Проект "Симметрия вокруг нас"

       Муниципальное общеобразовательное учреждение – СОШ № 97 г. Саратова

                                   Тема проекта

                            «Симметрия вокруг нас»

                                                             Выполнила: Садовникова Кристина Владимировна

Руководитель проекта:

Фефелина Ирина Алексеевна

2018-2019 учебный год

                  СОДЕРЖАНИЕ

1.     Введение ………………………………………….3

2.      Симметрия в математике…………………...…5

      2.1. Центральная симметрия………………….....5

      2.2. Осевая симметрия………………………...…5

      2.3. Зеркальная симметрия………………………6

      2.4. Симметрия вращения……………………….7

3.  Симметрия вокруг нас………………………….8

     3.1. Симметрия в физике………………………....8

     3.2. Симметрия в биологии………………………8

     3.3. Человек – существо симметричное…………10

     3.4. Симметрия в химии………………………….11

     3.5. Симметрия в языках…………………………11

     3.6. Симметрия архитектуре……………………..12

4. Заключение……………………………………….14

5. Список литературы……………………………..16

1.         Введение

  Тема моего проекта была выбрана после изучения курса «Математики», раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановилась я именно на этой теме не случайно, мне хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе.

   Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встреча­емся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий облада­ют осевой симметрией. В боль­шинстве случаев симметричны отно­сительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зуб­чатые колеса.

Мне это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы и даже культуру народа. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.

   Цели моего проекта были следующими:

1.            раскрыть особенности видов симметрии;

2.  показать всю привлекательность математики как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

   Задачи:

1.            сбор материала по теме проекта и его обработка;

2.            обобщение обработанного материала;

3.            выводы о проделанной работе;

4.            оформление обобщенного материала.

       Актуальность проекта:

           Актуальность данной работы обусловлена тем, что симметрия окружает человека, находя свое проявление как в живой, так и не в живой природе, а так же в большинстве творений человека: в архитектуре, технике, в интерьере, в искусстве и др. Объяснение законов симметрии важно для понимания красоты и гармонии. Наблюдая за объектами природы, архитектуры, предметами быта, можно сделать вывод, что все окружающее нас чаще всего связано с понятием симметрии. В данной работе  я наблюдала окружающую жизнь с точки зрения симметрии.

2. Симметрия в математике.

   2.1  Центральная симметрия

   Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметрич­ной относительно точки О, если для каж­дой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фи­гура обладает центральной симметрией. Понятия центра симметрии в «Началах» Евклида нет, однако в 38-ом предложении XI книги содержится понятие пространственной оси симметрии. Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI веке. В одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр». Лежандр, который впервые ввёл в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к рёбрам, а другие 6 проходят через диагонали граней

   Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окруж­ность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр ок­ружности, а центром симметрии паралле­лограмма – точка пересечения его диагона­лей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружно­сти и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно мно­го – любая точка прямой является её цен­тром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является про­извольный треугольник.

    2.2 Осевая симметрия

   Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметрич­ной относительно прямой а, если для каж­дой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фи­гура обладает осевой симметрией.

   В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обла­дает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадле­жащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпенди­кулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения де­лится пополам. Рассмотренная  пара треугольников обладает (кроме центральной) еще осевой симметрией. Её ось симметрии проходит через точку С перпендикулярно к плоскости чертежа.

   Приведём примеры фигур, обла­дающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссект­риса угла. Равнобедренный (но не равносто­ронний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треуголь­ник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконеч­но много — любая прямая, проходящая че­рез её центр, является осью симметрии.

   Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отлич­ный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

      2.3  Зеркальная симметрия

   Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело)

   Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» — это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от неё, движется обратно параллельно направлению первого удара.

   Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

       2.4 Симметрия вращения

   Тело (или фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360^º/n, где n целое число, около некоторой прямой АВ (ось симметрии) оно полностью совмещается со своим исходным положением. Если число n равно 2, 3, 4 и т.д., то ось симметрии называется осью второго, третьего и т.д. порядка.

   Например, если мы разрежем круг на три части с центральными углами по 120º, наложим эти секторы друг на друга (не переворачивая их другой стороной) и прорежем на них фигуру а произвольной формы, то, сложив снова части так, как они лежали, получим фигуру (круг с дырочками), обладающую осью симметрии 3-его порядка. Эта ось перпендикулярна к плоскости чертежа. Поворотом на 120^º фигура полностью совмещается со своим исходным положением.

3. Симметрия вокруг нас.

     3.1 Симметрия в физике.

 Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, начиная с симметрий обычного трехмерного «физического пространства» (такими, например, как зеркальная симметрия), кончая более абстрактными и менее наглядными. Некоторые симметрии в современной физике считаются точными, другие – лишь приближёнными. Исторически использование симметрии в физике прослеживается с древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало применение такого принципа симметрии, как принцип относительности (как у Галилея, так и у Пуанкаре-Лоренца-Эйнштейна), ставшего затем как бы образцом для введения и использования в теоретической физике других принципов симметрии, которые привели к общей теории относительности Эйнштейна.

    3.2 Симметрия в биологии

   Изображения на плоскости мно­гих предметов окружающего нас мира име­ют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

   Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120^º, для колокольчика – 72^º, для нарцисса – 60^º . Поворотную ось можно характеризовать и с помощью дру­гой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360^º. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третье­го, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

   В пространстве существуют тела, обладающие винтовой сим­метрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным поло­жением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси .

   Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ря­ды, идущие в различных направлениях.

   Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

   Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного.

    3.3 Человек - существо симметричное

   Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.

   Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально.

   И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

     3.4 Симметрия в химии

   Ещё более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, а именно в кристаллах. «Кристаллы блещут симметрией», - писал Е. С. Федоров в своём «Курсе кристаллографии».

     3.5 Явление в языках

   Все мы читали сказку А.Толстого «Золотой ключик» и смотрели фильм или мультфильм. Там Мальвина диктовала Буратино всем известную «волшебную» фразу: «А роза упала на лапу Азора». Она читается и слева направо и справа налево одинаково. Автором этой фразы считается русский поэт XIX века А.А.Фет.

      Это и есть так называемый «палиндром». Палиндромом (от гр. Palindromos – бегущий обратно) можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу; текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево. Классический пример палиндрома:

  Я – арка края (В.Брюсов).

  Существует несколько разновидностей палиндромов: буквопалиндромы – читаются туда и обратно точно по буквам; словодромы (читаются уже не по буквам, а по словам и в ту, и в другую сторону); слогодромы и др. Также распространены и оборотни, читаемые справа налево иначе, чем слева направо. Причем, при их обратном прочтении текст, обычно имеет противоположный, замаскированный смысл. Например, на Ритке снег (С.Федин). А обратно получается нечто оригинальное: Генсек - тиран.

     Приведу примеры некоторых палиндромов:

А Вера - рева
А к порту тропка
Аргентина манит негра
Бел хлеб
Вор в лесу сел в ров
Голод долог
Диван нежен на вид
Ешь немытого ты меньше!

  Некоторые слова и числа также обладают симметрией, например, поп, кок, шалаш, наган и числа 101, 1991 и др. Можно составить огромное количество симметричных чисел, используя только цифры от 0 до 9.

    3.6 Симметрия в архитектуре

   Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.

   Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в форме креста), в готике (архитектурные конструкции имели прямоугольный или крестообразный вид). На смену готике пришёл стиль «барокко», который использовал асимметрию. Но смену этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных стилей. Практически поворот на 180 градусов произошел при смене классицизма модерном. Стиль «модерн» использует асимметрию – волнообразное построение архитектурных композиций. В настоящее время каких-либо стилей нет, каждый архитектор работает в своей манере.

   В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.

4. Заключение

   Изучив и исследовав тему «Симметрия вокруг нас» я узнала, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.

      Декоративные мотивы модерна содержат в себе стилизованные водяные цветы и бутоны с узкими, длинными стеблями и листьями: лилии, кувшинки, тростник, а также цветы и бутоны ирисов, орхидей, цикламенов, хризантем; фигурки насекомых: бабочки, стрекозы; птицы: лебеди, журавли, павлины и их перья, мотивы масок с развевающимися длинными прядями волос, волн, складок развевающегося платья, лебединой шеи и др. Древний человек наделял определенными знаками свои представления об устройстве мира. Например, круг — солнце, квадрат — земля, треугольник — горы, свастика — движение солнца, спираль — развитие, движение и т. д., но они, по всей вероятности, еще не обладали для предметов декоративными качествами (часто покрывались орнаментом скрытые от глаз человека части предметов — днища, оборотные стороны украшений, оберегов, амулетов и др..

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.

5. Список литературы.

1.     Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

2.     Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г. Цыпкин. Под редакцией С.А. Степанова. – Издательство «Наука». – Москва 1984г. – 480 стр.

3.     Эстетика урока математики. И.Г. Зенкевич. – Издательство «Просвещение». – Москва 1981г. – 79 стр.

4.     Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

5.     Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

6.     Вульф Г.В. Симметрия и ее проявления в природе. М., Изд. Отд. Нар.ком. Просвещение, 1991

7.     Гаспаров М.Л. Очерк истории русского стиха: метрика, ритмика, рифма, строфика. М., 1984

8.     Детский журнал «Смекалочка», № 7, март 2013 г.

9.      Смолина Н.И. Традиции симметрии в архитектуре. - М., 1990.

10.  Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

11.  Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М., 1972.

12. ВикипедиЯ - Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс]: режим доступа http://ru.wikipedia.org

Краткое описание документа:

Индивидуальный итоговый проект выпускника 9 класса по математике "Симметрия вокруг нас" подготовлен с учетом всех требований по содержанию и его оформлению, предъявляемых к работам данного вида.

Помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида