Презентация по математике на тему "Квадратные уравнения" (8 класс)

• 1 слайд

  Проект по математике
  «Различные способы решения квадратных уравнений»
  Фоминой Екатерины
  ученицы 8 класса
  МБОУ- СОШ «Рязанские сады»
  Учитель: Ярославцева Л.Е.
  2013-2014
  

• 2 слайд

  Цель работы:
  
  
  
  Познакомиться с биографией великих математиков, занимавшихся решением квадратных уравнений.
  Найти различные способы решений квадратных уравнений.
  Рассмотреть практическое применение способов решения квадратных уравнений в современной жизни.
  
  
  

• 3 слайд

  введение
  Человеку, изучающему алгебру, часто  полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.                                 
  У.У. Сойер (английский математик XX века)
   
  
  
  
  
  Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.
  
  

• 4 слайд

  
  
  История возникновения и развития квадратных уравнений
  Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.                                
  Г.В. Лейбниц
  (немецкий математик XVII-XVIII веков)
  
  

• 5 слайд

  Древний Вавилон
   
  

• 6 слайд

  индия
  
  Индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:  
  ах2 + bx = c, где a > 0. В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Брахмагупта
  

• 7 слайд

  Древняя Греция
  
  Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
  

• 8 слайд

  Средняя Азия
  Основоположником алгебры считают среднеазиатского математика Мухаммед бен Муса аль - Хорезми (787 – 850 г. г.).
  Аль-Хорезми написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала» . Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки - алгебра.
  

• 9 слайд

   : 
  
  1) «Квадраты равны корням», т.е. аx² = bх.
  
  2) «Квадраты равны числу», т.е. аx² = с.
  
  3) «Корни равны числу», т.е. bx = с.
  
  4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. аx² + с = bх.
  
  5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. аx² + bx = с.
  
  6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = аx².
  

• 10 слайд

  Европа
  
  Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Леонард Фибоначчи
  

• 11 слайд

  Франсуа Виет (1540-1603) первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Это скромное, казалось бы, новшество внесло огромный вклад в развитие математики. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения будет довольно трудно. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Франсуа Виет
  

• 12 слайд

  
  Люди, благодаря которым способ решения квадратных уравнений принимает современный вид
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Декарт Жиррар Ньютон
  

• 13 слайд

  Что такое квадратное уравнение?
  Квадратное уравнение – уравнение вида
  ax2 + bx + c = 0,
  где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
  
  Приведенные квадратные уравнения – это уравнения вида 
  x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a=1.
  
  Если в квадратном уравнении
  ах2 + bx + c = 0
  хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
  Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
  1) ах2 + с = 0, где b = 0;
  2) ах2 + bх = 0, где с = 0;
  3) ах2 = 0, где b = c = 0.
  

• 14 слайд

  Способы решений квадратных уравнений.
  

• 15 слайд

  1 способ: разложение левой части уравнения на множители.
  x2 +10x – 24 = 0
  x2 + 12x – 2x – 24 = 0
  x (x - 2 ) + 12( x - 2) = 0
  (x-2)(x+12) = 0
  x – 2 = 0 или x + 12 = 0
  x = 2 или x = - 12
  Ответ: х1 = 2; х2 = - 12
  
  Этот метод не всегда удобен, т.к. не всегда удается применить способ группировки.
  
  

• 16 слайд

  2 способ: выделение квадрата двучлена.
  
  Цель метода - привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:
  
  
  
  Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но очень громоздкий, поэтому не всегда удобен. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения и при решении более сложных задач.
  
  (а + b)2 = a2 + 2ab + b2;
  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
  

• 17 слайд

  Пример 1
   
   
  
  

• 18 слайд

  3 cпособ: решение квадратных уравнений по формуле.
  
  aх2 + bх + с = 0.
  x2 + 𝑏 𝑎 х + 𝑐 𝑎 = 0
   x2+2·х· 𝑏 2𝑎 +( 𝑏 2𝑎 )2 - ( 𝑏 2𝑎 ) 2 + 𝑐 𝑎 = 0
   
  x2+2·х· 𝑏 2𝑎 +( 𝑏 2𝑎 )2 = ( 𝑏 2𝑎 ) 2 - 𝑐 𝑎
   
  (х + 𝑏 2𝑎 )2 = 𝑏 2 4 𝑎 2 - 𝑐 𝑎
   
  (х + 𝑏 2𝑎 )2 = 𝑏 2 −4𝑎𝑐 4 𝑎 2
  
  

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  Если коэффициент b = 2k – четное число, то уравнение примет вид:
  ax2 + 2kx + c = 0.
  D = 4k2 − 4ac = 4(k2 – ac).
  Обозначим через D1 = k2 – ac.
  Если D1 ≥ 0, то
  𝑥= −2𝑘 ± 4 𝐷 1 2𝑎 = −2𝑘 ± 2 𝐷 1 2𝑎 = −𝑘 ± 𝐷 1 𝑎 , т. е.
  x = −𝑘 ± 𝐷 1 𝑎 .
  Если D1 <0, то уравнение корней не имеет.
  Этой формулой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом.
  

• 23 слайд

  Пример 4:
  
  9х2 - 14х + 5 = 0
  D1 = k2 – ас = 49 – 45 = 4
  𝐷 1 = 4 =2
  x1 = 7+2 9 = 9 9 = 1
  x2 = 7− 2 9 = 5 9
  Ответ: х1=1; х2= 5 9
  
  

• 24 слайд

  
  4 cпособ: решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.
   
  
  Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т. е.
  х²+ px + q = 0
  х1 · х2 = q
  x1 + x2 = - p
  
  

• 25 слайд

  
  По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней:
  Если сводный член q > 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p.
  Если р > 0 (- р <𝟎 ) , то оба корня отрицательны, если р < 0 (- р >𝟎), то оба корня положительны.
  Если свободный член q < 0, то  уравнение  имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.
   
  Пример: x2 - 7х + 12 = 0
  x1 · x2 = 12
  x1 + x2 = 7
  х1 = 3; х2 = 4.
  Ответ: х1 = 3; х2 = 4.
  
  
  Теорема Виета позволяет в ряде случаев находить корни приведенного квадратного уравнения без использования формулы корней - подбором. Но корни возможно подобрать только в том случае, если дискриминант D .
   По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
  
  
  

• 26 слайд

  5 cпособ: решение квадратных уравнений способом «переброски».
  
   
  

• 27 слайд

  Пример 1:
  
   
  

• 28 слайд

   
  6 cпособ: свойства коэффициентов квадратного уравнения.
   
  
  Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а >0.
  
  Если а + b + с = о ( т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1; х2 = c 𝑎 (по теореме Виета)
  Если а – b + с = 0, (или b = а + с, т.е. второй коэффициент равен сумме 1-го и 3-го коэффициентов), то х1 = -1; х2 = - c 𝑎
  
  
  
  
  Этот метод удобно применять, когда коэффициенты квадратного уравнения – большие числа.
  

• 29 слайд

  Пример 1:
   
  345х2 - 137х – 208 = 0
  a + в + с = 345 – 137 – 208 = 0
  х1 = 1; х2 = - 208 345
  Ответ: х1= 1 ; х2 = - 208 345
   
  Пример 2:
   
  132х2 + 247х + 115 = 0
  b = a + с
  247 = 132 + 115
  х1 = -1; х2 = - 115 132
  Ответ: х1 = -1; х2 = - 115 132
  

• 30 слайд

  В 2013-2014 учебном году на олимпиаде можно предложить такое уравнение:
  2013x2 - 2014x +1 = 0
  
  a + b + c = 2013 - 2014 +1 = 0,
  значит, x1 = 1, х2 = 1 2013
  или составить такое уравнение:
  
  2013x2 + 2014x +1 = 0
  
  b = a + c, т.е.
  2014 = 2013 +1
  значит, x1 = - 1, х2 = - 1 2013
  
  

• 31 слайд

  7 способ: графический способ решения квадратных уравнений.
  
  Решим графически уравнение 
  ах2 + bx +с = 0
  Можно свести уравнение к приведенному
  x2 + px + q = 0 ,
  x2 = - px – q,
  построить графики функций:
  параболу y = x2 и прямую y = - px – q.
  Абсциссы точек пересечения – есть решения данного уравнения.
  
  

• 32 слайд

  Возможны следующие случаи:
  Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения.
  
  Прямая  и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.
  
  Прямая и парабола не имеют общих точек,
  т. е. квадратное уравнение не имеет корней.
  

• 33 слайд

  Пример:
  x2 – х – 2 = 0
  x 2 = х + 2
  Строим графики функций
  y = х2 и y = х + 2
  1) у = х²
  
  
  
  2) у = х + 2
  
  
  
  
  x1 ≈ -1
  x2 ≈ 2
  Ответ: х1 ≈ -1; х2 ≈2
  
  Применяя графический метод, не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.
   
  
  

• 34 слайд

  8 cпособ: геометрический способ (основан на выделении полного квадрата).
  
  
  Решить уравнение х2+ 10х =39
  Строим квадрат со стороной х и на его сторонах –
  4 прямоугольника высотой 10 4 .
  В углах фигуры построим 4 квадрата
  со стороной 10 4 .
  Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:
  х2 + ( 10 4 · х) · 4 + ( 10 4 )2 · 4 = x2 + 10х + 4· 100 16 =
  = х2 + 10х + 25 =39 +25 = 64
  Значит, сторона большого квадрата равна 8,
  тогда х + 2· 10 4 = 8 x+5=8 x=3
  Геометрический способ использовался в древности, когда не было известно алгебраических способов решения. В современной жизни не находит применения.
  

• 35 слайд

  9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
  
   
  𝑪𝑭 𝑪𝑯 = 𝑫𝑭 𝑨𝑯 𝒑−𝒒 𝒑−𝑨𝑩 = 𝒂 𝑶𝑩
  𝒑−𝒒 𝒑+ 𝒛 𝟐 𝟏+𝒛 = 𝐚 𝐚 𝟏+𝐳 откуда после
  упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причём буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
   
  
  

• 36 слайд

  Примеры :
   
  Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма даёт корни z1 = 8 и z2 = 1
  Решим с помощью номограммы уравнение
  2z2 - 9z + 2 = 0
  Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
  z2 - 4,5z + 1 = 0
  Номограмма даёт корни z1 = 4 и z2 = 0,5
   
  
  
  

• 37 слайд

  Для уравнения z2 + 5z – 6 = 0 номограмма даёт положительный корень z1 = 1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из –р, т. е.
  z2 = - p – 1 = - 5 – 1 = -6.
  
  Для уравнения z2 - 2z – 8 = 0 номограмма даёт положительный корень z1 = 4, отрицательный равен z2 = - р - z1 = 2 - 4 = -2.
   
  Если оба корня отрицательные, то делают замену z1 = -t.
  

• 38 слайд

  Для уравнения z2 + 4z + 3 = 0, оба
  корня которого ( z1·z2 = 3; z1 + z2 = -4)
  отрицательные числа, берём z1 = - t
  и находим по номограмме два
  положительных корня t1 и t2
  уравнения t2  – 4 t  + 3 = 0, это
  t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = – t1 = – 1
  и z2 =  – t2  = – 3.
  
  Если коэффициенты  p и q выходят
  за пределы шкалы, то выполняют
  подстановку z = kt  и решают с
  помощью номограммы уравнение
  t2 + 𝑝 𝑘 𝑡 + 𝑞 𝑘 2 = 0, где k берут с таким
  расчетом, чтобы имели место
  неравенства – 12,6 ≤ 𝑝 𝑘 ≤12,6
  
  -12,6 ≤ 𝑞 𝑘 2 ≤ 12,6
  

• 39 слайд

  Для уравнения z2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z =5t, получим:
  t2 - 5t + 2, 64 = 0,
  которое решаем посредством номограммы и получим:
  t1 = 0,6 и t2 = 4,4
  
  откуда z1 = 5t 1= 5·0,6 = 3
  z2 = 5t2 = 5·4,4 = 22
  
  

• 40 слайд

  Заключение
  

• 41 слайд

  В результате выполнения
  работы были  изучены  следующие способы:
  1.Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Выделение квадрата двучлена.
  3.Решение квадратных уравнений по формуле.
  4.С помощью теоремы Виета.
  5.Решение квадратных уравнений способом «переброски».
  6.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
  7.Графический способ решения квадратных уравнений.
  8. Геометрический метод.
  9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
  
  Каждый из изученных способов имеет как положительные стороны, так и недостатки. Но выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Так же не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения  конкретно для каждого уравнения.
  
  

• 42 слайд

  Список использованных источников и литературы
   
  1) Макарычев Ю.Н. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательных
  учреждений // 15-е издание, доработанное. М.: Просвещение, 2010.
  2) Брадис В.М. Четырехзначные  математические таблицы // М.: Дрофа, 2001.
  3) Глейзер Г.И. История математики в школе VII - VIII классы. Пособие для учителей // М.: Просвещение, 1997.
  4) Дроздов В. Квадратное уравнение: варианты решения.
  7) Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений.  Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.
  8) Шаталова С. Способы решения квадратных уравнений // «Математика в школе» №42/2004.