Презентация по сопротивлению материалов. Виды деформации

• 1 слайд

  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  МЕХАНИКА
  

• 2 слайд

  МЕХАНИКА
  Сопротивление материалов
  Простейшие виды деформации
  Механические испытания конструкционных материалов
  Геометрические характеристики плоских сечений
  Чистый сдвиг. Кручение
  Изгиб
  Растяжение и сжатие
  

• 3 слайд

• 4 слайд

  План:
  Внутренние усилия при растяжении-сжатии
  Напряжения при растяжении-сжатии
  Деформации при растяжении-сжатии
  Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  Растяжение и сжатие
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  

• 5 слайд

  Внутренние усилия при растяжении- сжатии
  При растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – продольная сила N.
  Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения (в сторону внешней нормали), и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлено к сечению.
  Правило знаков продольных сил N:
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Растяжение и сжатие
  

• 6 слайд

  В соответствии с методом сечений величина и направление продольной силы может быть найдены из
  уравнения равновесия в проекции на ось, совпадающую с осью стержня, составленного для оставленной части:
  F2
  a
  b
  c
  F1
  Пусть прямолинейный брус нагружен продольными
  силами F1=250 Н ,F2=100 Н.
  Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).
  2. Число участков - 3
  z1
  I
  I
  z2
  II
  II
  z3
  III
  III
  3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее изменения: 0  z1  a.
  4. Отбросим левую часть, заменим ее действие продольной силой NI-I
  и составим уравнение равновесия в проекции на ось z :
  F2
  F1
  F2
  NIII-III
  Из уравнения равновесия получаем выражение для продольной силы на участке 1 :
  Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  NI-I
  NII-II
  NIII-III
  Растяжение и сжатие
  

• 7 слайд

  F2
  a
  b
  c
  F1
  z1
  I
  I
  z2
  II
  II
  z3
  III
  III
  Откладывая на каждом из участков значения продольной силы в некотором выбранном масштабе получаем
  эпюру N:
  Полученные выражения показывают, что продольная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось бруса сил, взятых по одну сторону от сечения!
  Используя полученные выражения для продольной силы построим эпюру продольных сил.
  При построении эпюры N, положительные значения обычно откладываются вверх от базисной линии или вправо, если она вертикальна.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Растяжение и сжатие
  Обратите внимание, что скачки на эпюре N располагаются в точках приложения внешних сосредоточенных сил и равны величинам этих сил.
  Соответственно скачок на левом конце эпюры дает величину опорной реакции.
  Знак слагаемых положителен, если рассматриваемая сила направлена от сечения, т.е. будучи приложена к сечению вызывает растяжение части бруса по другую сторону
  от сечения.
  

• 8 слайд

  РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
  Напряжения при растяжении-сжатии
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 9 слайд

  РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
  Деформации при растяжении-сжатии
  абсолютное удлинение
  относительное удлинение
  абсолютная поперечная деформация
  относительная поперечная деформация
  коэффициент Пуассона:
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 10 слайд

  РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
  Модуль продольной упругости Е
  для различных материалов
  Коэффициент Пуассона μ
  для различных материалов
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 11 слайд

  РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
  Деформации при растяжении-сжатии
  закон Гука:
   = Е · ,
  
  где:
  абсолютное удлинение стержня
  (Е·А) - жесткость сечения стержня
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 12 слайд

  РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
  Условие прочности стержня
  max = Nmax/A ≤ []
  Условие жесткости стержня
  l ≤ [l]
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 13 слайд

  Разновидности расчётов
  элементов конструкций и конструкций
  

• 14 слайд

  Пример проектного расчёта по условию прочности
  (система статически определима)
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 15 слайд

  ЛЕКЦИЯ
  План:
  Диаграммы растяжения
  Пластическое и хрупкое разрушение материала
  Испытание на сжатие
  Испытание на твердость
  Ползучесть, релаксация и длительная прочность материала
  Допускаемые напряжения. Коэффициент запаса прочности
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Механические испытания конструкционных материалов
  

• 16 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Образец для испытаний на растяжение
  ИСПЫТАНИЕ НА РАСТЯЖЕНИЕ
  До испытаний
  После испытаний
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 17 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Диаграмма растяжения
  пластичных материалов
  σпц – предел пропорциональности
  Е - модуль продольной упругости
  (модуль Юнга)
  т - предел текучести
  в - предел прочности
  (временное сопротивление)
  у - предел упругости
  δ - относительное удлинение
  
  при разрыве
  

• 18 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Диаграмма растяжения
  без площадки текучести
  0,2 - условный предел текучести
  НАКЛЕП - явление повышения предела пропорциональности и снижения пластичности материала при повторных нагружениях
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 19 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Разрушение материала
  пластическое
  δ > 10%
  хрупкое
  δ = 1 - 5%
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 20 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Испытания на сжатие
  пластичный материал
  хрупкий материал
  Образец – цилиндр h < 3d
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 21 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Испытание на твердость
  Твердость - способность материала оказывать сопротивление механическому внедрению в него другого более твердого тела (индентора).
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 22 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  ПОЛЗУЧЕСТЬ МАТЕРИАЛА - изменение деформаций и напряжений, возникающих в нагруженной конструкции с течением времени в условиях не изменяющейся нагрузки
  Последействие - рост пластических деформаций материала при постоянном напряжении.
  
  Предел длительной прочности -
  Релаксация напряжений - процесс уменьшения напряжений при постоянной величине деформации материала.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 23 слайд

  МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
  Допускаемые напряжения.
  []=np / n
  
  пр - предельные
  напряжения
  n – коэффициент
  запаса прочности
  Для хрупких материалов: (пр = в),
  Для пластичных материалов: (пр = т)
  для пластичных материалов n = 2...4,
  для хрупких материалов n = 4...6.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 24 слайд

  ЛЕКЦИЯ
  План:
  Статический момент сечения
  Моменты инерции
  Моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей
  Главные оси и главные моменты инерции
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Геометрические характеристики плоских сечений
  

• 25 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Влияние площади поперечного сечения,
  формы сечения и расположения сечения относительно приложенных нагрузок
  на прочность и жесткость конструкции определяется «геометрическими характеристиками плоских сечений»
  2А
  А
  А
  А
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 26 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Статический момент сечения
  = yc · A,
  Sxc= 0,
  Syc = 0
  Центральные оси - оси, проходящие через центр тяжести сечения
  ус
  хс
  с
  = xc · A,
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Статический момент относительно оси симметрии равен нулю
  

• 27 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Моменты инерции сечения
  Полярный момент
  инерции
  
  Осевой момент
  инерции
  
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 28 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Моменты инерции сечения
  Единица измерения
  моментов инерции сечения – м4
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Центробежный момент инерции
  

• 29 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Главные оси и главные моменты инерции
  Главные центральные оси - это главные оси проходящие через центр тяжести сечения
  Главные оси сечения - это оси u и v, относительно которых
  центробежный момент инерции Iuν = 0, а осевые моменты инерции Іu и Iν имеют экстремальные значения max или min
  .
  
  Главные моменты инерции
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 30 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Моменты инерции простейших сечений.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Осевые моменты инерции прямоугольника
  Полярный момент инерции круга
  для кольца:
  

• 31 слайд

  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
  Моменты инерции простейших сечений.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  осевые моменты инерции круга и кольца
  

• 32 слайд

  ЛЕКЦИЯ
  План:
  Чистый сдвиг
  Кручение. Эпюры крутящих моментов
  Напряжения при кручении
  Деформации при кручении
  Расчёт вала на прочность и на жёсткость
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Чистый сдвиг. Кручение
  

• 33 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  ЧИСТЫЙ СДВИГ - напряженное состояние, при
  котором на гранях элемента конструкции возникают только
  касательные напряжения
  где  - угол сдвига;
   = G· ,
  G - модуль сдвига,
  для стали G = 8 ·104 МПа
  G = E / [2(1 + )]
  Для изотропных материалов :
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 34 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Деформации при кручении
  КРУЧЕНИЕ.
  

• 35 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Гипотезы при кручении
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  КРУЧЕНИЕ.
  

• 36 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  КРУЧЕНИЕ.
  Построение эпюр крутящих моментов
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  При кручении в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент Mz.
  В соответствии с методом сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия в моментах относительно оси, совпадающей с осью стержня, составленного для оставленной части:
  
  

• 37 слайд

  Правило знаков крутящих моментов:
  Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение
  по ходу часовой стрелки.
  Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил. Положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.
  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  КРУЧЕНИЕ.
  

• 38 слайд

  a
  b
  c
  M1
  M2
  z1
  I
  I
  z2
  II
  II
  z3
  III
  III
  M1
  M2
  MI-I
  MII-II
  M2
  MIII-III
  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Пусть прямолинейный брус нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами M1, M2:
  Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).
  2. Число участков - 3
  3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее изменения: 0  z1  a.
  4. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом MzI-I и составим уравнение равновесия
  в моментах относительно оси z :
  Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента на участке 1 :
  Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:
  3. Проведем сечение II-II на втором участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
  изменения: 0  z2  b.
  4. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом MzII-II и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси z :
  Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента на участке 2 :
  Аналогично получаем для участка 3 (0  z3  c):
  Полученные выражения показывают, что крутящий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно оси бруса, взятых по одну сторону от сечения!
  Знак слагаемых положителен, если рассматриваемый внешний крутящий момент вращает сечение по часовой стрелке при взгляде на сечение со стороны внешней нормали.
  Используя полученные выражения для крутящего момента построим эпюру крутящих моментов:
  Пусть M1=250 Нм, M2=100 Нм. Откладывая на каждом из участков значения крутящего момента
  в некотором выбранном масштабе получаем эпюру Mz.
  
  
  Обратите внимание, что скачки на эпюре Mz располагаются в точках приложения внешних
  сосредоточенных моментам и равны величинам этих моментов. Соответственно скачок на левом конце эпюры дает величину опорного момента.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  КРУЧЕНИЕ.
  

• 39 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Напряжения при кручении
  dQ ·ρ =  ·ρ dA
  dQ =  dA
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  р — расстояние от точки до центра круга.
  Напряжение в любой точке поперечного сечения
  

• 40 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Напряжения при кручении
  по закону Гука:  = G·
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Jp называется полярным моментом инерции сечения.
  Jр является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.
  

• 41 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Напряжения при кручении
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Максимальные напряжения при кручении
  

• 42 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Напряжения при кручении
  Для круглого сечения
  W= π d3/16 ≈ 0,2 d3
  Для сечения в виде кольца
  W= 0,2 D3(1- с4)
  d
  d
  D
  Эпюра распределения касательных напряжений при кручении
  Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
  
  

• 43 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Деформации при кручении
  GI - жесткость сечения вала при кручении
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  относительный угол закручивания -
  При кручении деформация оценивается углом закручивания
  Закон Гука имеет вид k = Gγ
  Подставим выражение для γ, получим
  Используем:
  откуда
  или
  Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала)
  

• 44 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Расчёт вала на прочность и жёсткость
  Условие прочности вала
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Существует три вида расчета на прочность:
  1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
  Откуда
  2.  Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
  3.  Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
  

• 45 слайд

  ЧИСТЫЙ СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
  Расчёт вала на прочность и жёсткость
  Условие жесткости вала
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  [ ] ≈ 1град/м = 0,02 рад/м - допускаемый относительный гол закручивания.
  Существует три вида расчета на жесткость:
  1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
  2.  Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
  3.  Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
  

• 46 слайд

  План:
  Общие сведения
  Внутренние силовые факторы при изгибе балки
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Изгиб
  МЕХАНИКА
  

• 47 слайд

  ИЗГИБ
  Вид деформации, при котором
  продольная ось бруса искривляется
  Чистый
  Поперечный
  Плоский
  Пространственный
  Прямой
  Косой
  балка
  силовая линия
  силовая плоскость
  - ИЗГИБ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 48 слайд

  ИЗГИБ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 49 слайд

  Шарнирно- неподвижная опора – ограничивает перемещение объекта как по нормали к опорной плоскости, так и по касательной (не препятствует повороту).
  
  Реакция неподвижного
  шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление.
  Реакцию неподвижного
  шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям.
  Жесткое защемление (жесткая заделка) – ограничивает как поступательные, так и вращательные движения (линейные и угловые перемещения) объекта. В случае плоской системы сил (плоская заделка) ограничиваются перемещения по осям x, у и поворот в плоскости x, у.
  A
  В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы RAx и RAy,
  а также реактивный момент (пара сил) MA .
  В случае пространственной системы сил возникают три реакции по направлению трех координатных осей и три реактивных момента (пар сил) относительно этих осей.
  Схематизация опорных устройств – упрощает реальные конструкции опорных устройств с сохранением функций ограничения перемещений.
  
  Типы опор:
  Шарнирно-подвижная (катковая) опора -ограничивает перемещение объекта по нормали к опорной плоскости (не препятствует повороту и перемещению
  по касательной к опорной плоскости).
  Реакция подвижного
  шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания.
  Основные типы опор и балок
  Стержни, работающие главным образом на изгиб, называются балками.
  Балки являются простейшими несущими конструкциями в мостах, промышленных и гражданских сооружениях. Балки опираются на другие конструкции или основание (стены, колонны, устои и др.).
  ИЗГИБ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 50 слайд

  Консоль – один конец жестко защемлен, второй свободен.
  
  Простая (двух опорная) – по обоим концам шарнирные опоры.
  
  Консольная (двух опорная) – простая балка с консольными частями.
  
  Составная балка – составленная из двух или более простых, консольных балок и консолей.
  B
  a
  l
  l
  C
  D
  E
  b
  b
  ИЗГИБ
  Основные типы балок
  Основные типы балок – различаются способом закрепления:
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 51 слайд

  Определение опорных реакций в балках – выполняется методами теоретической механики.
  Уравнения равновесия могут быть составлены в виде одной из трех форм:
  
  
  
  
  
  После вычисления всех реакций обязательно должна быть сделана проверка составлением такого уравнения равновесия, в котором бы присутствовали все или большинство из найденных реакций. Поскольку балки несут преимущественно вертикальную нагрузку, то в общем случае рекомендуется воспользоваться формой II и проверить вертикальные реакции составлением уравнения в проекциях на вертикальную ось.
  
  Помните, что неверно найденные реакции в любом случае приведут к неверным результатам при построении эпюр, определении напряжений и перемещений!
  ИЗГИБ
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 52 слайд

  При изгибе возникают в общем случае изгибающие моменты Mx, My и поперечные силы Qx , Qy.
  Если в поперечном сечении возникает только один изгибающий момент Mx, то такой изгиб называется чистым.
  В большинстве случаев дополнительно к изгибающему моменту возникает поперечная сила Qy, и такой изгиб называется поперечным.
  Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, то такой изгиб называется плоским.
  +
  -
  Mx
  Mx
  Mx
  Mx
  +
  -
  Qy
  Qy
  Qy
  Qy
  ИЗГИБ
  Правила знаков для изгибающего момента М – Изгибающий момент принимается положительным, если он изгибает элемент балки так, нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется выпуклостью вниз.
  
  Правила знаков для поперечной силы Q – Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  Внутренние силовые факторы
  

• 53 слайд

  Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
  
  
  Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
  Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
  Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и Мх по участкам.
  границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.
  ИЗГИБ
  Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил – принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил и крутящих моментов. Положительные значения поперечной силы Qy откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз. Положительные значения изгибающих моментов Mx откладываются вниз – со стороны растянутого волокна. Таким образом расположение ординат эпюры Mx указывают, какие волокна растянуты.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 54 слайд

  Пусть балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, сосредоточенной силой F=qa и крутящим моментом M=qa2:
  2a
  2a
  2a
  q
  F
  M
  1. Определяем опорные реакции:
  HA
  VA
  VB
  A
  B
  z
  y
  Из второго и третьего
  уравнений получаем:
  Выполняем контроль:
  VB = 1,75qa
  VA = 1,25qa
  2. Количество участков – 3.
  3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее изменения: 0  z1  2a.
  z1
  I
  I
  4. Отбросим правую часть, заменим ее действие поперечной силой QyI-I и изгибающим моментом MxI-и составим уравнения равновесия в проекциях и в моментах относительно оси x, проходящей через центр текущего сечения (т.е. относительно точки С) :
  y
  q
  VA
  A
  QyI-I
  MxI-I
  C
  Отсюда получаем:
  
  
  3. Проведем сечение II-II на втором участке и определим текущую координату сечения и пределы ее изменения: 0  z2  2a.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:
  z2
  II
  II
  4. Отбросим правую часть, заменим ее действие поперечной силой QyII-II и изгибающим моментом MxII-II и составим уравнения равновесия в проекциях и в моментах относительно оси x, проходящей через центр текущего сечения (т.е. относительно точки D) :
  QyII-II
  MxII-II
  D
  q
  VA
  A
  Отсюда получаем:
  Аналогично получаем для участка 3 (0  z3  2a):
  z3
  III
  III
  F
  QyIII-III
  MxIII-III
  E
  Полученные выражения показывают, что:
  поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось внешних сил, взятых по одну сторону от сечения,
  изгибающий момент - алгебраической сумме моментов относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения, внешних сил взятых по одну сторону от сечения!
  Знак слагаемых положителен, если рассматриваемый фактор, будучи приложен к поперечному сечению другой части, соответствует положительному направлению определяемого внутреннего усилия.
  Используя полученные выражения для поперечной силы и изгибающего момента построим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, подставляя значения реакций и координаты начала и конца участков. В случае квадратичного изменения величины (изгибающий момент на первом участке) дополнительно подставляется координата точки внутри интервала, например, посредине.
  Откладывая не каждом из участков значения поперечных сил и изгибающего момента
  в некотором выбранном масштабе получаем эпюры Qy и Mx:
  Свойства эпюр:
  1. Равномерно распределенная нагрузка на участке
  своего действия вызывает на эпюре Q наклонную
  прямую линию, падающую в сторону действия
  Нагрузки, а на эпюре M – параболу с выпуклостью
  в ту же сторону.
  2. Сосредоточенная сила вызывает на эпюре Q
  скачок в точке приложения силы в сторону
  действия силы,
  а на эпюре М – перелом в ту же сторону.
  Сосредоточенный момент не вызывает
  на эпюре Q в точке его приложения никаких
  особенностей,
  а на эпюре M вызывает скачок в ту же сторону.
  ИЗГИБ
  

• 55 слайд

• 56 слайд

  План:
  Напряжения при чистом изгибе
  Напряжения при плоском поперечном изгибе
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Изгиб
  

• 57 слайд

  ИЗГИБ
  Чистый изгиб
  Нейтральный слой - продольный слой волокон, который, искривляясь, не испытывает ни растяжения, ни сжатия
  Упругая линия - деформированная ось балки, которая, будучи частью нейтрального слоя, длину не меняет.
  Нейтральная линия (нейтральная ось) - линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 58 слайд

  ИЗГИБ
  Напряжения при чистом изгибе
  dz = ρ d.
  ε = y/ρ.
  σ =E·y /ρ.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 59 слайд

  ИЗГИБ
  Напряжения при чистом изгибе
  - осевой момент сопротивления сечения
  при изгибе
  где: Wx =
  Максимальное напряжение возникают в верхних и нижних волокнах балки:
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 60 слайд

  ИЗГИБ
  Напряжения при плоском поперечном изгибе
  Формулы
  нормальных напряжений для чистого изгиба
  применимы и для поперечного изгиба
  из-за малости сдвиговых деформаций:
  Касательные напряжения
  Возникновение
  касательных
  напряжений τ
  сопровождается появлением сдвиговых деформаций γ
  Нормальные напряжения
  

• 61 слайд

  План:
  Условие прочности при изгибе
  Перемещения при изгибе
  МЕХАНИКА
  СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
  ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИИ
  Изгиб
  

• 62 слайд

  ИЗГИБ
  УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ
  σ >> τ.
  Проверочный расчет: значение σmax , сравнивают с [σ] и делают вывод о прочности балки.
  Расчёт допускаемой нагрузки:
  при известных [σ] и Wx
  Проектный расчёт:
  
  
  
  при известных значениях М и
  допускаемого напряжения [σ]:
  
  b
  h
  d
  Wx= bh2/6
  Wx = πd 3/32 ≈ 0,1d 3
  Момент сопротивления сечения
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 63 слайд

  ИЗГИБ
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  Прогиб балки у - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.
  у>0 если перемещение происходит вверх.
  Угол поворота сечения  - угол, на который поворачивается сечение по отношению к своему первоначальному положению.
  
   >0 при повороте против хода часовой стрелки.
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 64 слайд

  ИЗГИБ
  
  Прогибы у и углы поворота 
  
  связаны между собой:
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  дифференциальное уравнение упругой линии
  Так как , то
  приближенное дифференциальное уравнение упругой линии
  М
  Е
  Х
  А
  Н
  И
  К
  А
  

• 65 слайд

  ИЗГИБ
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  С = ЕIx0
  D = ЕIxy0
  Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии:
  Интегрируя его получим
  для углов поворота:
  для прогибов:
  

• 66 слайд

  В общем виде УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Начальные параметры находят из условий закрепления балки.
  для консольной балки в заделке : y0 = 0, 0 = 0,
  для балки на шарнирных опорах в опорных точках: yA = 0, yB = 0.
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  
  
  для прогибов:
  для углов поворота :
  ИЗГИБ
  

• 67 слайд

  ИЗГИБ
  Метод Мора:
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  В точке с искомым перемещением конструкцию нагружают единичной силой, которая совершает работу на возможном (искомом) перемещении.
  .
  Порядок определения перемещений :
  Строят «вспомогательную систему» и нагружают ее единичной нагрузкой в точке с искомым перемещением .
  
  2. Для каждого участка системы записывают выражения изгибающих моментов от приложенной нагрузки Мf и от единичной нагрузки - М1.
  
  3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение :
  

• 68 слайд

  ИЗГИБ
  Правило Верещагина (графоаналитический способ)
  ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
  Af – площадь эпюры изгибающего
  момента Мf от заданной нагрузки;
  yc – ордината эпюры от единичной
  нагрузки под центром тяжести
  эпюры Мf ;
  EIx – жесткость сечения участка
  балки.
  Вычисления производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов.
  Сложная эпюра Мf разбивается на простые фигуры.
  Площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести