Проектно-исследовательская работа "Оригами - геометрия бумажного листа"

Департамент образования города Липецка

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

экологический лицей №66

имени Героя Советского Союза С. П. Меркулова

Проектно-исследовательская работа

Оригами – геометрия бумажного листа

	Отступ__отступ	Выполнила:                   К. А. Келлер, ученица 10 а класса
		Руководитель:                   Л. Н. Гетманцева, учитель математики

Липецк

2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ.. 3

ВВЕДЕНИЕ.. 4-5

ГЛАВА 1. Что такое оригаметрия? 6-9

1.1. История возникновения оригами. 6-7

1.2. Виды оригами. 7-8

1.3. Базовые формы оригами. 8

1.4. Оригаметрия. 8-9

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОРИГАМИ В ГЕОМЕТРИИ.. 10-11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 13

ПРИЛОЖЕНИЕ. 14-15

АННОТАЦИЯ

Данная работа знакомит вас с возможностями использования оригами в изучении геометрии. В проекте утверждается, что оригами является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии и выступает как наглядное и практическое средство подтверждения логических рассуждений.  Практическая значимость проекта в решении задач по геометрии с помощью оригами.

ВВЕДЕНИЕ

Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Все больше людей начинают интересоваться этим древним занятием. Собирая оригами можно наглядно рассмотреть и исследовать множество геометрических фигур (треугольники, прямоугольники, квадраты, ромбы, четырехугольники).

В ходе простейших действий с листом бумаги, например, складывание его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение и исследование свойств, понятий геометрических фигур, при этом делаем это творчески и наглядно.

При изготовлении фигурок оригами развиваются воображение, мелкая моторика рук, пространственное мышление, воспитывается вкус, аккуратность, трудолюбие, что и делает изучение использования оригами актуальным для исследования. Приобретенные во время складывания навыки можно использовать не только на уроках по математике и конструированию.

В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий, и поэтому большое внимание уделяется изучения основ арифметики, геометрии и алгебры. Особую актуальность приобретает проблема обучения элементам геометрии и повышение уровня математических знаний в целом.

В геометрическом материале много общего с художественным восприятием мира, поскольку большое место в геометрии принадлежит образному мышлению. Искусство оригами как нельзя лучше подходит для решения данных задач.

Объектом исследования является оригаметрия.

Предметом исследования является использование оригами в геометрии.

Энциклопедия оригами Афонькина С.Ю., Афонькиной Е.Ю. – уникальное издание, включающее 118 статей, рассказывающих о всех аспектах древнего и в то же время современного складывания из бумаги – оригами. Энциклопедия содержит диаграммы, с помощью которых можно изготовить самостоятельно все включённые в книгу модели. В книге Афонькина С.Ю., Капитоновой И.В. представлены формулировки задач по геометрии, решаемых при помощи складывания бумаги. На сайте https://www.syl.ru/article/170897/new_istoriya-origami-istoriya-vozniknoveniya-origami подробно рассказывается об истории возникновения оригами.

Цель проекта: исследовать возможности использования оригами в изучении геометрии.

Для достижения этой цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить и проанализировать литературу по данной теме.

2. Узнать историю появления оригами. Разобраться какие существуют виды оригами.

3. Подобрать материал по использованию оригами на уроках геометрии.

Для решения поставленных задач были выбраны следующие методы: изучение литературных источников, обработка полученной информации.

Практическая значимость моего индивидуального проекта заключается в том, что результаты исследования можно использовать на уроках геометрии, в дополнительном образовании и самообразовании.

Глава 1. Что такое оригаметрия?

1.1. История возникновения оригами.

         Оригами - это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). [1] Оригами - одно из самых доступных искусств, ведь для того, чтобы сложить фигурку требуется лишь листок бумаги. В переводе с японского «оригами» означает «сложенная бумага», в стране восходящего солнца искусство оригами называют искусством целого листа. Это одно из самых главных правил оригами — не прибавлять и не вычитать ничего лишнего. Это закон, которому следуют уже многие века все художники оригами. Благодаря этому данный вид искусства уже тысячелетия считается самым необычным и оригинальным.

Обязательным материалом для данного вида искусства является, естественно, бумага. И хотя первый станок по производству бумаги был изобретен в Китае, история оригами берет свое начало в Японии. Именно японцы в начале 8 века начали складывать различные фигурки. Стоит отметить, что в те времена бумага являлась очень дорогим материалом, поэтому доступна она была только храмам и монастырям. Монахи делали специальные бумажные коробочки под названием «санбо», в которых приносили жертвы богам. Эти первые поделки оригами изготовлялись без использования каких-либо инструментов, а материалом являлась исключительно бумага. Немного позже каждый японский аристократ умел делать подобные коробочки для преподнесения подарка дорогому человеку или дани богу. А спустя 600 лет бумага перестала быть столь ценным ресурсом, что позволило данному искусству развиваться большими темпами. История возникновения оригами, наверное, уже давно забыта японцами, однако подаренная ими техника складывания первых самолетиков, фигурок животных и удивительных цветов радует весь мир и сегодня. [2]

Наиболее активно искусство оригами в Японии начало развиваться после Второй мировой войны. Многим история оригами обязана японскому мастеру Акиро Йошизаву. Именно он начал складывать первые, до того времени неизвестные, фигурки из бумаги, среди которых были лягушки, рыбки, журавлики, цветки ириса и многие другие.

Что касается стран Европы, то многое приверженцы этого искусства, живущие на их территории, почерпнули из Японии. Однако нельзя утверждать, что история возникновения оригами в Европе связана исключительно со страной Восходящего Солнца. Так, некоторые фигурки были сложены испанскими мастерами, а символом оригами в этой стране являются бумажные птички – «пахариты». Существует предположение, что впервые эта фигурка была сложена в Толедо в XII веке.

В 1937 году в Лондоне была издана первая в Европе книга по оригами «Изготовление бумажных игрушек». Ее автором стала Маргарет Кемпбелл. Благодаря ей стало легче складывать такие поделки оригами, как «птица», «водяная бомбочка» и «лягушка». А в 1946 году в английском детском журнале была опубликована схема складывания журавлика.

В России развитие данного вида искусства уходит своим корнями в глубокую древность, однако дать точный ответ на вопрос, когда и как впервые появилось первое оригами из бумаги на территории нашей страны, пока что невозможно. Существуют достоверные данные о том, что Лев Толстой умел складывать различные фигурки из бумаги и посвящал этому немало времени. Найдена его рукопись, где он упоминает о том, что одна женщина научила его делать петушков из бумаги, родиной которых является Япония. Эти «создания» очень забавно махали крыльями, когда их дергали за хвост. Толстой писал, что в дальнейшем все, кому он показывал, как складывать эту фигурку, приходили в восторг от увиденного. Если говорить о более позднем времени, то развитие оригами в России шло настолько стремительно, что уже в период Советского Союза не было ни одного школьника, которые не умел бы складывать бумажный кораблик, самолетик, стаканчик и многие другие предметы.

1.2. Виды оригами.

Прежде чем приступить к созданию поделок, стоит ознакомиться с видами техник. Существуют следующие виды оригами из бумаги [5]:

·        Модульное оригами. Является одним из самых популярных и трудоемких техник складывания фигур из бумаги. Его используют при создании большой, объемной фигуры, состоящей из нескольких блоков или, так называемых, модулей. Вначале складываются несколько составляющих из одинакового или разного размера бумаги, а потом они просто вкладываются друг в друга, превращаясь в законченную композицию. Сила трения не дает всей конструкции распасться. Ярким примером модульного оригами является объемный шар, который часто используют в праздничном декоре, и наверняка знаком многим.

·        Простое оригами – виды оригами, разработанные для новичков или для людей с ограниченными физическими возможностями. Впервые был разработан английским поклонником оригами Джоном Смитом. В данной системе можно использовать только складки горой и долиной. А это, в свою очередь, означает невозможность использования большинства сложных приемов из классической техники. Поэтому разрабатываются новые техники, которые позволяют достигать нужных результатов без сложных манипуляций.

·        Складывание по развертке. Это один из видов оригами, являющий собой чертеж, на котором уже видны все сгибы будущей модели. Складывание по развертке считается более сложным, нежели стандартные виды оригами, но оно дает не только само представление о том, как сложить фигуру, но и показывает, как данная схемы была разработана. Развертку используют и как метод создания новых диаграмм оригами.

·        Мокрое складывание. Виды техник оригами не обходятся без метода, разработанного Акирой Есидзявой, предусматривающим использование смоченной с помощью воды бумаги. Мокрое складывание широко используется для создания фигурок представителей флоры и фауны. Смоченная бумага позволяет сделать линии более плавными и выразительными, а также придать им некую жесткость. Для данного вида творчества подходит специальная бумага, при изготовлении которой добавляется водорастворимый клей.

1.3. Базовые формы оригами.

В международной литературе по оригами давно сложился определенный набор условных знаков, необходимых для того, чтобы зарисовать схему складывания даже самого сложного изделия. Помимо знаков, существует небольшой набор приемов, которые встречаются достаточно часто.

Большая часть условных знаков была введена в практику еще в середине XX века известным японским мастером Акирой Йошизавой. В последние десятилетия к этим знакам добавилось несколько новых.

Многие фигурки оригами на начальном этапе складываются одинаково, то есть имеют одну основу - базовую форму. База - это самая простая уже сложенная форма, из которой со временем могут появиться множество различных фигурок.

Сегодня в мире существуют следующие базовые формы (Приложение 1)

• Простые базовые формы: треугольник, книга, дверь, воздушный змей.
• Средние базовые формы: блин, рыба, двойной треугольник, двойной квадрат.
• Сложные базовые формы: птица, катамаран, лягушка.

1.4. Оригаметрия.

В конце XX века японский математик Хумиани Хузита, живущий в Италии, начал говорить про Теорию решения задач на построение перегибанием листа бумаги. Назвал он этот процесс оригаметрией, обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются методом складывания и перегибания. Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Геометрия - это и метод познания мира, и образ мышления, и язык, широко применяемый в жизни, и в частности в строительстве. Оригами - это вид творчества, вид искусства. И их взаимосвязь дает новый простор в развитии этих наук. И так определились, что оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач, которая выполняет роль фрагментарной иллюстрации решения геометрической задачи.

Основные понятия оригаметрии: точка, линия сгиба, квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку, точка принадлежит линии сгиба. В оригаметрии считается:

Роль прямых будут играть края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании. Роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

В основе оригаметрии лежат 6 аксиом, которые предложил Хумиани Хузита:

1.     Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.

2.     Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

3.     Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.

4.     Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

5.     Существует сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

6.     Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся.

Система аксиом А1 – А5 эквивалентна системе аксиом геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки.

Глава 2. Применение оригами в геометрии.

Все окружающие нас предметы имеют определенную форму, похожую на геометрические фигуры. Альбомный лист имеет форму прямоугольника. Кольцо, обруч напоминают своей формой окружность, а арена цирка, дно стакана или тарелка имеют форму круга. Апельсин, футбольный мяч, арбуз похожи на шар. Геометрические фигуры - шестигранный карандаш, египетские пирамиды. Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре, что буквально означает «землемерие». А в процессе складывания фигур оригами мы учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике. Первоначально на уроках геометрии с использованием оригами можно познакомиться с основными геометрическими фигурами (треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырехугольник), понятиями (сторона, угол, вершина угла, диагональ, смежные стороны; горизонтальные, вертикальные, наклонные линии; центр фигуры) и их свойствами. Работа по схемам, процесс складывания плоскостных фигур - это деятельность, направленная на развитие восприятия и мышления.

Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. С помощью перегибания листа бумаги можно получать интересные решения геометрических задач, свойства многих плоских фигур становятся настолько очевидными, что нет необходимости в дополнительных разъяснениях.

Из чего же состоит любая задача оригаметрии:

1.     Постановка задачи. Анализ условия, выделение заданных компонентов, исследование их свойств.

2.     Решение с помощью оригами. Проверка выполнения заданного условия или построение искомой фигуры.

3.     Математическое обоснование. Доказательство того, что в результате действительно получена фигура с искомыми свойствами.

Выделяют три группы задач, решаемых методом оригами:

Ø  задачи на построение. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач;

Ø  задачи на доказательство;

Ø  задачи на вычисление, т.е. при помощи перегибании мы получаем какой-то математический объект (угол, отрезок, фигура) и нам необходимо вычислить его параметр, но делаем это мы уже математически.

Для примера рассмотрим несколько задач [4]:

Задача 1: Деление прямого угла.

Откладывание угла в 30 или 60 градусов не представляет проблем. (Приложение 2, рис.1) Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого:

1.     Разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника.

2.     Проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию. Данную задачу можно продолжить и дальше, выполнив деление угла в 15 градусов. Просто деля полученные углы в 60 и 30 градусов пополам. [4]

Задача 2. Деление прямого угла на три равные части. (Приложение 2, рис.2)

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

Данную задачу можно рассмотреть в теме построение равностороннего треугольника.

Геометрические теоремы в оригами:

Теорема: сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющей форму произвольного треугольника. Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярную противоположной стороне - высоту треугольника. (Применяем аксиому 4: существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой). Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника (по аксиоме 2: существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки). Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом (а величина развернутого угла равна 180°). Следовательно, Zl+Z2+Z3=180° Теорема доказана. (Приложение 2, рис. 3)

Теорема: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство.

1) Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. (Приложение 2, рис. 4)

 Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, знакомишься с новыми геометрическими понятиями, основными определениями, и наглядно изучаешь закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. Применение искусства оригами на уроках помогает легче усвоить геометрический материал.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог выполненной работы, можно отметить, что оригами, как одно из направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии, выступая как наглядное и практическое средство подтверждения логических рассуждений.

Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, знакомишься с новыми геометрическими понятиями, основными определениями и наглядно изучаешь закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. Исследуя различные классы задач, понимаешь, что оригами уже само по своей природе является целым разделом геометрии, с помощью которого можно изучать и исследовать геометрические фигуры и понятия. Математика – является одной из сторон искусства оригами, при этом оригами является одним из способов изучения и понимания математики.

Занятие оригами оказывает положительное влияние на развитие человека. Совершенствуется мелкая моторика рук, движения пальцев становятся более точными, вырабатывается усидчивость. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужны аккуратность, внимание, сосредоточенность. Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность.

Цель проекта – исследовать возможности использования оригами в изучении геометрии – была достигнута.

В ходе проектной деятельности были выполнены все задачи: изучена и проанализирована литература по данной теме, систематизирован и подобран материал по использованию оригами на уроках геометрии.

Методы, выбранные для работы, можно оценивать как эффективные, поскольку именно они позволили достичь цели.

Практическая значимость моего индивидуального проекта заключается в том, что результаты исследования можно использовать на уроках геометрии, в дополнительном образовании и самообразовании.

В заключении отметим, что математика – является одной из сторон искусства оригами, при этом оригами является одним из способов изучения и понимания математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Энциклопедия оригами Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. – Санкт-Петербург, 2000.

2.     https://www.syl.ru/article/170897/new_istoriya-origami-istoriya-vozniknoveniya-origami - история возникновения оригами.

3.     Афонькин С.Ю., Капитонова И.В. «Оригами и геометрия». – Чебоксары, ЧГУ, 1993.

4.     С. Н. Белим. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г.

5.     https://fb.ru/article/284212/vidyi-origami-iz-bumagi - виды оригами.

Приложение 1.

Приложение 2.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Краткое описание документа:

Проектно-исследовательская работа по теме "Оригами - геометрия бумажного листа" показывает возможности использования оригами в изучении геометрии. Оригами, как одно из направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии, выступая как наглядное и практическое средство подтверждения логических рассуждений. Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, знакомишься с новыми геометрическими понятиями, основными определениями и наглядно изучаешь закономерности поведения двухмерной плоскости в трехмерном пространстве. Исследуя различные классы задач, понимаешь, что оригами уже само по своей природе является целым разделом геометрии, с помощью которого можно изучать и исследовать геометрические фигуры и понятия. Математика – является одной из сторон искусства оригами, при этом оригами является одним из способов изучения и понимания математики. Занятие оригами оказывает положительное влияние на развитие человека. Совершенствуется мелкая моторика рук, движения пальцев становятся более точными, вырабатывается усидчивость. Ведь чтобы получилась красивая фигурка, нужны аккуратность, внимание, сосредоточенность. Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность.