ПРАКТИКУМ по темам алгебры 8 класса

Методические рекомендации

по использованию заданий практикума по темам,

изучаемым на уроках  алгебры в 8 классе

Учебный процесс предполагает внедрение новых форм работы и предусматривает новые роли: учителя как организатора и консультанта, ученика как активного исследователя, творчески и самостоятельно работающего над решением учебной задачи, широко использующего информационные технологии для получения необходимой информации.

Задания для практикума  разной степени сложности.  Материал можно использовать как для фронтальной или самостоятельной работы на уроках обобщения и систематизации знаний, так и для самостоятельной работы во внеурочное время. 

Рассматриваемые темы:

1. Рациональные дроби, их свойства. Действия с рациональными дробями.

2. Преобразование выражений с корнями.

3. Квадратные уравнения.

4. Неравенства и их свойства.

5. Степень с целым показателем.

При разработке данных упражнений  придерживалась следующих принципов:

1.   Принцип деятельности – большую часть учебного времени посвящать самостоятельной работе обучающихся.

2.   Принцип гибкости – выбор обучающимися уровня сложности.

3.   Принцип консультирования – учитель консультирует и управляет деятельностью обучающихся,  вместо информационной функции   учитель выполняет теперь управленческую.

Цели:

- создать условия для развития интереса обучающихся   к математике;

- выявить, насколько у обучающихся сформированы самообразовательные умения, которые позволяют им самостоятельно прорабатывать текст по математике;

- развивать познавательную активность обучающихся  на основе поисковой деятельности;

- продолжить работу по развитию творческого мышления;

- развивать умения работать с книгой и Интернет-ресурсами, самостоятельно добывать знания;

- содействовать развитию у детей способностей к логическим операциям: анализу, синтезу, сравнению, умению  обобщать;

- содействовать созданию комфортного темпа работы для каждого ученика.

Задачи:

- формировать ответственное отношение к учению, готовность и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию, создать необходимые условия для самостоятельной работы обучающихся;

- формировать умения анализировать решенную задачу, самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения   задач;   

 - развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении алгебраических задач;

 - развивать умение осуществлять контроль по результату и по способу действия, умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;

- развивать умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), обосновывать суждения, проводить классификацию, доказывать математические утверждения;

 - формировать умение применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса; 

-развивать логическое мышление и вычислительные навыки

Структура

Каждая работа включает 6 видов заданий:

І. Знание.

II. Понимание.

III. Применение.

ІV. Анализ (разложение общей задачи на ряд составных).

V. Синтез (логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое).

В первоначальном значении в Древнегреческой математике анализом называли первую половину метода (вторую половину называли синтезом), с помощью которого устанавливали истинность или ложность утверждения или решали задачу. Метод анализа используется для открытия, а метод синтеза – для доказательства. [5]

VI. Оценка (процесс вынесения суждений).

 Методика применения

Обучающимся предлагаются задания различного уровня (подготовительный, репродуктивный, конструктивный и творческий).

Подготовительный уровень (задания І  вида): обучающиеся должны показать умение работать с текстом учебника.

Репродуктивный уровень (задания ІІ, ІІІ видов): обучающиеся должны показать умение пользоваться формулами, определениями, теоремами и т.д.

Конструктивный уровень (задание IV вида): обучающиеся должны показать умение анализировать решение задачи, составлять новые задачи на основе известного материала.

Творческий уровень (задания V, VI видов): обучающиеся должны показать умения в нестандартной ситуации и умение оценивать собственные действия.

 Список используемой литературы и Интернет ресурсов

1. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016.

2. Стадник, Л.Г. Алгебра, геометрия 8 класс. Варианты заданий для тематического оценивания учебных достижений учащихся /[Л.Г. Стадник,  О.В. Темченко] – Х.: Ранок, 2002.

3. Стадник, Л.Г.  Алгебра, геометрия 9 класс. Варианты заданий для тематического оценивания учебных достижений учащихся /[Л.Г. Стадник, Е.Я. Михеева] – Х.: Ранок, 2002.

4. Мордкович, А.Г.  Алгебра-8. Часть 2. Задачник. 11-е изд./ А.Г. Мордкович - М.:  Мнемозина, 2009.

5.Словари и энциклопедии на Академике. Энциклопедия Кольера: [Электронный ресурс] URL:http://dic.academic.ru

ПРАКТИКУМ

по темам алгебры 8 класса

Рассматриваемые темы:

1. Рациональные дроби, их свойства. Действия с рациональными дробями.

2. Преобразование выражений с корнями.

3. Квадратные уравнения.

4. Неравенства и их свойства.

5. Степень с целым показателем.

Тема 1. Рациональные дроби, их свойства. Действия с рациональными дробями.

Прочитайте внимательно §1-§3 (Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016) и выполните следующие задания:

І. Знание

1. Определите вид выражения: а) aу - x;   б) + 2z.

Варианты ответов:   А) целое;  Б) дробное;  В) рациональное.

2.Продолжите утверждение:

а) при сложении дробей ...

 б) при вычитании дробей: ...

II. Понимание

1. Приведите пример рационального выражения, которое имеет числовое значение:

а) при всех значениях переменных, кроме 0.

б) при любых значениях переменных.

2. Выберите правильный вариант ответа:

а) произведение равно:

А) ;   Б) ;     В) ;    Г) .

б) частное равно:

А)  ;   Б) ;   В) ;   Г) .

III. Применение

1. Упростите выражение: а) · (х- 3) + ;

б) + : (а-2)².

2. а) Расстояние между двумя городами k км. На сколько это расстояние автомобиль проедет быстрее поезда, если скорость поезда v км/ч, а скорость автомобиля больше скорости поезда на m км/ч. Вычислите при k = 560, v = 40, m =20.

б) Завод должен выпустить за определенный срок n станков и поэтому наметил изготовлять по p станков в день. Однако рабочие, перевыполняя план, изготавливали ежедневно на m станков больше, чем предполагалось. На сколько дней раньше срока завод выполнил заказ? Вычислите при n = 120, p = 4, m =1.

ІV. Анализ

1.Докажите, что значение выражения не зависит от переменных:

а) -.

б) - .

 2.Докажите тождество:

а) (+) : (-+) = а + b.   

б) (++ 2) · (1+) = .   

V. Синтез

1. Найдите разность тех выражений, которые получите в примерах:

а) · (х +4) -   и   · (х² -4) +  .

б)  -  :  (а+2)²      и   ( 1+ ) : ( -1 ).

2. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) - ;    б) .

При каком значении х выражение принимает наибольшее (наименьшее) значение. Найдите это значение дроби.

VI. Оценка

1. Алгебраическая дробь

а)  при х =2 равна 1.

б) при х= 2 равно 2.

Найдите числовое значение k.

2. Прочитайте решение примера и охарактеризуйте ошибки, подчеркнув правильный вариант:

а)   (n - ) ·  = ·= - .

б) · (х+4) - = ·= ·= =

=.

Ошибки допущены:

А) при использовании формулы сокращенного умножения;

Б) при вычитании дробей;

В) при сокращении дроби;

Г) действия выполняются не в том порядке.

Тема 2. Преобразование выражений с корнями

Прочитайте внимательно §4- §7(Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016) и выполните следующие задания:

І. Знание

1. Определите свойство, которое применили для преобразования выражения:

а)  = =  = 10;       б) 0,4= = .

Варианты ответов:

А) теорема о корне из дроби;  В) теорема о корне из произведения;

В) вынесение множителя из-под знака корня; д) внесение множителя под знак корня.

2.Продолжите утверждение:

а) Число -25 не является арифметическим значением квадратного корня из числа 625, потому что ... б) Выражение  не имеет смысла, потому что ...

II. Понимание

1. Какое из равенств является правильным, если  = а , если       а ≥ 0, b≥0.

а) А)= 3;              б) А)= 9;

Б)= 13,5;                Б)= 9;

В)= 3;                В)= 2;

Г)= 9;                Г)= 3.

2. Выберите правильное утверждение: Чтобы сравнить числа

а) и 3;                         б)   и 2

выполняют такие преобразования:

А) выносят множитель из-под знака корня;

Б) вносят множитель под знак корня.

III. Применение

1. Вычислите с точностью до 0,01 диаметр круга, площадь которого равна:

а)153,86 см²;               б) 200,96 м².

2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а)  ;       б) .

ІV. Анализ

1. Упростите выражение:

а) , если а≥ 0, b≥ 0,  с≥ 0.

б) .

2. а) Внесите множитель под знак корня (5-а) , если а >5.

б) Вынесите множитель из-под знака корня, если х<3, y>0.

V. Синтез

1. Докажите:

а) · ·· …· < .

б) = , если а>b, а²+ b²= 4аb.

2. Найдите сумму наибольших значений переменных, при которых выражения имеют смысл:

а)   и  .

б)  и .

 VI. Оценка

1. а) Докажите, что число < 3.

б) Сравните: - і -.

2. Прочитайте решение упражнения и охарактеризуйте допущенные ошибки, подчеркнув правильный ответ: Упростите выражение :

а) + = = = =

==  .

б) + = =  =

=     .

Ошибки допущены:

А) при нахождении наименьшего общего знаменателя;

Б) при приведении подобных слагаемых;

В) при нахождении дополнительных множителей к дробям.

 Тема 3. Квадратные уравнения

Прочитайте внимательно §8, §9 (Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016) и выполните следующие задания:

І. Знание

1. Определите вид уравнения:

а) 3х²-7х+4=0;        б) 1,7х²+5х=0.

Варианты ответов:

А) квадратное; Б) линейное; В) полное; Г) неполное.

2.Продолжите утверждение:

а) Если дискриминант  квадратного уравнения D>0, то уравнение ...

б) Если дискриминант  квадратного уравнения D<0, то уравнение ...

II. Понимание

1. Приведите пример квадратного уравнения, в котором

а) второй коэффициент равен 0.

б) свободный член равен нулю.

2. Выберите правильное утверждение:

Уравнение  а) 5х²+4=0,            б) х²-5х =0  решают так:

А) выносят в левой части общий множитель за скобки;

Б) член уравнения переносят из одной части в другую, изменив знак на противоположный.

III. Применение

1. Найдите периметр квадрата, площадь которого равна: а) 324 м²;         б) 576 м².

2. Выберите правильный ответ:

а) если -2а² = -128,    б) если -4а²= 256, то уравнение

А) не имеет решений;

Б) а=8,

В) а=-8,

Г) а=8,-8.

ІV. Анализ

1.Составьте алгоритм решения уравнения:

а)  ах²+bх=0, а≠0.

б)  ах²+с=0, а≠0.

2.Решите уравнение:

а) = 0;              б) = 0.

V. Синтез

1. Найдите сумму корней уравнений:

а)  3х²=12  и х² -7х +12=0.  

б)  49- х²=12  и 5х² -8х +3=0.  

2. Выпишите равносильные уравнения:

а)  5х²- 6х +1=0,   (х-4)²= 9,  (х-1) (5х-1) =0,  х² -8х +7 =0.  

б)  5х²- 8х +12=0,   (х-3)²= 4,  49+х² =0,  х² -6х +5 =0.  

VI. Оценка

1. Прочитайте решение уравнения и охарактеризуйте допущенные ошибки, подчеркнув правильный вариант.

а)  (4х-3) (х-4)= - 3.

4х²-16х +3х +12+3 =0,

4х²-19х +15=0,

D= (-19)²-4∙4∙15= 361- 240= 121.

х=,

х₁ = -1,  х₂= -3.

Ответ: -3, -1.

б)  (3х-1) (х+2)= 20.

3х²+ 6х - х -2 +20 =0,

3х²+5х -22=0,

D= 5²-4∙3∙(-22)= 25 + 264= 289.

х=,

х₁ = -2,  х₂=  3.

Ответ: 3, -2.

Ошибки допущены:

А) при раскрытии скобок;

Б) при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую;

В) при нахождении корней уравнения;

Г) при нахождении D.

2. При каком значении a уравнение:

а)  = 0                  б) = 0

имеет один корень?

Тема 4. Неравенства и их свойства

Прочитайте внимательно §10, §11(Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016) и выполните следующие задания:

І. Знание

1. Определите свойства, которые применили для оценки:

а) 12 < х < 17

        4< у < 9

     16 < х ? у  < 26.

 б) 5 < х < 12

        2< у < 5

     10 < х ? у  < 60.

Варианты ответов:

А) теорема о почленном сложении верных неравенств;  В) теорема о почленном умножении верных неравенств.

 2. Какая из разностей чисел соответствует неравенству х< у:

А) х - у= -0,5;    Б) х - у= 0,05;   В) х - у= 1,4;   Г) х - у= 12,3.

 II. Понимание

1. Является ли решением неравенства 3х< х+9 значение х, равное:

 А) 10;   Б) 100,1;  В) 3;  Г) 4,5. 

2. При каких значениях х выражение имеет смысл:

 А) х  (- ∞; 7);    Б) х  ;   В) х;   Г) х  .

 III. Применение

1. Решите неравенство 9х – 4,7 < 4,2 .

2. Решите неравенство и изобразите его решение на координатной прямой 16х – 34 > х+1.

ІV. Анализ

1. Какое наименьшее целое значение удовлетворяет неравенству        3(n – 1)² - 3n (n – 5) >21. 

 2. При каком значении y значение дроби больше соответствующих значений дроби ?

 V. Синтез

1. Выпишите равносильные неравенства:

А) а (а - 4) – а²  >12 – 6а;

 Б) 6у – (у+5) – 2у +1> 0;

 В) 6у – (у+5) – 2у +1 >0 .

 2. Решите неравенство с параметром ах – 3 > 6-3х + 3а.

  VI. Оценка

1. При каком значении а уравнение  х² – 4ах + 4а² – 25 = 0 имеет два корня, каждый из которых больше 2?

2. Прочитайте решение упражнения и охарактеризуйте допущенные ошибки, подчеркнув правильный ответ:

 Решите неравенство .

Решение:,

1,25х 1,5 – 3,

1,25х  -1,25,

х  -1.

Ответ: х  -1 или (-1; +∞).

Ошибки допущены:

А) при раскрытии скобок;

Б) при приведении подобных слагаемых;

В) при переносе слагаемых из одной части неравенства в другую;

Г) при записи числового промежутка.

Тема 5. Степень с целым показателем

Прочитайте внимательно §12 (Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского, - М.: Просвещение, 2016) и выполните следующие задания:

І. Знание

1. Продолжите утверждение: для каждого a 0 и любых целых m и n

 а^m аⁿ = …

а^m  : аⁿ = …

(а^m )ⁿ = …

 2. Запишите в виде дроби выражение:

а) 9^-8.

 А) ;    Б);   В) ;   Г) . 

б) 8^-2

А) ;   Б);   В)  ;     Г) . 

II. Понимание

1. Вычислите:   а) ;            б) ;                в).

2. Используя определение степени с целым отрицательным показателем, представьте дробь в виде произведения степеней:

а) ;    б)  .

III. Применение

1.   Упростите выражение:

а) 2,5аb^-5 6а^-4 b³;        б) 0,5х²у⁴ 2х^-5 у^-8.       

2. Выполните действия: 

а) ;    б); .

ІV. Анализ

1. Представьте в виде дробного выражения:

 а) а ^-3  + х^-3;     б) (а ^-1  + х^-1) (а + х) ^-1 .    

 2.  Упростите:  а) ;    б).

 V. Синтез

1. Известно, что х₁ и х₂  - корни   уравнения 8х² -6х + n = 0 и

х₁^-1 + х₂ ^-1 = 6. Найдите n.

2. Докажите тождество:   =

VI. Оценка

1. Сравните      .

2. Прочитайте решение упражнения и охарактеризуйте допущенные ошибки, подчеркнув правильный ответ:

 Найдите множество х, при котором функция у= (х-3)^-1 принимает положительные значения.  

Решение: у= (х-3)^-1. По определению степени с целым отрицательным показателем у =  .

Функция принимает положительные значения, если х-3 0, так как 10. Отсюда   х  3.

Ответ: при х  (-∞; 3).

Ошибки допущены:

А) при решении неравенства;

Б) при записи числового промежутка;

В) при использовании определения степени с целым показателем.

Краткое описание документа:

Учебный процесс предполагает внедрение новых форм работы и предусматривает новые роли:учителя как организатора и консультанта, ученика как активного исследователя, творчески и самостоятельно работающего над решением учебной задачи, широко использующего информационные технологии для получения необходимой информации.

Задания для практикума разной степени сложности. Материал можно использовать как для фронтальной или самостоятельной работы на уроках обобщения и систематизации знаний, так и для самостоятельной работы во внеурочное время.

ПРАКТИКУМ

по темам алгебры 8 класса

Рассматриваемые темы:

1. Рациональные дроби, их свойства. Действия с рациональными дробями.

2. Преобразование выражений с корнями.

3. Квадратные уравнения.

4. Неравенства и их свойства.

5. Степень с целым показателем.