Проект по математике на тему "Квадратные уравнения" (8 класс)

МБОУ – СОШ «Рязанские сады»

Проект по математике

«Различные способы

решения квадратных уравнений»

  Выполнила: ученица 8 класса

                                 Фомина Екатерина Петровна

                                           Руководитель: учитель математики

                                     I квалификационной категории

                                                      Ярославцева Людмила Егоровна

2013-2014

Содержание

1.     Обоснование………………………………………………………………….....2

2.     Цель работы…………………………………………………………………….2

3.     Задачи…………………………………………………………………………....2

4.     Введение…………………………………………………………..……………..2

5.     История возникновения и развития квадратных уравнений………………..5

6.     Что такое квадратное уравнение………………………………………………8

7.     Способы решения квадратных уравнений……………………………………9

8.     Разложение левой части уравнения на множители…………………………..9

9.     Выделение квадрата двучлена…………………………………………………9

10. Решение квадратных уравнений по формуле………………………………..11

11. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета………………13

12. Способ «переброски»………………………………………………………….15

13. Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………………..16

14. Графический способ решений квадратных уравнений………………………17

15. Геометрический способ…………………………………………………………19

16. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………….20

17. Заключение……………………………………………………………………....23

18. Список используемых источников и литературы…………………………….24

Обоснование.

В школе на уроках математики мы изучили несколько способов решения квадратного уравнения. От учителя я узнала, что существуют и другие способы, но мы не рассматриваем их в школьной программе. Меня это заинтересовало, и я решила узнать, какие еще способы решения квадратного уравнения существуют и сколько их всего.

Цель работы:

·        Познакомиться с биографией великих математиков, занимавшихся решением квадратных уравнений.

·        Найти различные способы решений квадратных уравнений.

·        Практическое применение способов решения квадратных уравнений в современной жизни.

Задачи:

1)    Найти исторический материал решений квадратных уравнений.

2)    Систематизировать знания о различных способах решения квадратных уравнений.

3)    Подготовить презентацию своего проекта.

Введение.

 Человеку, изучающему алгебру, часто  полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.                                         

                                          У.У. Сойер (английский математик XX века)

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.  Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Решение квадратных уравнений – одна из важнейших тем курса алгебры 8 класса.

В школьном курсе  изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать данные уравнения.

 Часто первый избранный способ бывает далеко не самым удачным, поэтому задача каждого ученика - научиться находить не только верные, но и наиболее рациональные способы решения квадратного уравнения. В некоторых случаях их можно решать и устно, только для этого необходимо помнить алгоритм, который может пригодиться как на экзамене, так и в различных  жизненных ситуациях.

Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра? Какие есть еще способы решения квадратных уравнений, и сколько их? Ответа на эти вопросы я не нашла на страницах школьного учебника. Чтобы разобраться и глубже изучить данную тему, я решила провести исследование.

Актуальность темы:

1.     Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.

2.     В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратного уравнения.

Методы исследования:

1.     Работа с учебной и научно-популярной литературой, интернет-рессурсами.

2.     Наблюдение, сравнение, анализ.

3.     Решение задач.

Ожидаемые результаты:  в ходе изучения данной работы  я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал, расширить свой кругозор, заинтересоваться математикой и историей ее развития и, соответственно, в будущем определиться с выбором профессии. Я смогу создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, что позволит  мне компенсировать недостаточность знаний по этому вопросу.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики для повышения математической грамотности,  и учителя на факультативных занятиях.

История возникновения и развития квадратных уравнений

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.                                

                                           Г.В. Лейбниц (немецкий математик XVII-XVIII веков)

Древний Вавилон

Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне  знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

 ;      

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.         Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа  и общие  методы решения  квадратных уравнений.

Индия

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax² = c и ax² + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:   ах2 + bx = c, где a > 0. В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

                                                                                                        Брахмагупта

Древняя Греция

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении  уравнений  Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Средняя Азия

Основоположником алгебры считают среднеазиатского математика Мухаммед бен Муса аль - Хорезми (787 – 850 г. г.). Аль-Хорезми - не фамилия, это своеобразное прозвище, означающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из Хорезма. (Хорезм - это крупный оазис в низовьях Амударьи, был заселён людьми в глубочайшей древности, там ещё в I тысячелетии до нашей эры существовала высокая культура). В VIII веке арабы завоевали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.

 Об Аль-Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное - он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мухабала», что в переводе на русский язык означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки - алгебра.

 Аль-Хорезми  в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и  квадратных   уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 

1) «Квадраты равны корням», т.е.  а = bх.

 2) «Квадраты равны числу», т.е.  а = с.

 3) «Корни равны числу», т.е.  вх = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е.  а + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. а + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.  bx + с = а.

Аль-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих  уравнений  слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание  уравнения, у которых нет положительных  решений.

Европа

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.	Леонард Фибоначчи

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:     х² + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

              

          Декарт                 Жирар                     Ньютон              Никколо Тарталья

Франсуа Виет (1540-1603) первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Это скромное, казалось бы, новшество внесло огромный вклад в развитие математики. Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения будет довольно трудно. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».

Франсуа Виет

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение – это алгебраическое уравнение вида  ax² + bx + c = 0, где  х – переменная; коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причем,  а ≠ 0.

Квадратные уравнения бывают трёх видов:

1.  Полные квадратные уравнения (ax² + bx + c = 0, где).

2.  Неполные квадратные уравнения – это уравнение вида 

     ax² = 0 (b=c=0), 

     ax² + bx = 0 (c= 0),

     ax² + c = 0 (b=0).

3. Приведенные квадратные уравнения – это уравнения вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a=1,  р  – коэффициент при х (p=  ),  q – свободный член ( q = ).

Способы решений квадратных уравнений.

1        способ: разложение левой части уравнения на множители.

x² +10x – 24 = 0

x² + 12x – 2x – 24 = 0

x (x - 2 ) + 12( x - 2) = 0

(x-2)(x+12) = 0

x – 2 = 0  или  x + 12 = 0

x = 2 или x = - 12

Ответ:   х₁ = 2;  х₂ = - 12

v Этот метод не всегда удобен, т.к. не всегда удается применить способ группировки.

2        способ: выделение квадрата двучлена.

Цель метода - привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

(а + b)² = a² + 2ab + b²;    (a – b)² = a² – 2ab + b². 

Рассмотрим  примеры решения полных  квадратных уравнений, т. е. таких уравнений, у которых все три коэффициента отличны от нуля. Начнём с уравнений, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называют приведёнными квадратными уравнениями.

Пример 1:

Решим приведённое квадратное уравнение

                  х ²+10х +25=0

Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена. Получим:

                (х + 5)²=0

Отсюда:  х + 5=0

                 x = - 5

Ответ:    х = - 5

 Пример 2:

Решим еще одно приведенное квадратное уравнение:

               x² - 6х – 7 = 0.

Если к разности х ² - 6х прибавить число 9, то получим выражение, которое можно записать в виде (х - 3)², т. е. в виде квадрата двучлена. Прибавим к левой части число 9, а чтобы равенство не нарушилось, вычтем 9 из левой части.

(х² - 2·х·3 + 3²) – 3² – 7 = 0

– 9 – 7 = 0

– 16 = 0

 = 16

x – 3 = -4  или  х – 3 = 4

x = -1  или  х = 7

Ответ: х₁=-1, х₂=7

Пример3: рассмотрим общий случай – не приведенное квадратное уравнение

3х² - 5х – 2 = 0

- х - = 0

-2·х· - = 0

- 2·х·  -  -  = 0

- 2·х· =  + 

(х - ) ²=

x -  = - или x -  =  

x -  = -   или x -  =  

x = - или  х=2

Ответ: х₁= - , x₂=2

v    Этот метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Чаще всего используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

3        cпособ: решение квадратных уравнений по формуле.

Решение  квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают упавнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение:

aх² + bх + с = 0.

Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение:

x² + х + = 0

Преобразуем это уравнение:

x²+2·х··+()² -  () ² +  = 0

x²+2·х··+()² = () ² -

(х + ·)²= -

(х + )² =

Получившееся уравнение равносильно начальному. Число его корней зависит от знака дроби  . Так как а ≠ 0, то 4а² - положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b² - 4ас.

Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах²+вх+с=0

( «дискриминант» по-латыни - различитель).

Его обозначабт буквой D, т. е. D=b²-4ас.

Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от D.

Ø   Если D0, то 2 корня:

x₁ = ;            х₂ =

Ø Если D = 0, то 1 корень:

x =

Ø   Если D 0, то корней нет.

Пример 1:

12х² + 7х + 1 = 0

D = b² - 4ас = 7² - 4·12·1 = 49 – 48 = 1 > 0,

Значит, 2 корня.

 = = 1

x₁ = = = -  = -

x₂=  = = -  = -

Ответ: х₁ = - ; х₂= -

Пример 2:

          x² - 12х + 36 = 0

D = b² - 4ас = 144 – 144 = 0,

Зн, 1 корень.

= =0

x =  =  = 6

Ответ: x = 6

Пример 3:

7х² - 25х + 23 = 0

D=b² - 4ас = 625 – 644 = -19<0, значит, корней нет.

Ответ: корней нет

v    Формула корней квадратного уравнения позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + 2kx + c = 0.

Найдём его дискриминант: D = 4k^{2 -} 4ac = 4(k² – ac). Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k² – ac. Обозначим это выражение через D₁.

Если D₁ ≥ 0, то по формуле корней квадратного уравнения получим, что

=, т. е.

x = , где D₁ = k² – ac.

Если D_1, то уравнение корней не имеет.

Пример 4 (на II случай - через D₁):

9х² - 14х + 5 = 0

D₁ = k² – ас = 49 – 45 = 4

==2

x₁ = = = 1

x₂ =  =

Ответ: х₁=1; х₂=

v    Этот способ удобно применять только для четного коэффициента b.

4        cпособ: решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.

Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т. е.

+ px + q = 0

х₁ · х₂  = q

x₁ + x₂ = - p

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q:

                      + px + q = 0.

Дискриминант этого уравнения D = p² – 4q.

Пусть D >0. Тогда это уравнение имеет два корня:

x₁ = и   x₂= .

Найдём сумму и произведение корней: 

x₁ + x₂ =  + =  = - p

x₁ ∙ x₂ =  ∙   =  =   = q

Приведённые квадратные уравнения легко решать по теореме Виета подбором. Достаточно найти такие два числа, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.

По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней:

1.     Если сводный член q > 0, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0 (- р , то оба корня отрицательны, если р < 0 (- р , то оба корня положительны.

2.     Если свободный член q < 0, то  уравнение  имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

Например, для уравнения

x² - 7х + 12 = 0

x₁ · x₂ = 12

x₁ + x₂ = 7

         х₁ = 3; х₂ = 4.

Ответ:   х₁ = 3; х₂ = 4.

Для квадратного уравнения в общем виде:

 aх² + вх + с = 0

x² + х + = 0 – приведённое

Тогда  x₁  x₂ =     ,

           x₁ + x₂  = -

В этом случае решать подбором уравнение затруднительно.

v    Теорема Виета  позволяет в ряде случаев находить корни приведенного квадратного уравнения без использования формулы корней  -  подбором. Но корни возможно подобрать только в том случае, если дискриминант D .

Теорема (обратная теореме Виета): если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x² + px + q = 0.

По условию m + n = - p, а  mn = q. Значит, уравнение x² + px + q = 0 можно записать в виде x² – ( m + n )x + mn = 0.

Подставив вместо х число m, получим:

                      x² – ( m + n )x + mn = m² – ( m + n)m + mn = m² – m² – mn + mn = 0.

Значит, число m является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

v    По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

5        cпособ: решение квадратных уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а > 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =  ; тогда приходим к уравнению

 у² +  bу + ас = 0, равносильному  данному.

Его корни, т. е. у₁ и у₂,  найдём с помощью теоремы Виета:

у₁· у₂ = ас;   

у₁ + у₂ = - b

Окончательно получаем:       х₁= ;    x₂=  .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискрименант есть точный квадрат.

v    Метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Пример 1:  Допустим, нужно решить уравнение

3х² + 2х – 5 = 0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член:

          x² + 2х – 15 = 0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно -15, а сумма равна -2. Эти числа -5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент. Таким образом,  х₁= ; х₂ = 1

Ответ: х₁=  ; х₂ = 1

Пример 2:

Решим уравнение 2х² - 11х + 15 = 0,

«перебросим» коэффициент «2» к свободному члену, и сделав замену, получим:

y² – 11y + 30 = 0

y_{1 ·} y₂ = 30

y₁ + y₂ = 11

y₁=5;  y₂ = 6

x₁= = 2,5

x₂ = =3

Ответ: х₁ = 2,5; х₂ = 3

6        cпособ: свойства коэффициентов квадратного уравнения.

       Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, где а >0.

1.     Если а + b + с = о ( т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х₁ = 1;   х₂ =  (по теореме Виета)

2.     Если а – b+ с = 0, (или b = а + с, т.е. второй коэффициент равен сумме 1-го и 2-го коэффициентов), то х₁ = -1; х₂ = -

Пример 1:

Решим уравнение 345х² - 137х – 208 = 0

a + в + с = 345 – 137 – 208 = 0,

зн, х₁ = 1

  х₂ = -

Ответ: х₁= 1 ; х₂ = -

Пример 2:

132х² + 247х + 115 = 0

a – в + с = 132 – 247 + 115 = 0,(или 247 = 132 + 115),

 зн, х₁ = -1;  х₂ = -

Ответ: х₁ = -1; х₂ = -

v    Этот метод удобно применять, когда коэффициенты квадратного уравнения – большие числа. Часто используется в олимпиадных работах:

например, в 2013-2014 учебном году можно предложить такое уравнение:

2013x²  - 2014x +1 = 0

a + b + c = 2013 - 2014 +1 = 0, значит, x₁ = 1, х₂ =

7        способ: графический способ решения увадратных уравнений.

Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Решим графически уравнение ах² + bx +с = 0. Оно равносильно уравнению ах² = - (bx + c). Строят графики функций y = ax²  и  y = - bx - c в одной системе координат. График первой функции – парабола, проходящая через начало координат. График второй функции – прямая. 

В точках х₁ и х₂  значения обеих функций равны. Следовательно, х₁ и х₂  являются корнями уравнения   ах² = - (bx + c)   и равносильного ему уравнения ах² + bx +с = 0.

Можно свести уравнение к приведенному x² + px + q = 0 , откуда x² = - px – q,

и  построить графики y = x² и y = - px – q.

          Возможны следующие случаи:

1.     Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения.

2.     Прямая  и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.

3.     Прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Пример 1. x² – х – 2 = 0

x ² = х + 2 

Строим графики функций y = х² и y = х + 2.

1)    y = х²

x	-2	-1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

2)  y = х + 2

x	0	-2
y	2	0

                                     

                                                         y

 

                                                                            y=x+2

                                   y=x²

                                                                                             

 

                                                                        1                        2                                       x

                                                          x₁                   x₂

x₁ ≈ -1

x₂ ≈ 2

Ответ: х₁ ≈ -1; х₂ ≈2

v Применяя графический метод, не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

8         cпособ: геометрический способ (основан на выделении полного квадрата).

Решить уравнение  х²+ 10х =39

Рассмотрим пример, который дал аль-Хорезми, используя метод выделеия полного квадрата

 

                 

 

                                                                       

                x

                                    x

                                                       (  )²

     I.        Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – 4 прямоугольника высотой  . В углах фигуры построим 4 квадрата со стороной   .

    II.            Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

 х² + (· х) · 4 + ()² · 4 = x²  + 10х + 4·  = х² + 10х + 25 =39 +25 = 64

Значит, сторона большого квадрата равна 8, тогда х + 2··= 8

                                                                              x+5=8

                                                                              x=3

v Геометрический способ использовался в древности, когда не было известно алгебраических способов решения. В современной жизни не находит применения.

9        способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Номограмма для решения уравнений вида z² + pz + q = 0 позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = ;

АВ = -

Полагая ОС = р, ЕD = q, OE = a (все в см),

Из  ∆САН ~ ∆СDF получим пропорцию:

 =

 = 

=  ,

 откуда после упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причём буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры:

Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма даёт корни z₁ = 8 и z₂ = 1.

I.Решим с помощью номограммы уравнение 2z² - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z² - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма даёт корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.

v   Данное уравнение имеет корни z_{1 =}   = 4,25

z₂ =    = 0,25

       Таким образом, применение данного метода дает в ряде случаев приближенные корни.

    II.               

Для уравнения z² + 5z – 6 = 0 номограмма даёт положительный корень z₁ = 1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из  –р, т. е. z₂ = - p – 1 = - 5 – 1 = -6.

 III.            Для уравнения z² - 2z – 8 = 0 номограмма даёт положительный корень z₁ = 4, отрицательный равен z₂ = - р -  z₁ = 2 - 4 = -2.

Если оба корня отрицательные, то делают замену z₁ = -t.

 IV.              

Для уравнения z² + 4z + 3 = 0, оба корня которого ( z₁·z₂ = 3;  z₁ + z₂ = -4) отрицательные числа, берём z₁ = - t и находим по номограмме два положительных корня t₁ и t₂ уравнения t²  – 4 t  + 3 = 0, это
t₁ = 1 и t₂ = 3, а затем z₁ = – t₁ = – 1 и z₂ =  – t₂  =  – 3.

Если коэффициенты  p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют

подстановку z = kt  и решают с помощью номограммы 

уравнение     t² + + = 0, где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства  – 12,6 ≤. ≤12,6;

                      -12,6 ≤ ≤ 12,6.

    V.            Для уравнения z² - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим:

t² - 5t + 2, 64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим:

t₁ = 0,6 и t₂ = 4,4

откуда z₁ = 5t ₁= 5·0,6 = 3

               z₂=5t₂=5·4,4=22

Заключение

Анализируя способы решения полных квадратных уравнений по следующим признакам:

1.     сложность решения;

2.     рациональные методы решения;

3.     практическое применение,

 установила, что наиболее сложными оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: решение квадратных уравнений по формуле, решение уравнений с использованием теоремы Виета (когда коэффициенты небольшие числа), применение свойств коэффициентов квадратного уравнения (особенно, когда коэффициенты большие числа). Практического применения  не имеет геометрический способ решения квадратных уравнений.  Крайне редко применяется графический способ решения квадратного уравнения. Никогда раньше не слышала о способах: с помощью номограммы,  способе «переброски», хотя последний способ вызвал у меня интерес.

Квадратные   уравнения  находят широкое применение при  решении задач различного уровня сложности. Умение их решать рациональным способом играет очень важную роль в дальнейшем обучении. Однако, значение  квадратных   уравнений  заключается не только в изяществе и краткости  решения  задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения  квадратных   уравнений  при  решении  задач нередко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

В своей работе я изучила историю решения квадратных уравнений, узнала об ученых, которые занимались их решением, провела исследование способов решения квадратных уравнений. В результате выполнения работы были  изучены  следующие способы:

1.Разложение левой части уравнения на множители.

2. Выделение квадрата двучлена.

3.Решение квадратных уравнений по формуле.

4.С помощью теоремы Виета.

5.Решение квадратных уравнений способом «переброски».

6.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

7.Графический способ решения квадратных уравнений.

8. Геометрический способ.

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Подводя итоги,  можно сказать, что каждый из изученных способов имеет как положительные стороны, так и недостатки. Но выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Так же не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.

В ходе выполнения работы я выяснила достоинства и недостатки каждого способа.

Самыми удобными в применении являются способ решения  с помощью формулы.

Если в древности решать квадратные уравнения был удел избранных –

математиков, то сегодня каждый школьник может это сделать с помощью формулы корней.

Широкое применение находит теорема Виета, которая позволяет устно подбором решать приведенные квадратные уравнения и выполнять проверку найденных корней.

Интересным оказался метод «переброски» коэффициентов, с помощью которого уравнение сводится к решению приведенного квадратного уравнения по теореме Виета. Но применить его можно не всегда, а только для «удобных» коэффициентов.

Не менее интересным оказался способ на свойства коэффициентов квадратного уравнения, который тоже позволяет в ряде случаев решать уравнения устно, даже с большими коэффициентами.

Заслуживает внимания и графический метод, который позволяет оценить количество корней.

Я считаю эту тему актуальной, так как она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а в последующем и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.

Список использованных источников и литературы

1.     Макарычев Ю.Н.  Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений // 15-е издание. М.: Просвещение, 2010.

2.     Брадис В.М. Четырехзначные  математические таблицы // М.: Дрофа, 2001.

3.     Глейзер Г.И. История математики в школе VII - VIII классы. Пособие для учителей // М.: Просвещение, 1997.

4.     Дроздов В. Квадратное уравнение: варианты решения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №10/1997. стр.6.

5.     Окунев А.К. Квадратичные функции,  уравнения  и неравенства. Пособие для учителя // М.: Просвещение, 1972. – 143 с.

6.     Панкратова Л. Квадратные уравнения. Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №21/1996. стр.5-6.

7.     Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений.  Математика // Приложение к газете «Первое сентября» №40/2000. стр.24 -31.

8.     Шаталова С. Способы решения квадратных уравнений // «Математика в школе» №4/2004.

9.     Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода // «Математика в школе» №6/2000.

10.  http://ru.wikipedia.org/