Презентация по алгебре и началам анализа 11 класс на тему "Решение систем уравнений"

• 1 слайд

  Решение систем рациональных уравнений
  Автор: учитель математики высшей категории МБОУ города Ростова-на-Дону
  «Лицей №51 имени Капустина Бориса Владиславовича»
  Овчар Людмила Леонидовна
  

• 2 слайд

  Исторические сведения
  Уравнение с двумя неизвестными, входящее в систему, выражает зависимость между двумя величинами , имеет бесчисленное множество решений и является неопределенным.
  Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки, вавилоняне и индийцы.
  В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений.
  Дата рождения и смерти не установлены
  Место рождения: Александрия, Египет
  Страна: Древний Рим
  Научная сфера: Теория чисел
  Известен, как «отец алгебры»
  Диофант
  ≈200-300 гг. нашей эры
  
  

• 3 слайд

  Исторические сведения
  Издавна применялись приемы исключения неизвестных из линейных уравнений. В ⅩⅤⅠⅠ -ⅩⅤⅠⅠⅠ вв. их разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж…
  Благодаря Ферма и Декарту, создавшим метод координат, стало возможным геометрическое решение уравнений системы.
  
  Этьен Безу
  (1730-1783)
  Жозеф Луи Лагранж
  (1736-1813)
  

• 4 слайд

  Исторические сведения
  В древневавилонских текстах, написанных в III – II тысячелетиях до н.э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения второй степени.
  Например, Площади двух своих квадратов я сложил: 25 5 12 . Сторона второго квадрата равна 2 3 стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
  𝑥 2 + у 2 =25 5 12 ; у= 2 3 х+5;
  Для решения системы вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат, получаем у 2 = 4 9 𝑥 2 + 20 3 х + 25,
  Подставив значение у 2 , получаем 1 4 9 𝑥 2 + 6 2 3 х = 5 12 , решая уравнение, находим х, затем у.
  

• 5 слайд

  Исторические сведения
  Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.
  “Найти два натуральных числа, зная, что их сумма = 20, а сумма их квадратов 208”.
  Задачу так же решали составлением системы уравнений, но решал Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел
  1 2 х−у =𝑧; 1 2 х+у =10.
  Складывая уравнения, а затем вычитая, получаем х=z+10; y=10-z, далее
  𝑥 2 + у 2 = (z+10) 2 + (10−z) 2 =2 𝑧 2 +200, таким образом, 2 𝑧 2 +200=208, откуда z=2;
  x=2+10=12;y=10-2=8.
  
  

• 6 слайд

  Способы решения систем уравнений
  Графический – оба графика уравнений строят в одной системе координат, решением системы являются координаты точек пересечения графиков.(удобен при уравнениях, выражающих явно функции)
  Подстановки – из одного уравнения выражают одну из переменных (обычно первую степень) и подставляют во второе уравнение; находят одну переменную, затем вторую.
  Сложения – уравниваем при одной из переменной коэффициенты и складываем уравнения, исключая одну из переменных. Затем находим одну и вторую переменную.
  

• 7 слайд

  Способы решения систем уравнений (аналитические методы)
  
  №1. Решить систему:
  2𝑥 2 −ху+3 у 2 −7х−12у+1=0; х−у=−1.
  Способ подстановки.
  №2. Решить систему:
  ху−х+у=7; ху+х−у=13.
  Способ сложения.
  

• 8 слайд

  №3. Решить систему. (метод сложения)
  𝑥 2 −4 у 2 −ху+5у=1; 𝑥 2 +3 у 2 −ху−4у=−1;
  №4. Решить систему. (метод сложения)
  𝑥 2 +2ху−8 у 2 −6х+18у−7=0; 2𝑥 2 −5ху−10 у 2 −3х+9у+7=0;
  №5. Решить систему.
  х 3 +4у= у 3 +16х, 1+ у 2 =5 1+ 𝑥 2 . перепишем и поделим 1 ур. На 2 ур. х 3 −16х= у 3 −4у, 5 𝑥 2 = у 2 −4;
  Способы решения систем уравнений (аналитические методы)
  
  

• 9 слайд

  №6. Решить систему.
  у 3 + 𝑧 3 =7 𝑥 3 , 𝑦−𝑧=3𝑥, 𝑧−𝑥=𝑦−2; складываем 2 и 3 уравнения, получаем систему равносильную данной.
  №7. Решить систему.
  𝑥 2 +3𝑥𝑦+ 𝑦 2 =61, 𝑥𝑦=12;
  u=x+y, v=xy, 𝑥 2 +3𝑥𝑦+ 𝑦 2 = (𝑥+𝑦) 2 +𝑥𝑦= 𝑢 2 +𝑣, получим
  𝑢 2 +𝑣=61, 𝑣=12;
  
  Способы решения систем уравнений (аналитические методы)
  
  

• 10 слайд

  №8. Решить систему.
  х 3 + у 3 =6; ху=2,
  Возводим второе уравнение в куб, получим х 3 у 3 =8, через замену переменной, находим х 3 и у 3 , затем, х и у.
  
  Способы решения систем уравнений (аналитические методы)
  
  

• 11 слайд

  ответы
  №1 (4;5);(-1/2; 1/2)
  №2 (5;2); (-2;-5)
  №3 (0;1); (1;1)
  №4 (-3;-1); (-1;2); (3;1); (1;1)
  №5 (1;-3); (-1;3); (0;2); (0;-2)
  №6 (1/2; 1; -1/2)
  №7 (4;3); (3;4); (-4;-3); (-3;-4)
  №8 ( 3 2 ; 3 4); ( 3 4 ; 3 2);
  

• 12 слайд

  Система maxima
  Maxima - программа для выполнения математических вычислений, символьных преобразований и построения графиков. С каждой новой версией в Maxima появляются новые функциональные возможности и виды решаемых задач.
  Целая и дробная часть десятичных дробей разделяются символом точка. Перед отрицательными числами ставится знак минус. Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяется при помощи символа / (прямой слэш).
  Арифметические операции
  Обозначение арифметических операций в Maxima ничем не отличается от классического представления: + , - , * , /. Возведение в степень можно обозначать несколькими способами: ^ , ^^ , **. Извлечение корня степени n записываем, как степень 1/n. Введем еще одну полезную операцию - нахождение факториала числа. Эта операция обозначается восклицательным знаком, например 5!.
  Для увеличения приоритета операции, как и в математике, используются круглые скобки: ().
  
  

• 13 слайд

  Система maxima для решения систем уравнений
  Для решения алгебраических систем уравнений
  Выбираем в меню maxima уравнения,
  алгебраические системы, и в окно вводим уравнения
  и переменные через запятую, ОК, получаем результат
  

• 14 слайд

  Результат решенной системы в программе maxima
  №1 algsys([2*x^2-x*y+3*y^2-7*x-12*y+1, x-y+1], [x,y]);
  [[x=4,y=5],[x=-1/2,y=1/2]]
  №2 algsys([x*y-x+y-7, x*y+x-y-13], [x,y]);
  [[x=5,y=2],[x=-2,y=-5]]
  №3 algsys([x^2-4*y^2-x*y+5-1, x^2+3*y^2-x*y-4*y+1], [x,y]);
  [[x=1,y=1],[x=-(sqrt(631)*%i+3)/14,y=-3/7],[x=(sqrt(631)*%i-3)/14,y=-3/7],[x=0,y=1]] находятся в том числе и комплексные корни
  №4 algsys([x^2+2*x*y-8*y^2-6*x+18*y-7, 2*x^2-5*x*y-10*y^2-3*x+9*y+7], [x,y]);
  [[x=-1,y=2],[x=3,y=1],[x=1,y=1],[x=-3,y=-1]]
  №5 algsys([x^3+4*y-y^3-16*x, 1+y^2-5*(1+x^2)], [x,y]);
  [[x=-(8*%i)/sqrt(31),y=-(14*%i)/sqrt(31)],[x=(8*%i)/sqrt(31),y=(14*%i)/sqrt(31)],[x=-1,y=3],[x=1,y=-3],[x=0,y=2],[x=0,y=-2]]
  

• 15 слайд

  Результат решенной системы в программе maxima
  №6 algsys([y^3+z^3-7*x^3, y-z-3*x, z-x-y+2], [x,y,z]);
  [[x=1/2,y=1,z=-1/2],[x=1/2,y=(sqrt(111)*%i+5)/8,z=(sqrt(111)*%i-7)/8],[x=1/2,y=-(sqrt(111)*%i-5)/8,z=-(sqrt(111)*%i+7)/8]]
  №7 algsys([x^2+3*x*y+y^2-61, x*y-12], [x,y]);
  [[x=-3,y=-4],[x=-4,y=-3],[x=4,y=3],[x=3,y=4]]
  №8 algsys([x^3+y^3-6, x*y-2], [x,y]);
  [[x=1.259921095381759,y=1.587400917813934],[x=-1.091123635971722*%i-0.6299605249474369,y=1.374729636998602*%i-0.7937005259840997],[x=1.091123635971722*%i-0.6299605249474369,y=-1.374729636998602*%i-0.7937005259840997],[x=1.587400917813934,y=1.259921095381759],[x=-1.374729636998603*%i-0.7937005259840998,y=1.091123635971721*%i-0.6299605249474366],[x=1.374729636998603*%i-0.7937005259840998,y=-1.091123635971721*%i-0.6299605249474366]]
  

• 16 слайд

  Возможности применения системы maxima при решении систем уравнений
  maxima для школьников является незаменимым помощником в изучении математики, физики, информатики, освобождая учащихся от рутинных расчетов и сосредотачивая их внимание на сущности метода решения той или иной задачи. Применение maxima позволяет решать целый спектр новых трудоемких, но интересных задач: от упрощения громоздких алгебраических выражений, аналитического решения уравнений и систем с параметрами, графических построений до анимации графиков и пошаговой визуализации самого процесса решения. Учащимся предоставляется возможность выполнять более содержательные задания и получать наглядные результаты. Это способствует закреплению знаний и умений, приобретенных ими при изучении других школьных дисциплин, помогает в полной мере проявлять свои творческие и исследовательские способности.
  
  

• 17 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Краткое описание документа:

«Системы уравнений с несколькими неизвестными. Решение систем рациональных уравнений.»

• Овчар Людмила Леонидовна
• Место работы муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Ростова-на-Дону «Лицей №51 имени Капустина Бориса Владиславовича»
• Должность учитель математики
• Предмет алгебра и начала математического анализа
• Класс 11
• Тема и номер урока в теме «Системы уравнений с несколькими неизвестными», №7,8
• Базовый учебник С.М. Никольский и др. «Алгебра и начала математического анализа. 11класс.»