• 

  1 слайд

  Квадратные уравнения:
  методы решения.
  2010 г.
  

• 

  2 слайд

  «Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
  С. Коваль.
  

• 

  3 слайд

  ПЛАН УРОКА
  1. Теоретическая разминка.
  2. Энциклопедия квадратных уравнений.
  3. Думающий колпак.
  4. Историческая справка.
  5. Копилка ценных мыслей.
  6. Домашнее задание.
  
  

• 

  4 слайд

  Сформулируйте определение квадратного уравнения.
  2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
  3. Перечислите виды квадратных уравнений.
  4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
  5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
  6. Способы решения полного квадратного уравнения?
  Вопросы
  теоретической разминки:
  подробнее
  подробнее
  

• 

  5 слайд

  Специальные методы:
  1. Метод выделения квадрата двучлена.
  2. Метод «переброски» старшего коэффициента.
  3. На основании теорем.
  

• 

  6 слайд

  ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК
  
  Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей.
  
  
  
  УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ
  
  • Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно.
  • Упражнение повторяют трижды или более раз.
  
  
  

• 

  7 слайд

• 

  8 слайд

  
  .
  
  
  
  
  
  Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ
  - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
  Кристиан Вольф.
  Кристиан Вольф -
  

• 

  9 слайд

  – английский математик, который ввёл термин «дискриминант».
  Сильвестр Джеймс Джозеф
  

• 

  10 слайд

  В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик –
  Это было настоящее событие в математике.
  Михаэль Штифель.
  

• 

  11 слайд

  Домашнее задание
  
  
  
  Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:
  
  используя формулу дискриминанта – «3»,
  двумя способами – «4»,
  тремя способами – «5».
  
  Дополнительно.
  Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.
  
  
  

• 

  12 слайд

  Энциклопедия
  квадратного уравнения
  подробнее
  

• 

  13 слайд

  РЕШЕНИЕ
  НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  в=0
  ах2+с=0
  с=0
  ах2+вх=0
  в,с=0
  ах2=0
  подробнее
  подробнее
  подробнее
  

• 

  14 слайд

  Алгоритм решения
  1.Переносим с в правую часть уравнения.
  ах2 = -с.
  2.Делим обе части уравнения на а≠0.
  х2= .
  3.Если >0 - два решения:
  х1 = и х2 = -
  
  Если <0 - нет решений.
  в=0
  ах2+с=0
  

• 

  15 слайд

  Выносим x за скобки:
  х (ах + в) = 0.
  2. «Разбиваем» уравнение
  на два:
  x = 0, ах + в = 0.
  3. Два решения:
  х = 0 и х = (а≠0).
  Алгоритм решения
  с=0
  ах2+вх=0
  

• 

  16 слайд

  1. Делим обе части уравнения на а≠0.
  х2 = 0
  2. Одно решение: х = 0.
  
  Алгоритм решения
  Подведём итог!
  в,с=0
  ах2=0
  

• 

  17 слайд

  Неполные квадратные уравнения:
  
  
  

• 

  18 слайд

  D < 0
  
  
  D = 0
  
  D > 0
  Корней нет
  

• 

  19 слайд

  b = 2k (чётное число)
  

• 

  20 слайд

  Теорема Виета
  
  x1 и х2 – корни уравнения
  
  x1 и х2 – корни уравнения
  

• 

  21 слайд

  
  Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
  
  
  Пример: х2 - 6х + 5 = 0.
  
  Метод выделения квадрата двучлена.
  
  подробнее
  

• 

  22 слайд

  Корни квадратных уравнений
  и
  связаны соотношениями
  и
  
  Пример:
  Метод «переброски» старшего коэффициента.
  подробнее
  2х2 - 9х – 5 = 0.
  

• 

  23 слайд

  На основании теорем:
  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
  второй по теореме Виета равен
  Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
  а второй по теореме Виета равен
  Примеры:
  подробнее
  200х2 + 210х + 10 = 0.
  

• 

  24 слайд

  Метод выделения квадрата двучлена.
  
  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
  (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
  Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.
  
  х2 - 6х + 5 = 0.
  (х -3)2 – 4 = 0.
  (х -3)2 = 4.
  х – 3 = 2; х – 3 = -2.
  х = 5, х =1.
  
  Ответ: 5; 1.
  

• 

  25 слайд

  Метод “переброски” старшего коэффициента
  
  ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0
  
  
  связаны соотношениями:
  Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.
  
  у2 - 9у - 10 = 0.
  D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,
  далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.
  
  
  Ответ: 5; -0,5.
  

• 

  26 слайд

  Теорема 1. Если в квадратном уравнении
  a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
  Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
  137х2 + 20х – 157 = 0.
  a = 137, b = 20, c = -157.
  a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
  
  x1 = 1,
  
  Ответ: 1; .
  
  
  .
  

• 

  27 слайд

  Теорема 2. Если в квадратном уравнении
  a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен
  Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
  200х2 + 210х + 10 = 0.
  a = 200, b = 210, c = 10.
  a + c = 200 + 10 = 210 = b.
  
  х1 = -1, х2 = -
  Ответ: -1; -0,05
  

• 

  28 слайд

  Метод разложения на множители.
  Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
  4х2 + 5х + 1 = 0.
  4х2 + 4х + х + 1 = 0.
  4х(х+1) + (х+1) = 0.
  4х(х + 1) = 0.
  Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
  4х = 0, х + 1 = 0.
  х = 0, х = -1.
  Ответ: 0; -1.
  

• 

  29 слайд

  3. в=0
  ах2+с=0
  2. с=0
  ах2+вх=0
  1. в,с=0
  ах2=0
  4. b - нечётное
  ах2+bx+с=0
  
  5. b - чётное
  ах2+bx+с=0
  
  6. Теорема Виета.
  7. Метод выделения квадрата двучлена.
  8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
  9. Т1 или Т2.
  10. Метод разложения на множители.
  11. Метод введения новой переменной.
  
  

• 

  30 слайд

• 

  31 слайд

  Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
  

Краткое описание материала