Презентация к выпускной квалификационной работе на тему: «Методы вычисления кратных интегралов и их приложения»

• 1 слайд

  Выпускная квалификационная работа на тему:
  «Методы вычисления кратных интегралов и их приложения»
  
  Выполнила: Умаева А.Р., студентка 5 курса
  Руководитель: Асхабов С. Н.
  
  

• 2 слайд

  Цель данной работы:
  рассмотрение методов вычисления кратных интегралов и их приложений, подробное изучение двойных интегралов, их свойств, и приложения к задачам геометрии и физики.
  
  

• 3 слайд

  Для достижения цели, рассмотрены следующие вопросы
  Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла;
  Определение двойного интеграла;
  Свойства двойного интеграла и его существования;
  Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования;
  Замена переменных в двойном интеграле;
  Двойной интеграл в полярных координатах;
  

• 4 слайд

  Приложения двойного интеграла;
  масса плоской пластинки переменной плотности;
  статические моменты и центр тяжести пластинки;
  моменты инерции пластинки;
  объем тела;
  вычисление площади плоской области;
  вычисление площади поверхности;
  Дополнительные свойства повторных интегралов.
  
  

• 5 слайд

  Объектом выпускной квалификационной работы являются кратные интегралы и их приложения.
  Предметом исследования – методы вычисления кратных интегралов и рассмотрение их приложений.
  
  

• 6 слайд

  Дополнительные свойства повторных интегралов
  

• 7 слайд

  Формула Дирихле
   
  

• 8 слайд

  
  ∆ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦. (1)
  
  ∆ 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑎 𝑏 𝑑𝑦 𝑦 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥. (2)
  Так как (по области)
  

• 9 слайд

  
  
  Следовательно, повторные интегралы из (1) и (2) равны
  
  
  𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑎 𝑏 𝑦 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦. (3)
   
  Равенство (3) называют формулой Дирихле.
  
  

• 10 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Замечание. Если функция f(x,y) определена при a≤x≤b, c≤y≤d, т.е. в прямоугольнике (Р), ограниченном прямыми x=a, x=b и y=c, y=d, то аналогично имеем:
  𝑃 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 ,
  𝑃 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 𝑐 𝑑 𝑑𝑦 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥.
  

• 11 слайд

  
  Следовательно
   
  𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 4
  
  Формулы (1) – (4) справедливы при −∞≤𝑎<𝑏≤∞, −∞≤𝑐<𝑑≤∞,
  если абсолютно сходится хотя бы один из интегралов в их левой или правой части.
  
  
  

• 12 слайд

  Интегралы «-го порядка»
  Формула Коши
  Пусть функция𝑓(𝑥)интегрируема на отрезке 𝑎,𝑏 . Рассмотрим интегралы
  𝐼 1 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, (1)
  𝐼 2 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝐼 1 𝑡 1 𝑑 𝑡 1 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 .
  
  

• 13 слайд

  𝐼 3 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝐼 2 𝑡 2 𝑑 𝑡 2 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑡 2 𝐼 1 𝑡 1 𝑑 𝑡 1 𝑑 𝑡 2 =
  = 1 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑡 2 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑 𝑡 2 =
  = 𝑎 𝑥 𝑑 𝑡 2 𝑎 𝑡 2 𝑑𝑡 1 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
  
  

• 14 слайд

  
  𝐼 𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑎 𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛−2 ….. 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (2)
  
  n интегралов
  
  Обозначим
  𝐼 𝑛 𝑥 = 1 𝑛−1 ! 𝑎 𝑥 𝑥−𝑡 𝑛−1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (3)
  

• 15 слайд

  Докажем, что 𝐼 𝑛 𝑥 = 𝐽 𝑛 𝑥 (∗)
  
  Так как
  𝐽 𝑛+1 𝑥 = 3 = 1 𝑛! 𝑎 𝑥 𝑥−𝑡 𝑛 𝑓 𝑡 𝑑𝑡,
  
  то
  𝐽 𝑛+1 ′ 𝑥 = 1 𝑛−1 ! 𝑎 𝑥 𝑥−𝑡 𝑛−1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡= 𝐽 𝑛 𝑥 .
  

• 16 слайд

  Интегрируя обе части в пределах от 𝑎 до 𝑥 и учитывая, что 𝐽 𝑛+1 𝑎 =0 (3),имеем
  𝐽 𝑛+1 𝑥 − 𝐽 𝑛+1 𝑎 = 𝑎 𝑥 𝐽 𝑛 𝑡 𝑛 𝑑 𝑡 𝑛 4
  
  Так как
  𝐽 1 𝑥 = 3 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, (5)
  

• 17 слайд

  𝐽 2 𝑥 = 4 = 𝑎 𝑥 𝐽 1 𝑡 1 𝑑 𝑡 1 = 5 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 (6)
  
  𝐽 3 𝑥 = 4 = 𝑎 𝑥 𝐽 2 𝑡 2 𝑑 𝑡 2 = 6 =
  = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑡 2 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑡 1 𝑑 𝑡 2 =
  = 𝑎 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑎 𝑡 2 𝑑 𝑡 1 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
  

• 18 слайд

  𝐽 𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑎 𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛−2 … 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡= 2 = 𝐼 𝑛 𝑥
  
  n интегралов
  Из (∗), в силу (2) и (3) получаем
   
  𝑎 𝑥 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑎 𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑛−2 … 𝑎 𝑡 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
  = 1 𝑛−1 ! 𝑎 𝑥 𝑥−𝑡 𝑛−1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡. (7)
  
  Формула Коши
  

• 19 слайд

  Так как в формуле (7) функция 𝑓(𝑥) проинтегрирована n раз, то естественно правую часть (7) назвать интегралом функции 𝑓(𝑥)n-го порядка.
  Приведем в заключение пример, показывающий, что не всегда выполняется равенство
  
  
  
  
  т.е. не всегда можно менять порядок интегрирования в повторных интегралах.
  

• 20 слайд

  В самом деле, если 𝑓 0,0 =0,𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 2 , то
  
  0 1 0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝜋 4
   
  0 1 0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦=− 𝜋 4 .
  
  

• 21 слайд

  Покажем это.
  0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦= 0 1 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 2 𝑑𝑦 =
   
  = 0 1 𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 ′ 𝑑𝑦= 𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 1 0 = 1 𝑥 2 +1
   
  0 1 0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 0 1 1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1 0 = 𝜋 4
  

• 22 слайд

  0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥= 0 1 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 2 𝑑𝑥 =
   
  =− 0 1 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 ′ 𝑑𝑥=− 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 1 0 =− 1 𝑦 2 +1
   
  0 1 0 1 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦=− 0 1 𝑑𝑦 𝑦 2 +1 =−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 1 0 =− 𝜋 4
  
  

• 23 слайд

  Спасибо за внимание)