Практическая работа по теме "Векторы"

 Векторы и действия над ними

1.

Диа­го­на­ли ромба ABCD равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра 

2.

Диа­го­на­ли изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке ромба ABCD равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра 

3.

Най­ди­те длину век­то­ра 

4.

Век­тор  с кон­цом в точке B(5; 4) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки A.

5.

i

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры   и  Век­тор  раз­ло­жен по двум не­кол­ли­не­ар­ным век­то­рам  и 

где k и l  — ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния. Най­ди­те k.

6.

i

Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра  + 

7.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры  и  Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние 

8.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры  и  Най­ди­те длину век­то­ра 

9. 

i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC равен  Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние 

10.

i

Диа­го­на­ли изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке ромба ABCD равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра 

11.

Диа­го­на­ли ромба ABCD равны 32 и 23. Най­ди­те длину век­то­ра 

12.

Диа­го­на­ли ромба ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра 

13.

i

Век­тор  с кон­цом в точке B(5; 3) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки 

14.

Век­тор  с на­ча­лом в точке A(2; 4) имеет ко­ор­ди­на­ты (6; 2). Най­ди­те ор­ди­на­ту точки B.

15.

Век­тор  с на­ча­лом в точке  имеет ко­ор­ди­на­ты  Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	26449	10
2	26447	16
3	649856	26
4	26463	5
5	644823	0,5
6	27731	200
7	649894	-4
8	654476	5
9	654449	3
10	27715	12
11	60555	23
12	26451	10
13	27728	2
14	26459	6
15	60955	12

1.  Тип 2 № 26449

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора

Решение. Разность векторов равна вектору Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть O  — точка пересечения диагоналей. Вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике Поэтому

Ответ: 10.

Ответ: 10

2.  Тип 2 № 26447

Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора

Решение. Длина вектора равна вектору Длина вектора равна

Ответ: 16.

Ответ: 16

3.  Тип 2 № 649856

Найдите длину вектора

Решение. Длина вектора определяется следующим выражением:

Ответ: 26.

Ответ: 26

4.  Тип 2 № 26463

Вектор с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки A.

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x  =  3, 4 − y  =  1. Откуда x  =  2, y  =  3. Поэтому сумма координат точки A равна 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

5.  Тип 2 № 644823

На координатной плоскости изображены векторы и Вектор разложен по двум неколлинеарным векторам и

где k и l  — коэффициенты разложения. Найдите k.

Решение. По рисунку определим координаты векторов:

Из равенства получаем систему линейных уравнений для их координат:

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

6.  Тип 2 № 27731

Найдите квадрат длины вектора  +

Решение. Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат:

Тогда для длины вектора суммы имеем:

Квадрат длины вектора равен 200.

Ответ: 200.

Ответ: 200

7.  Тип 2 № 649894

На координатной плоскости изображены векторы и Найдите скалярное произведение

Решение. Выпишем координаты векторов: Искомое скалярное произведение равно:

Ответ: −4.

Ответ: -4

8.  Тип 2 № 654476

На координатной плоскости изображены векторы и Найдите длину вектора

Решение. Выпишем координаты векторов: и Найдем координаты вектора

Найдем длину вектора:

Ответ: 5.

Ответ: 5

9.  Тип 2 № 654449

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен Найдите скалярное произведение

Решение. Пусть угол между катетом AC и гипотенузой AB равен α, тогда По определению скалярного произведения получаем:

Ответ: 3.

Ответ: 3

10.  Тип 2 № 27715

Диагонали изображенного на рисунке ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора

Решение. Разность векторов и равна вектору Длина вектора равна

Ответ: 12.

Ответ: 12

11.  Тип 2 № 60555

Диагонали ромба ABCD равны 32 и 23. Найдите длину вектора

Решение. Разность векторов и равна вектору Длина вектора равна

Ответ: 23.

Ответ: 23

12.  Тип 2 № 26451

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора

Решение. Разность векторов и равна вектору Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Тогда вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора получаем, что

Ответ: 10.

Ответ: 10

13.  Тип 2 № 27728

Вектор  с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x  =  3, 3 − y  =  1. Откуда x  =  2, y  =  2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

14.  Тип 2 № 26459

Вектор с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите ординату точки B.

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Так как вектор имеет координаты точка B имеет координаты Поэтому

Ответ: 6.

Ответ: 6

15.  Тип 2 № 60955

Вектор с началом в точке имеет координаты Найдите абсциссу точки B.

Решение. Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Пусть точка B имеет координаты Тогда Откуда абсцисса точки B равна 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12