 23 рыжика, так как взять 28 груздей, как и 24 рыжика, не получится.

23. Задание 20 № 509725

Группа ту­ри­стов преодолела гор­ный перевал. Пер­вый километр подъёма они пре­одо­ле­ли за 50 минут, а каж­дый следующий ки­ло­метр проходили на 15 минут доль­ше предыдущего. По­след­ний километр перед вер­ши­ной был прой­ден за 95 минут. После де­ся­ти­ми­нут­но­го отдыха на вер­ши­не туристы на­ча­ли спуск, ко­то­рый был более пологим. Пер­вый километр после вер­ши­ны был прой­ден за час, а каж­дый следующий на 10 минут быст­рее предыдущего. Сколь­ко часов груп­па затратила на весь маршрут, если по­след­ний километр спус­ка был прой­ден за 10 минут.

Пояснение.

На подъём в гору группа затратила 290 минут, на отдых 10 минут, на спуск с горы 210 минут. В сумме туристы затратили на весь маршрут 510 минут. Переведём 510 минут в часы и получим, что за 8,5 часов туристы преодолели весь маршрут.

24. Задание 20 № 509986

На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бензоколонки: A, B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сторону). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C. Ответ дайте в километрах.

Пояснение.

Рас­по­ло­жим А, В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли дан­ным в усло­вии. Всё хо­ро­шо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным об­ра­зом. Тогда между B и C будет 15 км.

Ответ: 15.

25. Задание 20 № 506383

На коль­це­вой до­ро­ге рас­по­ло­же­ны че­ты­ре бензоколонки: A, B, C и D. Рас­сто­я­ние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все рас­сто­я­ния из­ме­ря­ют­ся вдоль коль­це­вой до­ро­ги в крат­чай­шую сторону). Най­ди­те рас­сто­я­ние между B и C.

Пояснение.

Расположим А, В, C, D вдоль коль­це­вой до­ро­ги по оче­ре­ди так, чтобы рас­сто­я­ния со­от­вет­ство­ва­ли дан­ным в условии. Всё хорошо, кроме рас­сто­я­ния между D и A. Чтобы оно было таким, каким нужно, по­дви­нем D и по­ста­вим между B и A нуж­ным образом. Тогда между B и D будет 15 км. А между B и С —10 км.

26. Задание 20 № 506319

В клас­се учит­ся 25 учащихся. Не­сколь­ко из них хо­ди­ли в кино, 18 че­ло­век хо­ди­ли в театр, причём и в кино, и в театр хо­ди­ли 12 человек. Известно, что трое не хо­ди­ли ни в кино, ни в театр. Сколь­ко че­ло­век из клас­са хо­ди­ли в кино?

Пояснение.

12 че­ло­век хо­ди­ли и в кино, и в театр. А всего в театр хо­ди­ло 18 человек. Значит, 6 че­ло­век хо­ди­ли толь­ко в театр.

Сходили в театр или в кино и в театр, или ни­ку­да не хо­ди­ли —  человек. Значит,  че­ло­ве­ка хо­ди­ли толь­ко в кино. И зна­чит всего в кино схо­ди­ло  человек.

27. Задание 20 № 506733

По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах каждый год удваивается. Известно, что в 2005 году среднее число транзисторов на микросхеме равнялось 520 млн. Определите, сколько в среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.

Пояснение.

Каждый год число транзисторов удваивается, поэтому в 2004 году среднее число транзисторов равнялось 520/2 = 260 млн, а в 2003 — 260/2 = 130 млн.

Ответ: 130.

28. Задание 20 № 506732

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Пояснение.

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью  Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 38.

29. Задание 20 № 506443

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, по­лу­чит­ся 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трёх цветов?

Пояснение.

Каждый рас­пил уве­ли­чи­ва­ет ко­ли­че­ство кус­ков на один. То есть всего 4 крас­ные линии, 6 жёлтых и 10 зелёных. То есть вме­сте 20 линий. А кус­ков по­лу­чит­ся 21.

30. Задание 20 № 506343

В ма­га­зи­не бы­то­вой тех­ни­ки объём про­даж хо­ло­диль­ни­ков носит се­зон­ный характер. В ян­ва­ре было про­да­но 10 холодильников, и в три по­сле­ду­ю­щих ме­ся­ца про­да­ва­ли по 10 холодильников. С мая про­да­жи уве­ли­чи­ва­лись на 15 еди­ниц по срав­не­нию с преды­ду­щим месяцем. С сен­тяб­ря объём про­даж начал умень­шать­ся на 15 хо­ло­диль­ни­ков каж­дый месяц от­но­си­тель­но преды­ду­ще­го месяца. Сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков про­дал ма­га­зин за год?

Пояснение.

Последовательно рас­счи­та­ем сколь­ко хо­ло­диль­ни­ков было про­да­но за каж­дый месяц и про­сум­ми­ру­ем результаты:

Ответ: 360.

31. Задание 20 № 506423

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух операций:

1) за 3 зо­ло­тых мо­не­ты по­лу­чить 4 се­реб­ря­ных и одну медную;

2) за 6 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 4 зо­ло­тых и одну медную.

У Ни­ко­лы были толь­ко се­реб­ря­ные монеты. После по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало меньше, зо­ло­тых не появилось, зато по­яви­лось 35 медных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Николы?

Пояснение.

Пусть Ни­ко­ла сде­лал сна­ча­ла  опе­ра­ций вто­ро­го типа, а затем  опе­ра­ций пер­во­го типа. Тогда имеем:

Тогда се­реб­ря­ных монет стало на  больше, то есть на 10 меньше.

32. Задание 20 № 506403

Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каж­дом этаже число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)

Пояснение.

Поскольку в пер­вых 7 подъ­ез­дах не мень­ше 462 квартир, в каж­дом подъ­ез­де не мень­ше 462 : 7 =  66 квартир. Следовательно, на каж­дом из 7 этаже в подъ­ез­де не мень­ше 9 квартир.

Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квартир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъезде, что про­ти­во­ре­чит условию.

Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квартир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в пер­вых шести — 420. Следовательно, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъезде. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квартир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже.

Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квартир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квартиры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъезде, что про­ти­во­ре­чит условию.

Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.

Ответ: 5.

33. Задание 20 № 506730

Во всех подъ­ез­дах дома оди­на­ко­вое число этажей, а на каж­дом этаже оди­на­ко­вое число квартир. При этом число эта­жей в доме боль­ше числа квар­тир на этаже, число квар­тир на этаже боль­ше числа подъездов, а число подъ­ез­дов боль­ше одного. Сколь­ко эта­жей в доме, если всего в нём 110 квартир?

Пояснение.

Число квартир, эта­жей и подъ­ез­дов может быть толь­ко целым числом. Заметим, что число 110 де­лит­ся на 2, 5 и 11. Следовательно, в доме долж­но быть 2 подъезда, 5 квар­тир и 11 этажей.

Ответ: 11.

34. Задание 20 № 506731

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Пояснение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает шести. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.

Ответ: 7.

35. Задание 20 № 506646

В кор­зи­не лежат 40 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 17 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 25 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

В корзине имеется как минимум 24 рыжика. Иначе мы бы могли взять 17 груздей, и первое условие бы не выполнилось. Аналогично из второго условия вытекает, что в корзине как минимум 16 груздей. Из этих двух утверждений можно сделать вывод, что в корзине ровно 24 рыжика и 16 груздей.

----------

Дублирует задание 506363.

36. Задание 20 № 506363

В кор­зи­не лежат 25 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Пусть мы взяли 10 груздей. Тогда все осталь­ные грибы — рыжики, иначе бы мы взяли груздь и усло­вие бы нарушилось. Таким образом, в кор­зи­не ми­ни­мум 15 рыжиков. Те­перь возьмём 15 рыжиков. Тогда все осталь­ные грузди, иначе ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю мы бы взяли один из остав­ших­ся рыжиков, и усло­вие бы не выполнилось. От­сю­да следует, что в кор­зи­не ми­ни­мум 10 груздей. Ми­ни­мум 15 ры­жи­ков и ми­ни­мум 10 груздей. А всего гри­бов 25. Значит, среди них имен­но 15 ры­жи­ков и 10 груздей.

37. Задание 20 № 506835

В кор­зи­не лежат 30 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 12 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 20 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

В кор­зи­не есть как ми­ни­мум 19 рыжиков. Иначе можно было бы взять 12 груз­дей и пер­вое усло­вие не выполнялось. Ана­ло­гич­но из вто­ро­го усло­вия следует, что в кор­зи­не как ми­ни­мум 11 груздей. Со­по­став­ляя эти два факта, получим, что в кор­зи­не имен­но 19 ры­жи­ков и 11 груздей.

Ответ: 19.

----------

Дублирует за­да­ние 506363.

38. Задание 20 № 506729

На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса?

Пояснение.

Представим, что на глобусе ещё не нарисованы параллели и меридианы. Заметим, что 24 меридиана разделят глобус на 24 части. Рассмотрим сектор, образованный двумя соседними меридианами. Проведение первой параллели разделит сектор на две части, проведение второй добавить ещё одну часть, и так далее, таким образом, 17 параллелей разделят сектор на 18 частей. Следовательно, весь глобус будет разбит на 24 · 18 = 432 части.

Ответ: 432.

39. Задание 20 № 506523

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 3 м. Вы­со­та де­ре­ва 10 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые доползёт до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

За день улит­ка заползёт на 4 метра, а за ночь — сползёт на 3 метра. Итого за сутки она заползёт на метр. За ше­сте­ро суток она под­ни­мет­ся на вы­со­ту шести метров. И днём сле­ду­ю­ще­го, седьмого, дня она ока­жет­ся на вер­ши­не дерева.

40. Задание 20 № 506793

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 13 м. За сколь­ко дней улит­ка впер­вые доползёт до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

За день улит­ка заползёт на 4 метра, а за ночь спу­стит­ся на 1 метр. Итого за сутки она под­ни­мет­ся на 3 метра. За трое суток он ока­жет­ся на вы­со­те 9 метров. И во время сле­ду­ю­ще­го дня заползёт на вер­ши­ну дерева.

41. Задание 20 № 506292

Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они вы­ко­па­ют ему ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 4200 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр — на 1300 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 11 метров?

Пояснение.

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым членом  и раз­но­стью  Сумма пер­вых  членов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вычисляется по формуле  В нашем случае имеем:

Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб.

Ответ: 117 700.

42. Задание 20 № 506688

Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр — на 1600 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 метров?

Пояснение.

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым эле­мен­том и раз­но­стью  Сумма пер­вых  эле­мен­тов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии —  То есть в нашем слу­чае имеем 

Примечание.

Цены завышены в несколько раз. Видимо, составители ЕГЭ никогда не рыли колодцев.

43. Задание 20 № 510696

В кор­зи­не лежит 45 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 23 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 24 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Так как среди любых 23 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 22. Так как среди любых 24 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 23. А так как всего в корзине 45 грибов, то груздей ровно 22, а рыжиков ровно 23.

Ответ: 23

44. Задание 20 № 510716

В кор­зи­не лежит 25 грибов: ры­жи­ки и грузди. Известно, что среди любых 11 гри­бов име­ет­ся хотя бы один рыжик, а среди любых 16 гри­бов хотя бы один груздь. Сколь­ко ры­жи­ков в корзине?

Пояснение.

Так как среди любых 11 гри­бов хотя бы один – рыжик, то груз­дей не боль­ше 10. Так как среди любых 16 гри­бов хотя бы один – груздь, то ры­жи­ков не боль­ше 15. А так как всего в кор­зи­не 25 грибов, то груз­дей ровно 10, а ры­жи­ков ровно 15.

Ответ: 15

45. Задание 20 № 510736

Список за­да­ний вик­то­ри­ны со­сто­ял из 25 вопросов. За каж­дый пра­виль­ный ответ уче­ник по­лу­чал 7 очков, за не­пра­виль­ный ответ с него спи­сы­ва­ли 10 очков, а при от­сут­ствии от­ве­та да­ва­ли 0 очков. Сколь­ко вер­ных от­ве­тов дал ученик, на­брав­ший 42 очка, если известно, что по край­ней мере один раз он ошибся?

Пояснение.

Он дал  правильных ответов,  неправильных  и на вопросов не ответил совсем.

За каждый правильный ответ он получал 7, за неправильный (−10), за неосвещенный вопрос — 0.

Получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными, подберём решения данной системы уравнений.

Из второго уравнения

Так как число  делится на 7, то и 10y делится на 7. Рассмотрим два случая.

1) , тогда , то есть 

2) , тогда , то есть количество правильно отвеченных вопросов  Это противоречит условию задачи.

Таким образом, ученик правильно ответил на 16 вопросов.

Ответ: 16

46. Задание 20 № 510906

На палке от­ме­че­ны по­пе­реч­ные линии красного, жел­то­го и зе­ле­но­го цвета. Если рас­пи­лить палку по крас­ным линиям, то по­лу­чит­ся 5 кусков, если по жел­тым ― 7 кусков, а если по зе­ле­ным ― 11 кусков. Сколь­ко кус­ков получится, если рас­пи­лить палку по ли­ни­ям всех трех цветов?

Пояснение.

Распилим на 5 кус­ков по крас­ным линиям, при рас­пи­ле по жел­тым добавится еще 6 кусков, а при рас­пи­ле по зе­ле­ным линиям — еще 10 кусков. Всего по­лу­чит­ся 21 кусок палки.

47. Задание 20 № 510973

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 2 м, а за ночь спол­за­ет на 1 м. Вы­со­та де­ре­ва 11 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 2 м, а опус­ка­ет­ся вниз на 1 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 1 м. За 9 суток она под­ни­мет­ся на 9 м. На 10 день она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 10

48. Задание 20 № 510993

Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 14 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Пояснение.

Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 4 м, а опус­ка­ет­ся вниз на 2 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 2 м. За 5 суток она под­ни­мет­ся на 10 м. За 6 день улитка поднимется ещё на 4 м и окажется на высоте 14 м, то есть она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 6.

49. Задание 20 № 511016

Прямоугольник раз­бит на че­ты­ре мень­ших пря­мо­уголь­ни­ка двумя пря­мо­ли­ней­ны­ми разрезами. Пе­ри­мет­ры трёх из них, на­чи­ная с ле­во­го верх­не­го и далее по ча­со­вой стрелке, равны 24, 28 и 16. Най­ди­те пе­ри­метр четвёртого прямоугольника.

Пояснение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Периметр верх­не­го ле­во­го пря­мо­уголь­ни­ка равна 24, по­это­му  аналогично,  При по­мо­щи по­лу­чен­ной си­сте­мы урав­не­ний вы­ра­зим зна­че­ние 

Из тре­тье­го урав­не­ния получаем:  следовательно, ис­ко­мый пе­ри­метр равен 12.

Ответ: 12.

50. Задание 20 № 511430

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;

2) за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пояснение.

Последовательно получаем:

Если Николай за 1 серебряную получил 3 медных, а у него появилось 90 медных, то он истратил 30 серебряных (т. к. 90 : 3 = 30 серебряных).

Таким образом, у него количество монет уменьшилось на 30.

Ответ: 30.

51. Задание 20 № 512428

Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 186. Какое число было загадано?

Пояснение.

Числа А, В и С могут быть равны 7, 8 или 9.

Пусть загадали натуральное число Х, тогда Х · А + В – С = 186 или Х · А = 186 + (С – В). Рассмотрим различные случаи.

1) С – В = 0 (7 – 7 = 0, 8 – 8 = 0 или 9 – 9 = 0), тогда Х · А = 186. Число 186 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

2) С – В = 1 (8 – 7 = 1 или 9 – 8 = 1), тогда Х · А = 187. Число 187 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

3) С – В = –1 (7 – 8 = –1 или 8 – 9 = –1), тогда Х · А = 185. Число 185 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

4) С – В = 2 (9 – 7 = 2), тогда Х · А = 188. Число 188 не делится нацело на 7, на 8 и на 9, значит, этот случай не подходит.

5) С – В = –2 (7 – 9 = –2), тогда Х·А = 184. Число 184 делится нацело на A = 8, значит, Х = 23.

Ответ: 23.

52. Задание 20 № 512508

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка кваса объёмом 1 литр стоит 36 рублей, объёмом 2 литра — 66 рублей. Сколько рублей будет стоить бутылка кваса объёмом 1,5 литра?

Пояснение.

Пусть стоимость бутылки x, стоимость кваса за литр y. Имеем систему уравнений:

Тогда бутылка кваса объёмом 1,5 литра будет стоить 6 + 30 · 1,5 = 51 рубль.

Ответ: 51.

53. Задание 20 № 512728

Клетки таблицы 6х6 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Пояснение.

Угловые клетки имеют по 2 соседа, таких клеток в таблице 4, значит, всего пар 2 · 4 = 8. Крайние клетки (не угловые) имеют по 3 пары, таких клеток 16, значит, всего пар 16 · 3 = 48. Все остальные клетки имеют по 4 пары, таких клеток 36 − 4 − 16 = 16, то есть 64 пары. Всего имеем пар 8 + 48 + 64 = 120. В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 120 : 2 = 60. Поэтому пар белого цвета 60 − 30 − 16 = 14.

Ответ: 14.