Презентация "Решение задач дифференциального счисления в пакетах символьной математики"

• 1 слайд

  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СЧИСЛЕНИЯ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
  Выполнила: кокурина Н. с.
  студентка 5 курса,
  группы МДи-118
  
  

• 2 слайд

  Введение
  Система компьютерной алгебры mathematica, разработанная американской компанией wolfram research inc., является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет весьма эффективно выполнять как численные, так и символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Прикладной пакет mathematica позволяет находить решение дифференциального уравнения или системы уравнений, как в символьном, так и в численном виде. Есть возможность визуализации полученных результатов.
  

• 3 слайд

  Введение
  Многочисленные примеры показывают, что при объединении теории дифференциальных уравнений с возможностями пакета mathematica удается проинтегрировать даже такие уравнения, которые не решаются непосредственно с помощью встроенных функций.
  

• 4 слайд

  Дифференцирование
  Mathematica позволяет вычислять в символьной форме производные всех стандартных математических функций, а также производные спецфункций. В пакете также встроены функции для решения дифференциальных уравнений. Приведем их в следующей таблице:
  

• 5 слайд

  Дифференцирование
  

• 6 слайд

  Дифференцирование
  Для вычисления производной используется функция D, обращение к которой имеет вид: D[f,x], где f – функция от переменной x или алгебраическое выражение, содержащее переменную x:
  
  

• 7 слайд

  Дифференцирование
  При вычислении производной некоторой функции f(x) нужно обязательно указывать ее аргумент, в противном случае результат получится неверный:
  
  
  
  
  
  
  Поскольку функция f(x) неизвестна, Mathematica записывает производную в символьной форме.
  
  

• 8 слайд

  Дифференцирование
  При вычислении n-й производной функция D вызывается в следующей форме: D[f[x],{x,n}]:
  
  

• 9 слайд

  Дифференцирование
  Формат обращения к функции D при вычислении смешанной производной имеет вид: D[f[x,y,z], {x,n1},{y,n2},{z,n3}], где n1, n2, n3 – порядки производных по переменным x, y, z соответственно:
  

• 10 слайд

  Дифференцирование
  Альтернативным вариантом вычисления производной является запись ее в символьной форме f’[x], f’’[x] и так далее. Для частной производной ∂xf[x,y] –
  
  

• 11 слайд

  Дифференцирование
  Выражение Dt[f] обозначает полный дифференциал от функции f. Так функция Dt[f,x] вычисляет полную производную функции f по переменной x:
  
  
  
  
  
  Здесь функция y не известна, и ее производная Dt[y,x] не вычисляется.
  
  

• 12 слайд

  Дифференцирование
  Если в определении функции содержатся константы и требуется учесть равенство их производных нулю, то вводится соответствующая опция:
  

• 13 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в пакете Mathematica используется функция Dsolve, формат обращения к которой имеет вид: Dsolve[□==□, y[x],x], где □==□ – дифференциальное уравнение относительно функции y(x). Функция y и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y’[x].
  
  

• 14 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Функция Dsolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Для ДУ порядка n общее решение содержит n произвольных констант, которые обозначаются C[1], c[2],…,c[n].
  
  

• 15 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента Dsolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий:
  
  

• 16 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Найденные с помощью Dsolve решения можно подставить в любое выражение, содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:
  
  

• 17 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции Dsolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент. В этом случае решение представляется в виде чистой функции («purefunction»-объекта), в котором роль аргумента x, в некоторых случаях, играет символ «#1», а признаком этого объекта является символ «&». полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию y(x), так и ее производные:
  

• 18 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента функции указывается список уравнений, а в качестве второго аргумента – список искомых функций:
  
  

• 19 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Если в список уравнений включить необходимое количество начальных или граничных условий, то будет найдено частное решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:
  

• 20 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Для некоторых уравнений решение может быть выражено через спецфункции, встроенные в пакет mathematica. Если же Dsolve не может найти аналитического решения ДУ, то mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:
  
  

• 21 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Для получения численного решения дифференциального уравнения используется функция NDsolve, которая вызывается по крайней мере с тремя аргументами: NDsolve[{□==□, begindata}, y,{x,xmin,xmax}], где □==□ – дифференциальное уравнение относительно функции y, аргумент которой x изменяется в пределах отрезка [xmin,xmax].
  
  Обычнопри
  выводе
  результатавычислений указывается только диапазонопределения интерполяционной функции, а таблица данных
  изображается символом в виде «<>».
  

• 22 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  При использовании NDsolve искомая функция y[x] находится в виде interpolatingfunction[{{xmin, xmax}}, <таблица данных>] – объекта, который представляет собой таблицу значений функции y(xi) в различных точках из отрезка [xmin, xmax] и позволяет найти значение функции в любой точке этого отрезка путем интерполяции табличных данных. При этом предполагается, что в промежутках между заданными точками функция является достаточно гладкой:
  

• 23 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  Построим график полученного выше решения:
  

• 24 слайд

  Решение простейших дифференциальных уравнений
  В случае решения системы дифференциальных уравнений в качестве первого аргумента используется список уравнений системы и начальные условия, а вторым аргументом является список искомых функций: NDsolve[{□==□,□==□,…,begindata}, {y1,y2,…},{x,xmin,xmax}]:
  
  

• 25 слайд

  Заключение
  Многие прикладные задачи сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или их систем. Для некоторых уравнений и систем имеются формулы «точного» решения, и пакет Mathematica умеет их находить. В тех задачах, для которых символьное решение построить не удается, Mathematica может находить численное решение. В решениях она использует богатый набор специальных функций и свои интерполяционные функции, представляя решение в форме, в которой они могут быть непосредственно использованы.