Предел монотонной последовательности. Число "е".

Предел монотонной последовательности. Число .

Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров справедливо неравенство..

Неубывающие и невозрастающие последовательности для всех номеров удовлетворяют неравенству , то последовательность называется возрастающей (убывающей)

Возрастающие  и убывающие последовательности называется также строго монотонными.

Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу. Именно: невозрастающие последовательности ограничены сверху, а неубывающие последовательности ограничены снизу своими первыми элементами.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность , .

По формуле бинома Ньютона  полагая . Имеем:

Из этого равенства следует, с увеличением число положительных слагаемых в правой части увеличивается, кроме того, с увеличением  убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность возрастающая, при этом она больше 2. покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части на 1. Получим неравенство .

Усилим неравенство, заменив числа 3,4,5,… стоящие в знаменателях на 2 в степени. Сумму в скобках найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии .              .

Поэтому . Итак последовательность ограничена .

Следовательно, на основании теоремы последовательность имеет предел и она сходится