Пределы последовательностей и функций

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. РАСКРЫТИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Число А называется пределом числовой последовательности [x_n], если для любого >0 существует N=N()>0, такое, что для всех n>N, где N – целое, выполняется неравенство | x_n – A|<ε. Если А – предел последовательности [x_n], то это записывается так: .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Пример 1. Дана последовательность . Доказати, что ее предел А=2.

Попытаемся доказать, что для любого ε>0 существует N=N (ε)>0, такое, что для весх n>N будет выполняться неравенство:

Решив последнее неравенство, получим n>1/ε-1, следовательно, N = [1/ε-1]+1, где [α] – целая часть числа α. Таким образом, существует N, такое, что для любого n>N выполняется [x_n-2]<ε.

Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Тогда число А называется пределом функции у =f(x) при x→ x₀ (в точке х = х₀) , если для любого ε > 0 существует δ > 0 (δ=δ(ε)), такое, что при 0< |x-x₀| <δ справедливо неравенство |f(x)-A|<ε.

 Если А — предел функции f(x) при х→х₀, то пишут: .

В самой точке x₀ функция f(х) может и не существовать (f(x₀) не определена). Аналогично запись lim f(х) — А обозначает, что для любого ε>0 существует N=N(ε)>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(x)-A|<ε.

Если существует предел вида   lim f(х), который обозначают также

Lim f(х) или f(х₀ — 0),  то он  называется  пределом слева функции f(x) в точке x₀. Аналогично если существует предел вида lim f(х) (в другой записи    lim f(x) или f(x₀+0)), то он называется пределом справа функции f(х) в точке х₀. Пределы слева и справа называются односторонними. Для существования предела функции f(x) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀ существовали и были равны, т. е. f(x₀-0)=f(x₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют lim f_i(x) (i=1, n). Тогда

.

Теорема 2. Пусть существует и lim φ(x)≠0. Тогда

.

(все записи верны и при х₀=±∞)

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида     ∞-∞, ,  и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Пример 2. Найти .

Имеем неопределенность вида ∞-∞. Чтобы раскрыть ее приведем выражение в скобках к общему знаменателю. Получим , то есть неопределенность вида , которая легко раскрывается если под знаком предела сократить дробь на общий множитель x-2≠0. В итоге исходный предел сводится к .

Пример 3. Найти .

Имеем непределенность вида . Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель дроби под. знаком предела на x³. Получим

Знаменатель полученной дроби при  не равен нулю, следо­вательно, можно применить теорему о пределе частного. Также приме­нимы и другие теоремы о пределах, что в итоге приводит к равенству

АЗ-5.2

1.   Доказать,   что   последовательность  

имеет предел .

Найти пределы указанных функций.

2. (0твет. -3)

3.  (Ответ: 3.)

4.  (Ответ: 0.)

5.  (Ответ: — 1.)

6.  (Ответ: 1/4.)

7.  (Ответ: 3/5.)

8.  (Ответ: 2/3.)

9.  (Ответ: 2.)

10.  (Ответ: —1.)

Самостоятельная работа

Вычислить пределы указанных функций.

1.      a) ; б)

 (Ответ: а) 6; б) 1/148.)

2.                          a)  б) . Ответ: а)  3   б) 40 

3.    а) ; б) 

Ответ: а) —1; б) 2.  

5.3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Широко используются следующие два замечательных предела:

1)

2)  .

Пример 1. Найти .

► Так как  x0 под знаком предела, то

Пример 2.  Найти

Имеем:

Положим  Тогда  и при

.

АЗ

Найти пределы указанных функций.

1.  ( Ответ: 3/2.)

2.  ( Ответ: 6.)

3. ( Ответ: -2/5.)

4.  (Ответ: 0 или )

5.  (Ответ: .)

6.  (Ответ: 2.)