Презентация по математике на тему "Свойства квадратных корней" (8 класс)

• 1 слайд

  Свойства арифметических квадратных корней
  
  теория и примеры
  Часть 1-2
  8 класс
  Автор: Медведева Ольга Петровна
  

• 2 слайд

  часть 1:
  
  1. Повторение
  2. Квадратный корень из степени
  3. Квадратный корень из произведения
  4. Вынесение множителя из-под знака корня
  5. Внесение множителя под знак корня
  6. Разложение подкоренного выражения на множители
  7. Домашнее задание
  
  

• 3 слайд

  Вычислите:
  81
  

• 4 слайд

  Проверь себя:
  81
  = 4
  = 1 8
  = 81 25 = 9 5 =1 4 5
  = 12
  = 0,9
  = 21
  = 2,4
  = 9 = 3
  

• 5 слайд

  Свойства корней.
  Квадратный корень из степени
  Для любого числа a справедливо равенство: 𝒂 𝟐 = 𝒂
  Примеры 1. Вычислить:
  а) 7 2 =7;
  б) −7 2 =7;
  в) 3 6 = 3 3 =27;
  г) −5 6 = −5 3 =125
  д) 24 −5 2 = 24 −5 =5− 24
  (т.к. 24 < 25 , то 24 <5)
  Пример 2. Сравнить числа:
  а) 9 и 80 ; 9 = 9 2 = 81 .
  Так как 81>80, то 81 > 80 ,
  то 9 > 80 .
  б) 3,3 и 11 ; 3,3 = 3,3 2 = 10,89 .
  Так как 10,89 < 11, то 10,89 < 11 ,
  то 3,3 < 11
  Пример 3. Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: а) 39 ; б) 160.
  а) 36 < 39 < 49 б) 144 < 160 < 169
  (слева и справа от иррационального числа подобрали числа, корень из которых извлекается)
  6 < 39 <7 12 < 160 <13
  

• 6 слайд

  Свойства корней.
  Квадратный корень из произведения
  Если a ≥ 0, b ≥ 0, то 𝒂∙𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃
  Пример 1.
  а) 2304 = 36∙64 = 36 ∙ 64 =6∙8 = 48
  б) 625∙9∙36 = 625 ∙ 9 ∙ 36 =25∙3∙6 = 450
  в) −5 6 ∙ 0,1 2 = −5 6 ∙ 0,1 2 = 5 3 ∙0,1=125∙0,1=12,5
  Пример 2.
  а) 3 ∙ 12 = 3∙12 = 36 =6; б) 2 ∙ 32 = 2∙32 = 64 =8;
  в) 1 2 ∙ 2 3 ∙ 3 = 1 2 ∙ 2 3 ∙3 = 1 =1
  Число 𝒂𝒃 называют средним геометрическим положительных чисел a и b.
  Пример. Найти среднее геометрическое чисел 8 и 50.
  8∙50 = 400 =20
  Ответ. 20
  
  
  

• 7 слайд

  Вынесение множителя из-под знака корня
  Если дано выражение
  𝑎 2 𝑏 , где 𝑎≥0 и 𝑏≥0,
  то по теореме о корне из произведения можно записать:
  𝒂 𝟐 𝒃 = 𝒂 𝟐 ∙ 𝒃 =𝒂 𝒃
  ПРИМЕРЫ.
  1. Вынести множитель из-под знака корня:
  а) 25𝑥 =5 𝑥 ;
  б) 3 𝑥 4 = 3 ∙ 𝑥 4 =𝑥 2 3 ;
  в) 75 𝑥 3 = 25∙3∙ 𝑥 2 ∙𝑥 = 25 ∙ 𝑥 2 ∙ 3𝑥 =5𝑥 3𝑥 .
  2. Упростить выражение:
  3 48 − 75 + 1 7 147 = 3 3∙16 − 3∙25 + 1 7 3∙49 =3∙4 3 −5 3 + 1 7 ∙7 3 =12 3 −5 3 + 3 =8 3
  
  

• 8 слайд

  Вынесите множитель из-под знака корня:
  20
  50
  = 4∙7 =2 7
  = 16∙10 =4 10
  = 3 2 5 =9 5
  = 4∙5 =2 5
  = 2∙25 =5 2
  

• 9 слайд

  Внесение множителя под знак корня
  Если дано выражение
  𝑎 𝑏 , где 𝑎≥0 и 𝑏≥0,
  то можно выполнить преобразование вида:
  𝒂 𝒃 = 𝒂 𝟐 𝒃
  ПРИМЕРЫ.
  1. Внести множитель под знак корня:
  а) 2 2 = 2 2 ∙2 = 8 ;
  б) 𝑎 2 = 𝑎 2 ∙2 = 2 𝑎 2 ;
  в) 10 0,05 = 100∙0,05 = 5 .
  2. Сравнить числа: 2 3 и 3 2 2 3 и 3 2
  Внесем множитель под знак корня: 4∙3 9∙2
  Получаем: 12 18
  
  <
  <
  <
  

• 10 слайд

  Внесите множитель под знак корня:
  = 6 2 ∙2 = 36∙2 = 72
  = 5 2 ∙6 = 25∙6 = 150
  =− 3 2 ∙2 =− 9∙2 =− 18
  = 1 2 2 ∙8𝑥 = 1 4 ∙8𝑥 = 2𝑥
  

• 11 слайд

  Разложение подкоренного выражения на множители
  Вычислить: 3136 Разложим на множители:
  3136 = 2 6 ∙49 = 2 6 ∙ 49 = 2 3 ∙7=8∙7=56
  _3136
  2
  _1568
  3136
  2
  1568
  _784
  2
  0
  0
  _392
  784
  0
  2
  392
  _196
  0
  2
  196
  0
  _98
  98
  2
  49
  0
  

• 12 слайд

  Спасибо за внимание!
  Теперь письменно в своей
  тетради выполните
  домашнее задание
  
  

• 13 слайд

  Домашнее задание:
  1. Вычислить: а) 𝟕 𝟐 +𝟐∙ 𝟒 𝟐 ; б) −𝟑 𝟐 ;
  в) −𝟓 𝟔 ; г) 𝟓 −𝟑 𝟐 .
  2. Сравнить числа: а) 𝟏𝟎 и 4; б) 5,1 и 𝟐𝟔 ;
  в) 6,32 и 6,(3); г) 4,2 и 𝟏𝟖.
  3. Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число 𝟓𝟑 : ………. < 𝟓𝟑 < ……....
  4. Вычислить с помощью разложения подкоренного
  выражения на множители: а) 𝟔𝟎𝟖𝟒 ; б) 𝟐𝟗𝟏𝟔 ; в) 𝟓𝟏𝟖𝟒 .
  5. Вычислить: а) 𝟖 ∙ 𝟏𝟖 ; б) 𝟑𝟐∙𝟖 ; в) 𝟎,𝟓 ∙ 𝟑𝟐 ∙ 𝟎,𝟎𝟏
  6. Вынести множитель из-под знака корня:
  а) 𝟕𝟐 ; б) 𝟐𝟎𝟎 𝒃 𝟓 ; в) 𝟏𝟗𝟐 𝒄 𝟑 𝒎 𝟐 .
  7. Внести множитель под знак корня:
  а) 𝟓 𝟑 ; б) 𝒂 𝟑𝒂 ; в) 𝟔𝒂 𝟐𝒂 .
  
  
  
  

• 14 слайд

  часть 2:
  Повторение
  Решение упражнений
  Квадратный корень из дроби
  Избавление от иррациональности в знаменателе дроби
  Домашнее задание
  
  

• 15 слайд

  Квадратный корень из степени: 𝒂 𝟐 = 𝒂
  Квадратный корень из произведения:
  𝒂∙𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃
  Число 𝒂𝒃 называют средним геометрическим положительных чисел a и b.
  Вынесение множителя из-под знака корня:
  𝒂 𝟐 𝒃 = 𝒂 𝟐 ∙ 𝒃 =𝒂 𝒃
  Внесение множителя под знак корня:
  𝒂 𝒃 = 𝒂 𝟐 𝒃
  
  
  Свойства арифметических
  квадратных корней
  

• 16 слайд

  Вычислить:
  а) 𝟖 𝟐 −𝟑∙ 𝟒 𝟐 = 𝟔𝟒−𝟑∙𝟏𝟔 = 𝟔𝟒−𝟒𝟖 = 𝟏𝟔 =𝟒
  б) −𝟕 𝟐 = 𝟕
  в) −𝟑 𝟔 = −𝟑 𝟑 𝟐 = −𝟑 𝟑 =𝟐𝟕
  г) 𝟑 −𝟐 𝟐 = 𝟑 −𝟐 =𝟐− 𝟑
  2. Сравнить числа:
  а) 𝟏𝟑 и 3,5; б) 4,1 и 𝟏𝟕 ; в) 5,77 и 5,(7)
  𝟏𝟑 3,5
  𝟏𝟑 (𝟑,𝟓) 𝟐
  𝟏𝟑 𝟏𝟐,𝟐𝟓
  >
  >
  >
  4,1 𝟏𝟕
  𝟏𝟔,𝟖𝟏 𝟏𝟕
  𝟒,𝟏 𝟐 𝟏𝟕
  <
  <
  <
  5,77 5,(7)
  5,77 5,7777…
  <
  <
  

• 17 слайд

  3. Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число 𝟐𝟏 ; 𝟏𝟑𝟏
  ……. < 𝟏𝟑𝟏 < …....
  ……. < 𝟐𝟏 <…....
  𝟏𝟔 < 𝟐𝟏 < 𝟐𝟓
  4 < 𝟐𝟏 < 5
  𝟏𝟐𝟏 < 𝟏𝟑𝟏 < 𝟏𝟒𝟒
  11 < 𝟏𝟑𝟏 < 12
  

• 18 слайд

  4. Вычислить с помощью разложения подкоренного
  выражения на множители: а) 𝟑𝟏𝟑𝟔 ; б) 𝟕𝟕𝟒𝟒 ; в) 𝟗𝟖𝟎𝟏
  = 2 6 ∙49 = 2 6 ∙ 49 = 2 3 ∙7=8∙7=56
  3136
  2
  _1568
  1568
  2
  2
  2
  2
  2
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  _784
  392
  _392
  784
  _196
  196
  _98
  98
  49
  _3136
  𝟑𝟏𝟑𝟔
  Выполните самостоятельно
  

• 19 слайд

  5. Вычислить:
  а) 𝟑𝟔∙𝟔𝟒 =
  
  б) 𝟔 ∙ 𝟖 ∙ 𝟐𝟕 =
  
  
  в) 𝟎,𝟏 ∙ 𝟏𝟏 ∙ 𝟒𝟒𝟎 =
  
  
  г) 𝟓 𝟒 ∙ 𝟐 𝟔 =
  
  36 ∙ 64 =6∙8=48
  2∙3∙2∙4∙3∙9 =2∙3∙2∙3=36
  0,1∙11∙4∙11∙10 =11∙2=22
  (5 2 ) 2 ∙( 2 3 ) 2 = 5 2 ∙ 2 3 =25∙8=200
  

• 20 слайд

  д) 𝟖 + 𝟐 𝟐 =
  
  
  
  
  
  е) 𝟕 + 𝟔 𝟕 − 𝟔 =
  𝑎±𝑏 2 = 𝑎 2 ±2𝑎𝑏+ 𝑏 2
  𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2
  8 2 +2 8 2 + 2 2 ==8+2 8∙2 +2=10+2 16 ==10+2∙4=18
  7 2 − 6 2 =7−6=1
  Вычислите самостоятельно:
  1) 𝟑 − 𝟓 𝟐 =
  
  2) 𝟐 + 𝟓 𝟓 − 𝟐 =
  

• 21 слайд

  6. Вынести множитель из-под знака корня:
  а) 𝟑𝟐 =
  
  б) 𝟏𝟎𝟎 𝒃 𝟓 =
  
  в) 𝟏𝟐𝟖 𝒄 𝟐 𝒎 𝟑 =
  
  7. Внести множитель под знак корня:
  
  а) 4 𝟑 =
  
  
  б) 𝟓𝒂 𝟐𝒂 =
  𝒂 𝟐 𝒃 = 𝒂 𝟐 ∙ 𝒃 =𝒂 𝒃
  𝒂 𝒃 = 𝒂 𝟐 𝒃
  16∙2 =4 2
  10 𝑏 4 ∙𝑏 =10 𝑏 2 𝑏
  64∙2∙𝑐 2 ∙ 𝑚 2 ∙𝑚 =8𝑐𝑚 2𝑚
  4 2 ∙3 = 16∙3 = 48
  5 2 ∙ 𝑎 2 ∙2𝑎 = 25 𝑎 3 ∙2 = 50 𝑎 3
  

• 22 слайд

  8. Упростить выражение:
  1). 3 20 − 5 =
  
  
  
  2). 3 48 − 75 + 1 7 147 =
  
  = 3 4∙5 − 5 =3∙2 5 − 5 =5 5
  =3 16∙3 − 25∙3 + 1 7 3∙49 ==3∙4 3 −5 3 + 1 7 ∙7 3 =8 3
  

• 23 слайд

  9. Сравнить:
  а) 2 40 4 10 ; б) 2 45 4 20
  2 2 ∙40
  4 2 ∙10
  160
  160
  =
  =
  =
  <
  2 9∙5
  4 4∙5
  2∙3 5
  4∙2 5
  6 5
  8 5
  <
  <
  <
  

• 24 слайд

  Свойства корней.
  Квадратный корень из дроби
  Если a ≥ 0, b > 0, то 𝒂 𝒃 = 𝒂 𝒃
  Примеры.
  𝟒𝟗 𝟔𝟐𝟓 = 𝟒𝟗 𝟔𝟐𝟓 = 𝟕 𝟐𝟓 ;
  32 2 = 32 2 = 16 =4;
  45 5 = 45 5 = 9 =3
  

• 25 слайд

  Примеры.
  𝟑 𝟓 = 𝟑∙ 𝟓 𝟓 ∙ 𝟓 = 3 5 5 ;
  𝟏 𝟐− 𝟑 = 𝟏∙ 𝟐+ 𝟑 𝟐− 𝟑 ∙ 𝟐+ 𝟑 = 𝟐+ 𝟑 𝟐 𝟐 − ( 𝟑) 𝟐 = 𝟐+ 𝟑 𝟒−𝟑 = 𝟐+ 𝟑 𝟏 = =𝟐+ 𝟑
  Избавление от иррациональности в знаменателе:
  𝒂 𝒃 = 𝒂∙ 𝒃 𝒃 ∙ 𝒃 = 𝒂∙ 𝒃 𝒃
  
  𝒂 𝒃 − 𝒄 = 𝒂∙( 𝒃 + 𝒄 ) ( 𝒃 − 𝒄 )∙( 𝒃 + 𝒄 ) = 𝒂∙( 𝒃 + 𝒄 ) 𝒃 −𝒄
  
  Числитель и знаменатель домножим на сопряженное к знаменателю!
  Числитель и знаменатель домножим на 𝒃 !
  

• 26 слайд

  Вычислить:
  
  
  
  
  
  
  
  
  1. 25 64 + 49 144 =
  
  2. 4 40 10 =
  
  Исключить иррациональность:
  
  4 7 − 3 =
  
  
  2. 5 − 7 5 + 7 =
  5 8 + 7 12 = 15+14 24 = 29 24 =1 5 24
  4∙ 40 10 =4∙ 4 =8
  4 7 + 3 7 − 3 7 + 3 = 4 7 + 3 7−3 = 4 7 + 3 4 = = 7 + 3
  5 − 7 5 − 7 5 + 7 5 − 7 = 5 2 −2 5 7 + 7 2 5−7 = 25−2 35 +49 −2 = = 74−2 35 −2 = 35 −37
  

• 27 слайд

  Спасибо за внимание!
  Теперь письменно в своей
  тетради выполните
  домашнее задание
  
  

• 28 слайд

  Домашнее задание
  1. Выполните задания на слайдах 18, 20
  2. Вычислите:
  
  а) 9 16 ∙ 5 2 + 5 4 9 ∙11 14 25
  
  б) 20 18 5 2 + 2 63 28
  
  3. Исключите иррациональность из знаменателя:
  
  а) 5 7
  
  в) 2 +1 2 −1
  б) 1 2+ 3
  
  г) 𝑎 −7 𝑎+2 −3