Презентация по высшей математике на тему "Теория пределов"

• 1 слайд

  Введение в теорию пределов
  

• 2 слайд

  Последовательность
  Опр. Числовой последовательностью
  называется функция , заданная на множестве N натуральных чисел.
  Кратко обозначается
  - общий или n- ый член последовательности
  Примеры:
  
  

• 3 слайд

  Предел последовательности
  Число называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Предел функции в точке
  Определение Коши (в терминах )
  Число А называется пределом функции
  в точке (при ), если для любого
  найдётся число , что для всех , удовлетворяющих неравенству ,
  выполняется неравенство
  
  

• 5 слайд

  Односторонние пределы
  Число называется пределом функции в точке слева, если для любого существует
  , что при выполняется неравенство
  
  Число называется пределом функции в точке справа, если для любого существует
  , что при выполняется неравенство
  
  
  

• 6 слайд

  Предел функции в бесконечности
  Число А называется пределом функции
  при , если для любого существует такое
  число М>0, что при всех , удовлетворяющих
  неравенству , выполняется неравенство
  
  

• 7 слайд

  Бесконечно большая функция
  Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа М>0 существует , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство
  

• 8 слайд

  Бесконечно малая функция
  (величина)
  Функция называется бесконечно малой
  при , если (б.м.величина)
  
  Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф:
  если - б.м.ф. ( ), то - б.б.ф,
  
  Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф.:
  если - б.б.ф. ( ) , то - б.м.ф
  
  
  
  

• 9 слайд

  Теоремы о бесконечно малых
  Пусть и - бесконечно малые функции ,
  – ограниченная функция. Тогда…
  1. Сумма (разность) б.м.ф. есть б.м.ф.:
  
  2. Произведение б.м.ф. есть б.м.ф.:
  3. Произведение б.м.ф. и ограниченной есть б.м.ф.
  
  4. Частное б.м.ф. и функции
  
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Основные теоремы о пределах
  Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
  
  
  Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
  
  
  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
  
  
  Функция может иметь только один предел при
  
  

• 12 слайд

  Основные теоремы о пределах
  Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:
  
  
  Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
  
  
  

• 13 слайд

  Признаки существования пределов
  Теорема о пределе промежуточной функции.
  Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу.
  
  
  
  Теорема о пределе монотонной функции.
  Если функция монотонная и ограниченная
  при, то существует соответственно её левый предел
  или её правый предел
  

• 14 слайд

  Замечательные пределы
  I ЗП (первый замечательный предел)
  
  
  
  I I ЗП (второй замечательный предел)
  
  или
  

• 15 слайд

  Эквивалентные бесконечно малые
  

• 16 слайд

  Применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов функций
  Т. При вычислении предела функции можно бесконечно малую функцию заменить на ей эквивалентную.
  
  

• 17 слайд

  Правило Лопиталя
  При раскрытии неопределённости вида
  предел отношений функций равен пределу отношений производных этих функций.
  

• 18 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Краткое описание документа:

•Опр. Числовой последовательностью Х1;Х2; Хn называется функция Хn = f(n), заданная на множестве N натуральных чисел.

•Число а называется пределом последовательности Хn, если для любого положительного числа е найдётся такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство модуль (Хn - а) меньше е.