Презентация на тему Теорема Пифагора

• 1 слайд

  Теорема Пифагора
  Пребудет вечной истина, как скоро
  Её познает слабый человек!
  И ныне теорема Пифагора
  Верна, как и в его далёкий век.
  

• 2 слайд

  Содержание
  Формулировка теоремы
  Доказательства теоремы
  Значение теоремы Пифагора
  

• 3 слайд

  Формулировка
  теоремы
  
  « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»
  
  « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 
  
  Во времена Пифагора теорема звучала так:
  или
  

• 4 слайд

  Современная формулировка
  « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».    
  

• 5 слайд

  Доказательства теоремы
  Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.).
  

• 6 слайд

  Самое простое доказательство
  Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
  Сторона квадрата равна a + c.
  c
  a
  

• 7 слайд

  
  
  
  В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
  
  
  a
  c
  a
  c
  В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.
  
  
  a
  c
  Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.
  

• 8 слайд

  Доказательство Евклида
  Дано:
  ABC-прямоугольный треугольник
  Доказать:
  SABDE=SACFG+SBCHI
  

• 9 слайд

  Доказательство:
  Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.
  

• 10 слайд

  Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
  SPQEA=2SACE
  Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB
  Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.
  
  

• 11 слайд

  Алгебраическое доказательство
  Дано: ABC-прямоугольный треугольник
  Доказать: AB2=AC2+BC2
                                           
   Доказательство:
  
  1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
  2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
  AB*AD=AC2.
  3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
  AB*BD=BC2.
  4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
  AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
  AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.
  

• 12 слайд

  Геометрическое доказательство
  Дано: ABC-прямоугольный треугольник
  Доказать: BC2=AB2+AC2
  Доказательство:
  
  1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E.
  2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:
  SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
  3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
  SABED= (DE+AB)*AD/2.
  4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
  AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
  AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
  AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
  BC2=AB2+AC2.
     Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.
  
  
  

• 13 слайд

  Значение теоремы Пифагора
  Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
  

• 14 слайд

  Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.