Презентация по математике "Методы решения неравенств"

• 1 слайд

  Методы решения неравенств
  Решение неравенств
  Бобрышева С.В.
  учитель математики
  МКОУ «СОШ№2 пос. Пристень»
  

• 2 слайд

  Умножать обе части неравенства на число или выражение,
  не равное нулю.
  Возводить обе части неравенства в квадрат при условии,
  они неотрицательны
  «Отбрасывать» основания или логарифмы
  Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же.
  Применять метод рационализации
  Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать!
  Решение неравенств
  Мы можем
  Нельзя
  1.Умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.
  2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.
  3.Запомним: ответы типа «х >±10 » абсурдны.
  4 Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.
  
  Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – обязательно будет область допустимых значений.
  
  

• 3 слайд

  Решить неравенство х−1 −|2х+1| х−2 −|2х+2| ≥ 0.
  Метод умножения обеих частей
  неравенства на сопряженный множитель
  
  х−1 −|2х+1| х−2 −|2х+2| ∙ х−1 +|2х+1| х−2 +|2х+2| ≥ 0
  ( х−1) 2 − (2х+1) 2 ( х−2) 2 −( 2х+2) 2 ≥ 0
  х (х+2) х (х+4) ≥ 0,
  х+2 х+4 ≥ 0,
  х ≠ 0;
  х+2 х+4 = 0,
  х ≠ 0
  Х=-2,
  х ≠ 0
  х ≠ -4
  х є (-∞;- 4)∪ [-2; 0)∪(0;+ ∞)
  Метод рационализации
  │m│2 = m2 и │m│≥0 для всех m,
  функция y=t2 возрастает при t ≥0
  (х−1−2х−1)(х−1+2х+1) (х−2−2х−2)(х−2+2х+2) ≥ 0
  
  3х (−х−2) 3х (−х−4) ≥ 0
  «...такого формально метода решения нет, но решение методом равносильных переходов – абсолютно корректное» И. Ященко
  Решение
  

• 4 слайд

  ОДЗ: 4-х>0; х<4
  Переход к системе неравенств
  x2- 10 ≤ 0 или x2- 10 ≥ 0
  log3(4-x) ≥ 0 log(4-x) ≤0
  − 10 ≤x≤ 10 x ≥ 10
  x≤3 x ≤− 10
  3≤ x ≤ 4
  Учитывая ОДЗ:
  Ответ:
  Метод интервалов
  Метод рационализации
  Решить неравенство
  Решение
  (х− 10 )(x+ 10 )(4 −х −1)(3 −1) ≤0
  (х− 10 )(x+ 10 )(3 −х )≤0
  (х− 10 )(x+ 10 )(3 −х )=0
  х= 10 ;
  х=− 10 ; х=3.
  =0
  х= 10 ;
  х=− 10 ; х=3.
  

• 5 слайд

  Метод рационализации
  ОДЗ: 4-х>0; х<4
  (4−х) х 2 5 ≤ (4−х) 2
  (4−х−1)( х 2 5 −2)≤0
  (4−х) х 2 5 − (4−х) 2
  ≤0
  (3−х )( 𝑥 2 −10)≤0
  (х− 10 )(x+ 10 )(3 −х )≤0
  ОДЗ:
  𝑥−2,6 𝑥−3 =0
  𝑥=2,6; 𝑥=3
  Решение
  Решение
  Решить неравенство
  Решить неравенство
  

• 6 слайд

  Использование свойств монотонности
  ОДЗ: 3х-2> 0
  3-2х > 0
  х > 2/3
  х<3/2
  Левая и правая части неравенства являются одинаковыми функциями
  от разных аргументов
  Рассмотрим функцию f(t)= 𝟒 𝒕 +log7 t + 𝟑 𝒕 𝟒
  t1 =3х-2
  t2 = 3-2х
  Функция возрастающая на D(f). Значит, f(t1) > f(t2)
  t1 > t2
  3х-2> 3-2х
  5х >5
  х >1
  С учетом ОДЗ:
  Ответ: (1;1,5)
  Решение
  Решить неравенство
  

• 7 слайд

  ОДЗ: х‡0
  Левая и правая части неравенства являются одинаковыми функциями
  от разных аргументов
  Рассмотрим функцию f(t)= 𝟎,𝟓 𝒕 +(− 𝟓 𝒕 )
  t1 = 𝟏 х
  t2 = 𝟐х
  Функция убывающая на D(f). Значит, f(t1) ≥ f(t2)
  t1 ≤ t2
  𝟎,𝟓 𝟏 х − 𝟓 𝟏 х ≥ 𝟎,𝟓 𝟐х − 𝟓 𝟐х
  𝟏 х
  𝟐х
  ≤
  1−2 𝑥 2 х
  ≤
  0
  Ответ: [- 1 2 ;0) ∪ [ 1 2 ; +∞)
  Использование свойств монотонности
  Решение
  Решить неравенство
  

• 8 слайд

  Метод оценки
  1. Решить неравенство: 7 −|х−3| log 2 (6х− х 2 −7)≥ 1.
  Решение: Умножим обе части на 7 |х−3| >0, получим равносильное неравенство 𝒍𝒐𝒈 𝟐 (𝟔х− х 𝟐 −𝟕)≥ 𝟕 |х−𝟑| .
  Применим метод оценки.
  6х – х2 – 7 = 2 – (х2 – 6х + 9) = 2 – (х – 3)2,
  𝒍𝒐𝒈 𝟐 (𝟐 – (х−𝟑) 𝟐 ) ≥ 𝟕 |х−𝟑| . Выражение 2 - (х−3) 2 принимает наибольшее значение 2, отсюда наибольшее значение 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐 = 1 при х = 3. В то же время наименьшее значение 𝟕 |х−𝟑| равно 1 при х = 3.
  Неравенство выполняется, когда обе части равны 1 при х = 3. Ответ: х = 3.
  
  2.Решить неравенство:
  х ∙ 2х ≤ х∙ (4 – х) + 3 ∙ (2х – 1).
  Решение:
  х ∙ 2х ≤ х∙ (4 – х) + 3 ∙ (2х – 1)
  х ∙ 2х ≤ 4х – х2 + 3 ∙ 2х – 3
  х ∙ 2х - 3 ∙ 2х ≤ – х2 + 4х – 3
  2х (х – 3) + (х – 3) (х -1) ≤ 0
  (х – 3)( 2х + х -1) ≤ 0
  х ≤ 3
  2х ≥ 1 – х
  х≥3
  2х ≤ х -1
  Х ≥ 3
  х ≤ 0
  х ≤ 3
  х ≥ 0
  Ответ: [0; 3].
  

• 9 слайд

  1−3х − 1 2+х −1 ≤1
  Решить неравенства
  1-3х ≥ 0,
  2+х ≥ 0,
  2+х - 1≠0;
  х ≤ 1 3 ,
  х ≥−2
  х ≠-1
  [-2;-1) (-1; 𝟏 𝟑
  ]
  ОДЗ:
  ∪
  1−3х − 1 2+х −1 − 1≤0,
  1−3х − 1− 2+х +1 2+х −1 ≤0,
  1−3х − 2+х 2+х − 1 ≤0,
  1−3х −(2+х) 2+х −1 ≤ 0,
  −4х−1 х+1 ≤ 0.
  Решение
  [-2;-1) ∪ [- 1 4 ; 1 3 ]
  Ответ:
  Метод рационализации
  Ответ:
  

• 10 слайд

Краткое описание документа:

Материал полезен учителям и ученикам при подготовке к ЕГЭ профильный уровень