Применение производной к решению уравнений (11 класс)

Отдел образования Мозырского районного исполнительного комитета
ГУО «Средняя школа №15 г.Мозыря имени генерала Бородунова Е.С.»

План-конспект урока

по алгебре для 11 класса по теме
«Применение производной к решению уравнений»

Выполнил:

Степанеев Николай Владимирович,

учитель математики и информатики,

ГУО «Средняя школа №15 г.Мозыря имени генерала Бородунова Е.С.»

Мозырь, 2019

Цель урока:

         Образовательная:  Сформировать навыки решения уравнений f(x)=0, исследуя функцию f(x) с помощью производной и научить применять полученные знания при решении задач практической направленности.

         Воспитательная: Воспитывать интерес к математике, дисциплинированность,  самостоятельность, творческую активность.

         Развивающая: Способствовать развитию математического мышления, письменной речи, создать условия для стимулирования познавательной активности.

План урока:

1) Организационный момент

2) Актуализация знаний

3) Объяснение нового материала

4) Закрепление изученного материала

5) Домашнее задание

6) Итоги урока

Действие учителя	Действие ученика
1. Обратить внимание на готовность класса к проведению урока. Поздороваться и представиться классу. Отметить отсутствующих.	1. Соблюдать порядок, сесть за парты.
2. Вспоминаем ранее пройденный материал, решаем самостоятельную работу (Приложение 1)	2. Решают задания, предложенные учителем, на месте.
3. В предыдущих пунктах уже приводились примеры использования производной для исследования функции. Покажем, как ещё можно применять производную. Производную можно использовать для решения уравнений. Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что уравнение корней не имеет. Одним из методов решения уравнений является определение корня, т.н. «подбором». Этот метод используется в случаях, когда вычислением находится один или несколько корней уравнения, но решить уравнение с помощью тождественных преобразований не представляется возможным или приводит к громоздким преобразованиям. Если удается доказать, что уравнение не имеет других корней, кроме найденных, то задача решена. Если же доказать это не удается, то задача остается нерешенной и следует поискать иной подход к поиску корней. Рассмотрим несколько примеров: Пример №1. Решить уравнение Решение: Можно определить, анализируя «удобные» для вычисления корня значения переменой, что корень данного уравнения . Докажем, что этот корень единственный, используя свойства монотонности функции. 1.     Запишем данное уравнение в виде: 2.   Пусть 3.   4.    на всей области определения. 5.   Так как функция  возрастает на , то уравнение имеет не более одного корня. Следовательно, подобранный корень ­ единственный корень данного уравнения. Ответ: Сформулируем алгоритм решения задач такого типа. Алгоритм (I) решения уравнений с помощью производной: 1.     Определить, анализируя «удобные» для вычислений значения переменной, корень уравнения. 2.   Привести уравнение к виду ; 3.   Найти область определения функции 4.   Исследовать функцию  на монотонность на  или промежутках, принадлежащих ; 5.     Если функция возрастает (убывает) на рассматриваемом промежутке, то сделать вывод о единственности найденного корня уравнения на этом промежутке. Также, существует ряд уравнений, в которых необходимо доказать (или опровергнуть) единственность корня самого уравнения. Алгоритм (II) для определения числа корней уравнения: 1.   Привести уравнение к виду ; 2.   Найти область определения функции ; 3.   Исследовать функцию  на монотонность на  или промежутках, принадлежащих   4.     Если возможно, проверить знаки значений функции  на концах отрезка  из D(f); 5.     Сделать вывод: ·    если внутри интервала   , то существует не более одного значения такого, что ; ·    если на самом интервале      и  , то существует единственное значение  такое, что . Пример №2. Доказать, что уравнение  имеет единственный корень. Решение: Применим для доказательства алгоритм II 1.     Данное уравнение приведем к виду: 2.   Заметим, что   3.    возрастает для ,удовлетворяющих неравенству (1). 4.     Поскольку производная обращается в ноль в единственной точке , из (1), то для  имеем  возрастает. 5.   . Следовательно, уравнение  имеет единственный корень. Можно заметить, что этот корень равен . Ответ:.	3. Слушают, необходимое конспектируют в тетрадь.
4. Закрепляем материал, решая у доски. Задание №1. Решить уравнение Решение: 1.   Определяем, что корень уравнения 2.     Данное уравнение приведём к виду: 3.   ; 4.   на всей области определения. 5.   Так как функция  возрастает на , то найденный корень исходного уравнения  –  единственный . Ответ:. Задание №2. Решить уравнение  и доказать единственность корня. Решение: 1.    – корень данного уравнения; 2.   3.   4.    При  имеем 5.   Так как функция  возрастает на полуинтервале  то уравнение  не имеет других корней, кроме . Ответ: Задание №3. Решить уравнение Решение: 1.      Определяем, что корнем данного уравнение является . 2.   ; 3.   ; 4.   Функция  является четной, поэтому так же является корнем. Заметим, что  не является корнем данного уравнения. Покажем, что функция  является монотонной на интервале . если , то на интервале . 5.   Так как функция  возрастает на интервале , то уравнение , в силу четности функции , других корней отличных от  не имеет. Ответ:	4. Выполняют задание предложенное учителем.
5. Домашняя работа. Стр. 50-64, п.1.8-1.10 1) x5 + x3 –  = 0; 2) sinx = x ; 3).	5. Записывают домашнее задание.
6. Провести опрос по новой теме. 1. Чего нового вы узнали на этом уроке? 2. С какими для себя трудностями вы столкнулись?	6. Отвечают, что нового они узнали на уроке.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ВАРИАНТ 1	ВАРИАНТ 2
Исследуйте функцию и постройте её график:
f(x) = x3−3x2+2 f(x)  = x4−4x2 f(x)  =6x−x3 f(x) = −10x3 +51x2 −36x +3;	f(x) = 3x2−x3 f(x)  = 2x4−9x2 f(x)  = −x4+x2 f(x) =  − 3x2 + 8x