Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Производная функции одной переменной.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Производная функции одной переменной.

библиотека
материалов

Тема 4 . Производная функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием производной функции, её геометрическим, физическим и экономическим смыслом. Показать правила и приёмы дифференцирования.

План лекции:

  1. Задачи, приводящие к понятию производной.

  2. Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.

  3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

  4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

  5. Производная сложной и обратной функции.

  6. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

  7. Логарифмическое дифференцирование.


  1. Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1: Скорость прямолинейного движения.

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Известен закон движения точки, т.е. зависимость координаты тела от времени S=S(t), которая каждому значению t ставит в соответствие определённое расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О (начала отсчёта).

Чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо пройденный путь (изменение координаты hello_html_717e9e0a.gif за время hello_html_ec371c4.gif) поделить на прошедшее время hello_html_ec371c4.gif

hello_html_m548e70c7.gif

Чем меньше hello_html_ec371c4.gif, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени hello_html_ec371c4.gif называется скоростью движения точки в данный момент времени t (или мгновенной скоростью движения). hello_html_m2f54e31b.gif

Задача 2: Касательная к кривой.

hello_html_2ec3422c.gif

Возьмём на непрерывной кривой две точки М и N. Прямую, проходящую через эти две точки называют секущей. Пусть точка N, двигаясь вдоль кривой, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ, которое и называют касательной к данной кривой в данной точке М.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой hello_html_538af56a.gif, имеющей в точке hello_html_1a1e3168.gif невертикальную касательную. Найдём её угловой коэффициент hello_html_m1b84ada.gif, где α ‒ угол наклона касательной положительному направлению оси Ох.

Для этого зададим приращение аргумента hello_html_48dc563a.gif, получим на кривой точку N с абсциссой hello_html_d046a23.gif; проведём через точки М и N секущую. Обозначим φ угол между секущей и осью Ох. Угловой коэффициент секущей равен

hello_html_6f432aed.gifгде

hello_html_25b2e683.gifприращение функции.

При hello_html_48dc563a.gif точка N неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Поэтому угловой коэффициент касательной равен

hello_html_33df637c.gif

Задача 3: Предельные издержки производства.

Пусть К(х) ‒ издержки на производство х единиц продукции. Если количество продукции увеличилось на hello_html_48dc563a.gif, то издержки возрастут на величину hello_html_m61d60feb.gif Средние издержки на производство hello_html_48dc563a.gif единиц продукции составят hello_html_49ba84.gif. Предел hello_html_1ceff156.gif называют предельными издержками производства.

  1. Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.

Решение всех задач свелось к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называют производной функции hello_html_538af56a.gif в точке х0.

hello_html_60f55dc0.gif

Функция hello_html_538af56a.gif, имеющая производную в каждой точке интервала hello_html_3875fce5.gif, называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

К вычислению пределов указанного вида приводят решения и множества других задач. Так, если hello_html_m69109871.gif ‒ выручка от продажи х единиц товара, то

hello_html_m33916ea1.gifпредельная выручка.

Если hello_html_737645f3.gif ‒ количество продукта, произведённого к времени t. Средняя производительность на промежутке времени hello_html_4acd572d.gif равна

hello_html_3a0e8d95.gif

Величина hello_html_m5cfd9f38.gif представляет собой производительность в момент времени t, т.е. скорость изменения количества произведённого продукта.

Обобщая, можно сказать, что если функция hello_html_538af56a.gif описывает какой-либо процесс, то её производная есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной: производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции hello_html_538af56a.gif в точке с абсциссой х0.

  1. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема 5.1: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функция hello_html_538af56a.gif дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно существует предел hello_html_m59f2d7fa.gif Отсюда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем hello_html_m2a982d0f.gif, где α ‒ б.м.ф. при hello_html_m7a0d89de.gif, т.е. hello_html_31accf5a.gif.

Переходя к пределу при hello_html_m7a0d89de.gif получаем hello_html_5e6212cd.gif. А это и означает, что функция hello_html_538af56a.gif непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция hello_html_1da6a2ca.gif непрерывна, но не дифференцируема в точке х0=0.

  1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Нахождение производной непосредственно по определению часто связано с определёнными трудностями, поэтому на практике функции дифференцируют с помощью ряда формул и правил.

Теорема 5.2: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: hello_html_4cca4ec0.gif.

Обозначим hello_html_m513d1a7b.gif. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

hello_html_m3942fe2b.gif

hello_html_440c2c8a.gif

Теорема 5.3: Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый.

hello_html_43ab62e0.gif

Можно показать, что:

а) hello_html_1222d544.gif, где hello_html_59279f52.gif;

б) hello_html_1ff5f785.gif

Теорема 5.4: Производная частного двух функций hello_html_m613a30ac.gif, если hello_html_m46214670.gif равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

hello_html_50d0ab69.gif, hello_html_58ae1732.gif.

Следствие 5.1: hello_html_15766506.gif

Следствие 5.2: hello_html_16f8f932.gifгде hello_html_3ad688e3.gif

  1. Производная сложной и обратной функции.

Пусть hello_html_m690be3f7.gif и hello_html_50f3b69.gif, тогда hello_html_538627f4.gif ‒ сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 5.5: Если функция hello_html_50f3b69.gif имеет производную hello_html_bbd053a.gif в точке х, а функция hello_html_m690be3f7.gif имеет производную hello_html_cd917d3.gif в соответствующей точке hello_html_50f3b69.gif, то сложная функция hello_html_538627f4.gif имеет производную hello_html_m7d757163.gif в точке х, которая находится по формуле:

hello_html_6d4655e1.gifили hello_html_m66ceca2b.gif

По условию hello_html_e65744.gif и hello_html_4bcf1e8d.gif. Отсюда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем:

hello_html_4b96d40.gifили hello_html_m21444097.gif где hello_html_5b5290de.gif при hello_html_m7700ee3d.gif

hello_html_m618ed336.gifили hello_html_m4fb9674c.gif где hello_html_m3c07e3.gif при hello_html_7a1cfca8.gif

Подставим или hello_html_m21444097.gif где hello_html_5b5290de.gif при hello_html_m55aeaa71.gif в верхнее равенство:

hello_html_m3c255f32.gif

Раскроем скобки и разделим полученное равенство на hello_html_48dc563a.gif

hello_html_2a14f43c.gif

Перейдём к пределу при hello_html_7a1cfca8.gif, получим: hello_html_6d4655e1.gif

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остаётся в силе, если промежуточных аргументов несколько.

Теорема 5.6: Если функция hello_html_538af56a.gif строго монотонная на интервале hello_html_3875fce5.gif и имеет неравную нулю производную hello_html_m5d92b6eb.gif в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция hello_html_m59775539.gif также имеет производную hello_html_m72b76790.gif в соответствующей точке, определяемую равенством

hello_html_m1d7465ef.gifили hello_html_m51f1dbe8.gif

Пример 1: Найти производную функции hello_html_m4641ba69.gif.

Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций: hello_html_m1dfc3ebe.gif, где hello_html_m1a1a0d18.gif, где hello_html_63e00d4f.gif, где hello_html_7942ddfb.gif По правилу дифференцирования сложной функции, получаем:

hello_html_43bea3b3.gif

Пример 2: Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную hello_html_m7d757163.gif для функции hello_html_7e82852.gif.

Решение: Обратная функция hello_html_612c1a36.gif имеет производную hello_html_m3d50f444.gif

Следовательно, hello_html_5b091083.gif

  1. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Если неявная функция задана уравнением hello_html_m5db0cb0d.gif, то для вычисления производной от y по х нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у/.

Пример 3: Найти производную функции, заданной уравнением:

hello_html_m53937a0.gif.

Решение: Дифференцируем по х равенство hello_html_m53937a0.gif. Получаем:

hello_html_24087526.gif, откуда следует

hello_html_3308a62.gif, т.е. hello_html_m3edf4cdc.gif

Пhello_html_m65c0d6cb.gifусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений hello_html_52bb6f3e.gif где t ‒ вспомогательная переменная, называемая параметром.

hello_html_2168c1a4.gif

Полученная формула позволяет находить производную hello_html_m69a56287.gif от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример 4: Пусть hello_html_a81c42b.gif Найти hello_html_m69a56287.gif.

Решение: Имеем hello_html_5ce1a2f2.gifhello_html_59d47591.gif Следовательно, hello_html_m204b2cdf.gif

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно, hello_html_m2224f50d.gif Тогда hello_html_254c5ccc.gif Отсюда hello_html_m9065661.gif т.е. hello_html_m741acbb8.gif


  1. Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 5: Найти производную функции hello_html_2aaa23f6.gif

Решение: Можно найти производную с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем функцию:

hello_html_maa761ce.gif

Дифференцируем это равенство по х:

hello_html_27c37cd7.gif

Выражаем hello_html_m6f225eda.gif: hello_html_7ef5257e.gif

т. е. hello_html_m5c994f76.gifhello_html_21bdb978.gif

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция hello_html_m14d2d559.gif где hello_html_541e511a.gif и hello_html_3a6bf2.gif ‒ заданные дифференцируемые функции от х. Найдём производную этой функции.

hello_html_34ae962f.gifhello_html_m28e54a1a.gifhello_html_m256399da.gif,

т. е. hello_html_5fbbfe2a.gif или hello_html_m5bf19de.gif

Сформулируем правило запоминания последней формулы: производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии hello_html_m5fbb333.gif, и производной степенной функции при условии hello_html_m324e89de.gif.

8



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Материал предназначен для преподавания математики в средней школе, а также в учреждениях среднего специального образования.

Цель лекции: познакомить с понятием производной функции, её геометрическим, физическим и экономическим смыслом. Показать правила и приёмы дифференцирования.

План лекции:

1.       Задачи, приводящие к понятию производной.

2.       Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.

3.       Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

4.       Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

5.       Производная сложной и обратной функции.

6.       Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

7.       Логарифмическое дифференцирование.

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1070
Номер материала 462964
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх