Презентация по теме урока "Нестандартные уравнения"

• 1 слайд

  11 класс
  Нестандартные уравнения.
  

• 2 слайд

  Когда мы встречаемся с нестандартной задачей, то все известные рекомендации и советы почему-то не помогают. И снова возникает вопрос: как же все-таки искать решение задачи?
  Один из первых организаторов математических олимпиад в нашей стране, известный математик, профессор Владимир Абрамович Тартаковский, отвечая на этот вечный вопрос, сравнивал поиск решения с задачей поймать мышь, прячущуюся в куче камней.
  - Есть два способа поймать мышь в куче камней, - рассказывал он. - Можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь. Тогда бросайтесь и ловите ее.
  

• 3 слайд

  Но можно и иначе. Надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-нибудь хвостик мыши. Как только заметите хвостик – хватайте и вытягивайте из кучи.
  Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.
  

• 4 слайд

  Методы решения нестандартных уравнений
  Метод монотонности
  

• 5 слайд

  Решение уравнений с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.
  Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке L, тогда уравнение f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке L.
  
  Пусть f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке L функции, f(x) – строго возрастает, а g(x) – строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)=g(x) может иметь не более одного решения на промежутке L.
  
  

• 6 слайд

  Задание №1.
  Решите уравнение
  𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟓=−𝟑 𝒙−𝟑 .
  Решение.
  Рассмотрим функции 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟓 и 𝒚=−𝟑 𝒙−𝟑 . Их общая область определения есть промежуток [3;+∞], на котором первая из них возрастает, а вторая убывает. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=4.
  

• 7 слайд

  Задание №2.
  Какие из перечисленных функций являются возрастающими на области определения?
  y=2 𝐱 +1;
  𝐲= 𝟏 𝐱+𝟐 ;
  𝐲= 𝟐𝐱+𝟔;
  𝐲= 𝟏 𝟓−𝟔𝐱 ;
  𝐲=− −𝐱 ;
  𝐲= 𝟐 𝟐𝐱+𝟏𝟐 ;
  y= 𝐱 3.
  
  

• 8 слайд

  Задание №3.
  Доказать, что функция 𝒚= 𝒙+𝟑 + 𝒙+𝟏 является возрастающей.
  Решение.
  Так как функция 𝒚= 𝒙+𝟑 и 𝒚= 𝒙+𝟏 возрастающие, а заданная функция является их суммой, она также является возрастающей.
  
  

• 9 слайд

  Задание №4.
  Доказать, что функция:
  𝒚= 𝒙+𝟐 − 𝒙+𝟏
  является убывающей.
  

• 10 слайд

  Решение. Данная функция представляет собой разность возрастающих функций, а такая разность может быть «какой угодно» - и возрастающей и убывающей, и не возрастающей и не убывающей. Поэтому утверждать что-либо на основании «общих соображений» невозможно. Здесь помогает искусственный прием: умножим и разделим выражение задающее функцию на сумму радикалов
  𝒙+𝟐 − 𝒙+𝟏 = 𝒙+𝟐 − 𝒙+𝟏 𝒙+𝟐 + 𝒙+𝟏 = 𝟏 𝒙+𝟐 + 𝒙+𝟏
  Так как функция в знаменателе возрастает и принимает только положительные значения, то данная функция убывающая.
  

• 11 слайд

  Задание №5.
  
  Решите уравнение:
  𝟐 𝟑𝒙−𝟏 + 𝟓 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟏𝟐𝟗 𝒙 .
  

• 12 слайд

  Решение.
  Функции, стоящие в обеих частях данного уравнения - возрастающие, так что единственность корня ни откуда не следует. Но, разделив обе части на 129х, получим уравнение
  𝟐 𝟑𝒙−𝟏 𝟏𝟐𝟗 𝒙 + 𝟓 𝟐𝒙+𝟏 𝟏𝟐𝟗 𝒙 =𝟏,
  𝟏 𝟐 ∙ 𝟖 𝒙 𝟏𝟐𝟗 𝒙 +𝟓∙ 𝟐 𝟓 𝒙 𝟏𝟐𝟗 𝒙 =𝟏,
  в котором левая часть является убывающей функцией, так что данное уравнение имеет единственное решение. Подбирать корень будем для исходного, более «красивого» уравнения, и найти его можно с первой же попытки.
  Ответ 1.
  

• 13 слайд

  Задание №6.
  Решить уравнение 𝟏𝟎𝒙−𝟏𝟐𝟗 𝟔𝟐 = 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝒙 .
  Решение.
  Мы рассматривали уравнения, левая часть которых является возрастающей функцией, а правая убывающей и при этом обе функции непрерывны. В этом случае уравнение имеет не более одного решения, и если мы сможем «угадать» это решение, то задача будет решена. При решении заданного уравнения 𝟏𝟎𝒙−𝟏𝟐𝟗 𝟔𝟐 = 𝟏 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝒙 заметим, что правая часть не существует при аргументе x=1. Т.е. область определения распадается на два интервала. На каждом из этих интервалов левая часть уравнения является возрастающей функцией, а правая- убывающей. Следовательно, корень уравнения может быть на каждом из этих интервалов. Несложно проверить, что искомыми корнями являются числа 0,5 и 16.
  

• 14 слайд

  Задание 7
  Найдите корень уравнения
  𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒙 𝟐𝒙+𝟖 =𝟏,𝟓+ 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟓 𝒙 .
  Решение.
  Правая часть является убывающей функцией в области определения x>0. В том, что левая часть в этой области возрастает, можно убедиться, заметив, что 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒙 𝟐𝒙+𝟖 =𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 − 𝟐𝝅 𝒙+𝟒 =𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 𝒙+𝟒 . Итак, в области определения левая часть является функцией убывающей, а правая - возрастающей. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения, которое можно подобрать. В данном случае это x=2.
  

• 15 слайд

  Задачи для самостоятельного решения.
  № 1. Решите уравнение
  𝟎,𝟐𝟓 𝟐−𝒙 = 𝟏𝟗−𝒙 .
  № 2. Решите уравнение ( 𝟐 𝟐 ) 𝒙+𝟏 = 𝟐+𝒙 .
  №3. Решите уравнение
  𝟒,𝟓 𝒙+𝟏 =− 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙+𝟐𝟒.
  №4. Решите уравнение
  𝟐,𝟓 𝟕−𝒙 =𝟐𝟏+ 𝟑𝒙+𝟏 .
  
   
  

• 16 слайд

  Задачи для самостоятельного решения.
  №5. Решите уравнение 𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒙 𝒙+𝟒 = 𝟐 𝟐𝒙−𝟓 .
  №6. Решите уравнение
  𝟏𝟕−𝟑𝒙 𝟕 = 𝟏 𝟎,𝟓+ 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟐𝟓 𝒙 .
  №7. Решите уравнение
  𝟐𝒙+𝟏 =𝟐𝟗−𝟐𝒙.
  №8. Решите уравнение 𝟐 𝟐𝒙−𝟏 = 𝒙 +𝟏
   
  

• 17 слайд

  Методы решения
  нестандартных уравнений.
  Метод ограниченности
  Метод монотонности
  

• 18 слайд

  При решении уравнений свойство ограниченности функции снизу или сверху на некотором множестве часто играет определяющую роль.
  Например, если для всех x из некоторого множества M справедливы неравенства f(x)>A и g(x)<A, где A некоторое число, то на множестве M уравнение f(x)=g(x) решений не имеет. Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.
  

• 19 слайд

  Пример 1.
  Решите уравнение
  

• 20 слайд

  Пример 1.
  Решите уравнение
  
  
  Решение.
  Преобразуем подкоренные выражения и увидим, что оценка правой и левой частей немедленно приводит к решению.
  
  Ответ: 3.
  

• 21 слайд

  
  «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик — кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорией. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии».
  
  Стефан Банах
  

• 22 слайд

  Спасибо за урок.