Презентация для подготовки к ОГЭ по математике "Задание 16"

• 1 слайд

  Задание №16
  ОГЭ
  Учитель: Бондарева В.В.
  Экономический лицей
  ФГБОУ ВО РЭУ им. Г. В. Плеханова
  

• 2 слайд

  Задача №1
  Четырехугольник АВСD вписан в окружность. ∠ АВС равен 38°, ∠САD равен 33°. Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.
  Дано: ∠АВС = 38°, ∠САD = 33°.
  Найти: ∠АВD.
  Решение:
  1) ∠DBC = ∠CAD = 33°, так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC.
  2) ∠АВD = ∠AВC – ∠DBC = 38° – 33° = 5°
  Ответ: 5.
  

• 3 слайд

  Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.
  Дано: Sкруга = 69, угол кругового сектора равен 120°.
  Найти: Sсектора.
  Решение:
  Ответ: 23.
  Задача №2
  

• 4 слайд

  Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
  Дано: АВСD вписан в окружность, ∠А = 33°.
  Найти: ∠С.
  Решение:
  ∠C = 180° – ∠A = 180° – 33° = 147°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
  Ответ: 147.
  Задача №3
  

• 5 слайд

  Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
  Дано: АС и BD – диаметры окружности,
  ∠АСВ = 53°.
  Найти: ∠ АОD.
  Решение:
  1) АCВ = 53° – вписанный угол, опирающийся
  на ᴗ АВ, поэтому ᴗ АВ = 53°  2 = 106°, так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  Ответ: 74.
  2) BD – диаметр, значит ᴗ ВАD = 180°.
  3) ∠ АОD – центральный угол, опирающийся на ᴗ АD, следовательно ∠ АОD = ᴗ АD = 180° – 106° = 74°.
  Задача №4
  

• 6 слайд

  Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.
  Дано: АВ – d; r = 20,5; АС = 9.
  Найти: ВС.
  Решение:
  1) ∠C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр, значит треугольник АВС прямоугольный.
  Ответ: 40.
  2) r = 20,5, следовательно АВ = 20,5  2 = 41
  3) По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2
  412 = 92 + ВС2 ВС2 = 1681 – 81
  ВС2 = 1600 ВС = 40
  
  Задача №5
  

• 7 слайд

  Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠АВС = 61° и ∠ОАВ = 8°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
  Дано: ∠АВС = 61°, ∠ОАВ = 8°.
  Найти: ∠ ВСО.
  Решение:
  1) Проведем радиус ОВ, АО = ВО = СО = r.
  Ответ: 53.
  2) Треугольник АОВ – равнобедренный, значит ∠А = ∠АВО = 8°.
  3) Треугольник ВОС – равнобедренный, значит
  ∠ВСО = ∠ОВС= 61° – 8° = 53°.
  Задача №6
  

• 8 слайд

  На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что : ∠АОВ = 45°. Длина меньшей дуги равна 91. Найдите длину большей дуги.
  Дано: ∠АОВ = 45°, длина меньшей дуги
  равна 91.
  Найти: длину большей дуги.
  Решение:
  Ответ: 637.
  Задача №7
  

• 9 слайд

  Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
  Дано: АВСD вписан в окружность,
  ∠А = 77°.
  Найти: ∠С.
  Решение:
  ∠C = 180° – ∠A = 180° – 77° = 103°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
  Ответ: 103.
  Задача №8
  

• 10 слайд

  Четырехугольник АВСD описан около окружности, АВ = 8, ВС = 12, СD = 13. Найдите АD.
  Дано: АВСD описан около окружности,
  АВ = 8, ВС = 12, СD = 13.
  Найти: АD.
  Решение:
  АD + ВС = АВ + СD, так как суммы
  противоположных сторон описанного четырехугольника равны.
  Ответ: 9.
  2) АD + 12 = 8 + 13
  АD = 21 – 12
  АD = 9
  Задача №9
  

• 11 слайд

  Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.
  Дано: треугольник АВС вписан в
  окружность, ∠АОВ = 73°.
  Найти: ∠АСВ.
  Решение:
  ∠ АОВ = 73° – центральный угол, опирающийся на ᴗ АВ, следовательно ᴗ АВ = 73°.
  Ответ: 36,5.
  2) ∠АСВ = 73° : 2 = 36, 5° , так как вписанный
  угол измеряется половиной дуги, на которую он
  опирается.
  Задача №10
  

• 12 слайд

  Задача №11
  Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найти высоту этой трапеции.
  
  Дано: трапеция вписана в окружность, r = 12.
  
  Найти: h.
  Решение:
  Высота трапеции равна диаметру вписанной
  окружности, поэтому h = 2  r = 2  12 = 24 .
  
  Ответ: 24.
  

• 13 слайд

  Задача №12
  Сторона АВ треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности . Найдите ∠ А, если ∠В = 44°. Ответ дайте в градусах.
  
  Дано: треугольник АВС вписан в окружность,
  ∠В = 44 °.
  Найти: ∠А.
  Решение:
  1)∠C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр,
  значит треугольник АВС прямоугольный.
  2)По теореме о сумме углов треугольника
  ∠А = 180° – (90° + 44°) = 46°
  Ответ: 46.
  

• 14 слайд

  Задача №13
  Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВD равен 37°, а угол САD равен 58°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.
  
  Дано: АВСD вписан в окружность,
  ∠АВD = 37°, ∠САD = 58°.
  Найти: ∠АВС.
  Решение:
  2) ∠САD = 58° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ СD,
  поэтому ᴗ СD = 58°  2 = 116°.
  ᴗ АDС = ᴗ АD + ᴗ DС = 74° + 116° = 190°,
  значит ∠АВС = 190° : 2 = 95°.
  Ответ: 95.
  ∠АВD = 37° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ АD,
  поэтому ᴗ АD = 37°  2 = 74°.
  

• 15 слайд

  Задача №14
  Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠АВС = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
  
  Дано: АВС вписан в окружность,
  АВ = ВС, ∠АВС = 107°.
  Найти: ∠ВОС.
  Решение:
  1)Треугольник АВС равнобедренный, поэтому в нем углы при основании равны, то есть
  ∠А = ∠АСВ = (180° – 107°) : 2 = 36,5°.
  2)∠ВАС = 36,5° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ ВС, поэтому ᴗ ВС = 36,5°  2 = 73°.
  3)∠ ВОС – центральный угол, опирающийся
  на ᴗ ВС, следовательно ∠ ВОС = ᴗ ВС = 73°.
  Ответ: 73.
  

• 16 слайд

  Задача №15
  Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6.
  Найдите высоту этого треугольника.
  
  Дано: треугольник АВС описан около окружности, r = 6.
  Найти: h.
  Решение:
  1) В равностороннем треугольнике любая высота является медианой и биссектрисой и все они пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружности.
  2) Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины,
  значит h = 6  3 = 18.
  Ответ: 18.
  

• 17 слайд

  Задача №16
  Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К.
  Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.
  
  Дано: АК – касательная, АС – секущая,
  АВ = 2, АК = 4
  Найти: АС.
  Решение:
  АК2 = АВ  АС
  42 = 2  АС
  АС = 16 : 2
  АС = 8
  Ответ: 8.
  

• 18 слайд

  Задача №17
  Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.
  
  Дано: касательные в точках А и В пересекаются под углом 82°.
  Найти: ∠АВО.
  Решение:
  1)Обозначим точку пересечения касательных буквой С .
  2)Отрезки касательных СА и СВ равны, значит треугольник АСВ равнобедренный,
  ∠САВ = ∠СВА = (180° – 82°) : 2 = 49°.
  3)Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ∠АВС = 90°.
  4)∠АВО = 90° – 49° = 41°
  Ответ: 41.