ПРОЦЕНТЫ
1.
Нахождение
процентов от числа b a a% от b = =
(0,01a b)
100
9 9
45 18
18% от 45 = =
45 0,18 =
8,1
10010
2.
Нахождение
числа по его процентов
b 100 a% числа равны b исходное число = = b : 0( ,01a)
a
5 50
45 100
18% числа равны 45 исходное число = 45 : 0,18 =
250
181
Задача 1. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные − 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих
фруктов?
|
|
Вода
|
«Сухое вещество»
|
Масса
|
|
Свежие
фрукты
|
80%
|
20%
|
288 кг
|
|
Высушенные
фрукты
|
28%
|
72%
|
?
кг
|
При сушке фруктов вода испаряется,
поэтому необходимо рассматривать не количество воды, а массу «сухого
вещества», которое остается неизменным 1) Масса «сухого вещества» = 
=
57,6 кг.
2) Масса высушенных фруктов = 
= 80 кг.
Или масса высушенных фруктов = 
=
80 кг.
Задача 2. Первый сплав содержит 5% меди, второй − 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на
4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите
массу третьего сплава. Метод «стаканчиков»:
+ =
Пусть масса первого сплава x кг.
Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а масса
третьего сплава (2x + 4) кг.
5x +
13(x +
4)
=
10 2(
x +
4)
−2x = −12 x =
6
Масса третьего
сплава = 2 6 4 16 + = кг.
3.
«Повышающий
коэффициент»
Цена некоторого товара была S0 руб. Какой стала цена товара после повышения
цены на r%?
r
Цена товара после повышения цены на
r%: S k S= 0, где k = 1+ 
=
1+
0,01r. 100
Задача 3. Цена некоторого товара была 1600 руб. Какой
стала цена товара после повышения цены на 12%?
k =
1+
=
1+
0,12 =
1,12.
Цена товара после повышения цены: S =
1,12 1600 =
1792 руб.
4.
«Понижающий
коэффициент»
Цена некоторого товара была S0 руб. Какой стала цена товара после снижения
цены на r%?
r
Цена товара после снижения цены на
r%: S p S= 0, где p = 1−
= 1−
0,01r.
100
Задача 4. Цена некоторого товара была 1600 руб.
Какой стала цена товара после снижения цены на 12%?
p =
1−
=
1−
0,12 =
0,78.
Цена товара после снижения цены:
S =
0,78 1600 =
1248 руб.
Задача 5. Цена некоторого товара была 1600
руб. сначала его цену повысили на 20%, а потом снизили на 10%. Какой
стала цена товара после этих изменений? На сколько процентов изменилась
начальная цена?
Повышение цены на 20%: k =
1+
=
1+
0,2 =
1,2.
Понижение цены на 10%: p =
1−
=
1−
0,1 =
0,9.
Цена товара после этих изменений: S
=
(1,2 0, 9)1600 =
1,08 1600 =
1728 руб.
1,08 =
1 +
начальная цена увеличилась на 8%.
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
КРЕДИТЫ
В июле 2025 года планируется взять
кредит на десять лет в размере 1400 тыс. рублей. Условия его возврата
таковы:
−
каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом
предыдущего года;
−
с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть
долга; −
в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то
одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
−
в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну
и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; − к июлю 2035
года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного
погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?
Решение: S0 = 1400 тыс.
рублей – сумма кредита. Пусть в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов
долг будет на Х меньше долга на июль предыдущего года.
|
Год
|
Остаток долга на январь
(до увеличения на 10%)
|
Платежи
|
|
уменьшение долга
(июль)
|
увеличение долга
(январь)
|
|
2026
|
S0
|
X
|
 S0
|
|
2027
|
S
X0 −
|
X
|
 (S0 − X)
|
|
2028
|
S0 −
2X
|
X
|
 (S0 − 2X)
|
|
2029
|
S0 −
3X
|
X
|
 (S0 − 3X)
|
|
2030
|
S0 −
4X
|
X
|
 (S0 − 4X)
|
|
2031
|
S0 −
5X
|
 (S0 − 5X)
|
 (S0 − 5X)
|
|
2032
|
 (S0 − 5X)
|
 (S0 − 5X)
|
1 4
 (S − 5X)
10 5 0
|
|
2033
|
 (S
− 5X)
5 0
|
 (S0 − 5X)
|
1 3
(S − 5X)
10 5 0
|
|
2034
|
 (S0 − 5X)
|
 (S0 − 5X)
|
1 2
(S − 5X)
10 5 0
|
|
2035
|
 (S0 − 5X)
|
 (S0 − 5X)
|
1 1
(S − 5X)
10 5 0
|
Сумма выплат (сумма
кредита + % по кредиту):
1 1 1 1
S = S0 + 6 S0 + (4S0 + 3S0 + 2S S0 + 0) − 
(X + 2X + 3X + 4X + 5X) −
10 10 5 10
1 3 1 3 4 5 9 5
− (4X + 3X + 2X + 1X) = S0 + S0 + S0 − X X− = S0 + S0 − X = S0 −
X
10 5 5 2 5 2 5 2
9 5
1400 =−X = 2120 X 160 тыс.
рублей.
5 2
Платёж в 2026 году составит 160 + 140 = 300
тыс. рублей.
Ответ:
300 000 рублей
В июле 2025 года планируется взять
кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата
таковы:
−
каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего
года;
−
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть
долга; − в
июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму
меньше долга на июль предыдущего года;
−
в июле 2030 года долг должен составлять 800 тыс. руб.;
− в
июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же
сумму меньше долга на июль предыдущего года;
Найдите начальную сумму кредита,
если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
Решение: S0 − сумма кредита.
|
Год
|
Остаток долга на январь
(до увеличения на 10%)
|
Платежи
|
|
уменьшение долга
(февраль – июнь)
|
увеличение долга
(январь)
|
|
2026
|
S0
|
 S0 − 800 5
|
 S0
|
|
2027
|
S −
800 4S
 S0 − 1 0 = 0 + 1 160
5 5
|
S0 − 800 5
|
 1 4S0 + 1 160
10 5
|
|
2028
|
S −
800 3S
 S0 − 2 0 = 0 + 2 160
5 5
|
S0 − 800 5
|
 1 3S0 + 2 160
10 5
|
|
2029
|
 S − 800 2S S0 − 3 = + 3 160
|
S0 − 800 5
|
1 2S0 + 3 160
10 5
|
|
2030
|
 S − 800 S S0 − 4 0 = 0 + 4 160
5 5
|
S0 − 800 5
|
 1 S0 + 4 160
10 5
|
|
2031
|
800
|
160
|
 800 80=
|
|
2032
|
640
|
160
|
 640 64=
|
|
2033
|
480
|
160
|
 480 48=
|
|
2034
|
320
|
160
|
 320 32=
|
|
2035
|
160
|
160
|
 160 16=
|
Сумма выплат (сумма кредита
+ % по кредиту):
1 1 1
S =
S0 + (5S0 + 4S0 + 3S0 + 2S0 + S0) + 
160 (1 + 2 + 3 + 4) + 16 (5 + 4 + 3 + 2 + 1) =
10 5 10
13 13
= S0 + S0 + 160 + 240 = 
S0 + 400 S0 + 400 = 2090.
10 10
S0 =
1300 тыс.
рублей – начальная сумма кредита.
Ответ:
1 300 000 рублей
15-го декабря планируется
взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия
его возврата таковы:
−
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
−
cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
−
15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен
быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего
месяца;
−
15-го числа n-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
−
к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть
полностью погашен.
Найдите n, если
известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей.
Решение: S0 = 700 тыс.
рублей – сумма кредита.
|
Месяц
|
Остаток долга
|
Платеж
|
|
уменьшение долга
|
% на остаток долга
|
|
1
|
S0
|
S0 − 300 n
|
 S0
|
|
2
|
S −
300
 S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
  1
S0 − 300
S0 − 100 n
|
|
3
|
2(S
− 300)
 S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
 1 S0 − 2 (S0 − 300)
100 n
|
|
4
|
3 (S
− 300)
S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
1 S0 − 3 (S0 − 300)
100 n
|
|
5
|
4(S
− 300)
 S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
 1 S0 − 4 (S0 − 300)
100 n
|
|
…
|
|
…
|
…
|
|
n−1
|
(n − 2)(S
− 300)
 S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
 1 S0 −
(n − 2) (S0 − 300)
100 n
|
|
n
|
(n −1)(S
− 300)
 S0 − 0
n
|
S0 − 300 n
|
 1 S0 −
(n − 1) (S0 − 300)
100 n
|
|
n+1
|
300
|
300
|
 300 = 3
|
Сумма выплат (сумма кредита + % по кредиту):
S = S0 + n 1 S0 − 1 S0 − 300(1 + 2 + 3 + ...+ n − 1) + 3 =
100 100 n
=
S0 + S0 n − (S0 − 300) 1 + n − 1 (n
− 1) + 3 = S0 +
S n0 − (S0 − 300) (n − 1) + 3
100 100 n 2 100 200
700 +
7n − 2(n −1) + 3 =
755
5n =
50 n =
10
Ответ:
10
Схема выплаты кредита равными выплатами
r
S0 - сумма кредита, r – процент
по кредиту, k =
1 +.
100
|
Выплата
|
Остаток долга после выплаты
|
Выплата
|
|
|
1.
|
kS0 −
X
|
X =
kS0
|
|
|
2.
|
k(kS0 − X)− X
|
k S2
 X = 0 k + 1
|
|
|
3.
|
k(k(kS0 − X)− X)− X
|
k3S
 X = 2 + k0+ 1
k
|
|
|
4.
|
k(k(k(kS0 − X)− X)− X)− X
|
 k S4 0 = k k S2 ( 2 0) = 2k+2 1 X = 3 + 2 + + (k2 + 1)(k
+ 1)
k k k k 1
|
k S2
0 k + 1
|
В сентябре планируется взять кредит
в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
−
каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом
предыдущего года; −
с февраля по август каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите r, если
известно, что при условии ежегодных выплат в размере 665500 рублей кредит будет
полностью погашен за 4 года, а при условии ежегодных выплат в размере 1215500 рублей кредит
будет полностью погашен за 2 года.
r
Решение: S0– сумма
кредита, r – процент по кредиту, k = 1 + 
.
100 X – ежегодная
выплата, если кредит будет погашен за 4 года.
Y – ежегодная выплата,
если кредит будет погашен за 2 года. 1. Схема выплаты
кредита за 4 равных платежа
|
Год
|
Остаток долга на февраль - август
|
|
1.
|
kS0 −
X
|
|
2.
|
k(kS0 − X)− X
|
|
3.
|
k(k(kS0 − X)− X)− X
|
|
4.
|
 3 + kk24S+0k +
1 =
(k2k+2(1k)2(Sk0+)
1)
=
k2k+2 1 kk2+S01 k(k(k(kS0 −
X)
−
X)
−
X)
−
X =
0
X =
k
|
k2 k S2 0 =
665500
k2 +
1 k + 1
2.
Схема выплаты кредита за 2 равных платежа
|
Год
|
Остаток долга на февраль - август
|
|
1.
|
kS0 −Y
|
|
2.
|
 k2 k(kS0 −Y)
−Y
= 0 Y = S0
k +
1
|
k S2 0 = 1215500
k + 1
Тогда k2k+2 1 1215500 = 665500, k2k+2 1 = 1215500665500 , k2k+2 1 = 1215500665500 = 121221, k2 = 100121,
k = 
= 1 + 
= 1 + 
r = 10.
Ответ:
10%
В октябре 2027 годя Борис планирует
взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей.
Условия его возврата таковы:
- в январе
каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец
предыдущего года;
- в период с февраля
по сентябрь необходимо выплатить часть долга
- в октябре
каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг
должен быть на одну и туже величину Q рублей меньше долга на
октябрь предыдущего года;
- в 2033 и 2034
годах выплаты по кредиту равны;
- к октябрю 2034
года кредит должен быть погашен.
Найдите величину Q,
если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.
Решение: S0 − сумма кредита,
процент по кредиту r
=
15, k =
+1 r =
23. X – равные
100 20 выплаты по кредиту в 2033 и 2034
годах.
|
Год
|
Остаток долга на январь
(до увеличения на 15%)
|
Платежи
|
|
уменьшение долга
(февраль - сентябрь)
|
увеличение долга
(январь)
|
|
2028
|
S0
|
Q
|
 S0
|
|
2029
|
S
Q0 −
|
Q
|
 (S Q0 − )
|
|
2030
|
S0 −2Q
|
Q
|
 (S0 − 2Q)
|
|
2031
|
S0 −3Q
|
Q
|
 (S0 − 3Q)
|
|
2032
|
S0 −4Q
|
Q
|
 (S0 − 4Q)
|
(остаток
долга на январь
2033 год S0 −5Q )
|
Год
|
Остаток долга
на октябрь года
|
Платеж
(с
февраля по сентябрь)
|
|
2033
|
k S(
0 −5Q X)−
|
X
|
|
2034
|
k k S(
(
0 −5Q)−X)−
=X 0
|
X
|
k k S(
( − 5Q)
− X)
− X = 0 X =
k S2 (
0 − 5Q)
= 529(S − 5Q) 0 0
k
+ 1 8 06
Сумма выплат: S = 5Q + 2X +
(5S0 − 10Q) = 5Q +
(5S0 − 5Q)
= 5Q +
(S0 − 5Q) +
1703 114 217984
114 217984 114
+(5S0 − 10Q) = S0 − Q = − Q − Q =
4168
860 43 43 43 43 43
217984 −114Q =
179224 Q = 340 тыс. рублей.
Ответ:
340 000 руб.
©А.С. Спешилов
учитель математики МАОУ
«Средняя школа №27»
г. Петропавловск-Камчатский
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.