Практическая работа Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Практическая работа № 18

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Цель работы:  решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Студен должен:

знать:

-       метод Крамера;

уметь:

-       решать системы линейных уравнений.

Теоретическое обоснование.

Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений.

        Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с  неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами - числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй - при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность  чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной   Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

                 Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема  Крамера.  Если определитель системы  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:    - определители, образованные с  заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из  отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Главный определительопределяется разностью перемножения коэффициентов относительно одной диагонали и другой диагонали.

вычитаем

Пример 1

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

 

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

 

 

 

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Ход работы:

1.     Изучить теоретическое обоснование.

2.     Представить результаты практических заданий преподавателю.

3.     Оформить отчет.

4.     Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1.     Название и цели работы.

2.     Решение системы линейных уравнений по варианту.

3.     Вывод.

Практические задания:

Задание 1. Решить методом Крамера.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

Задание 2. Проверить решение СЛАУ на компьютере в электронных таблицах Excel.

Размещаем исходные коэффициенты в диапазоне B2:E4. Для вычисления главного определителя выбираем коэффициенты при x1, x2, x3 и размещаем их в диапазоне B6:D8. Исходную формулу размещаем в ячейку E7. Она выглядит так: =B6*C7*D8+D6*B7*C8+B8*C6*D7-(D6*C7*B8+D8*C6*B7+B6*D7*C8). Для первого определителя берем свободные члены СЛУ и размещаем в первую колонку и вычисляем определитель по аналогии. В ячейке H12 будет вычисляться первый корень по формуле: =E12/E7 и т. д.

Контрольные вопросы.

1.    Как выглядит система линейных уравнений?

2.    Как вычисляется главный определитель системы?

3.    Как вычисляются дополнительные определители системы?

4.    В каком случае СЛАУ имеет единственное решение?

5.    По каким формулам вычисляются корни СЛАУ по методу Крамера?

Литература.

1.     Овечкин, Г. В Компьютерное моделирование [Текст]: учебник/ Г. В. Овечкин.- М - Академия, 2015. – 224 с.

2.     Колдаев, В. Д Численные методы и программирование [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 336 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=546692

3.     Колдаев, В. Д Основы алгоритмизации и программирования [Электронный ресурс]: ИНФРА-М., 2016. – 416 с. (ЭБС Znanium.com). Режим доступа: http://znanium.com/bookread2.php?book=537513