- 27.03.2015
- 4437
- 77
Тема 4 . Производная функции одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятием производной функции, её геометрическим, физическим и экономическим смыслом. Показать правила и приёмы дифференцирования.
План лекции:
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.
3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
5. Производная сложной и обратной функции.
6. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
7. Логарифмическое дифференцирование.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача 1: Скорость прямолинейного движения.
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Известен закон движения точки, т.е. зависимость координаты тела от времени S=S(t), которая каждому значению t ставит в соответствие определённое расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О (начала отсчёта).
Чтобы найти среднюю скорость движения,
необходимо пройденный путь (изменение координаты 
за
время 
) поделить на прошедшее время
Чем меньше ,
тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент
времени t. Предел средней скорости
движения при стремлении к нулю промежутка времени называется
скоростью движения точки в данный момент времени t
(или мгновенной скоростью движения). 
Задача 2: Касательная к кривой.
|
|
Возьмём на непрерывной кривой две точки М и N. Прямую, проходящую через эти две точки называют секущей. Пусть точка N, двигаясь вдоль кривой, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ, которое и называют касательной к данной кривой в данной точке М.
Рассмотрим теперь график непрерывной
кривой 
, имеющей в точке 
невертикальную
касательную. Найдём её угловой коэффициент 
, где α
‒ угол наклона касательной положительному направлению оси Ох.
Для этого зададим приращение
аргумента 
, получим на кривой точку N с абсциссой 
; проведём через точки М
и N секущую. Обозначим φ
угол между секущей и осью Ох. Угловой коэффициент секущей равен
где
‒
приращение функции.
При точка N
неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая, поворачиваясь около
точки М, переходит в касательную. Поэтому угловой коэффициент касательной равен
Задача 3: Предельные издержки производства.
Пусть К(х) ‒ издержки на
производство х единиц продукции. Если количество продукции увеличилось
на , то издержки возрастут на величину 
Средние издержки на производство единиц продукции составят 
. Предел 
называют
предельными издержками производства.
2. Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.
Решение всех задач свелось к
вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называют производной функции
в точке х0.
Функция ,
имеющая производную в каждой точке интервала 
, называется
дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения
производной функции называется дифференцированием.
К вычислению пределов указанного вида
приводят решения и множества других задач. Так, если 
‒
выручка от продажи х единиц товара, то
‒
предельная выручка.
Если 
‒
количество продукта, произведённого к времени t.
Средняя производительность на промежутке времени 
равна
Величина 
представляет
собой производительность в момент времени t,
т.е. скорость изменения количества произведённого продукта.
Обобщая, можно сказать, что если
функция описывает какой-либо процесс, то её
производная есть скорость протекания этого процесса.
Геометрический смысл производной:
производная в точке х0 равна угловому коэффициенту
касательной, проведённой к графику функции в
точке с абсциссой х0.
3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Теорема 5.1: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
r Пусть функция дифференцируема в некоторой точке х.
Следовательно существует предел 
Отсюда по теореме о
связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем 
, где α ‒ б.м.ф. при 
, т.е. 
.
Переходя к пределу при получаем 
. А
это и означает, что функция непрерывна в точке х.
n
Обратная теорема неверна: непрерывная
функция может не иметь производной. Например, функция 
непрерывна,
но не дифференцируема в точке х0=0.
4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
Нахождение производной непосредственно по определению часто связано с определёнными трудностями, поэтому на практике функции дифференцируют с помощью ряда формул и правил.
Теорема 5.2:
Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных
этих функций: 
.
r Обозначим 
. По определению производной и основным
теоремам о пределах получаем:
n
Теорема 5.3: Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый.
Можно показать, что:
а)
, где 
;
б)
Теорема 5.4: Производная
частного двух функций 
, если 
равна
дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на
знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель есть квадрат
прежнего знаменателя.
, 
.
Следствие 5.1: 
Следствие 5.2: 
где
5. Производная сложной и обратной функции.
Пусть 
и 
, тогда
‒ сложная функция с промежуточным
аргументом и и независимым аргументом х.
Теорема 5.5: Если
функция имеет производную 
в
точке х, а функция имеет производную 
в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную 
в
точке х, которая находится по формуле:
или 
r По условию 
и 
.
Отсюда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции,
имеем:
или 
где 
при 
или 
где 
при 
Подставим или 
где
при 
в
верхнее равенство:
Раскроем скобки и разделим полученное
равенство на 
Перейдём к пределу при 
, получим:
n
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остаётся в силе, если промежуточных аргументов несколько.
Теорема 5.6:
Если функция 
строго монотонная на интервале 
и имеет неравную нулю производную 
в произвольной точке этого интервала, то
обратная ей функция 
также имеет производную 
в соответствующей точке, определяемую
равенством
или 
Пример 1: Найти
производную функции 
.
Решение:
Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых»
функций: 
, где 
, где 
, где 
По
правилу дифференцирования сложной функции, получаем:
Пример 2:
Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции 
.
Решение:
Обратная функция 
имеет производную 
Следовательно, 
6. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
Если неявная функция
задана уравнением 
, то для вычисления производной
от y
по х нет необходимости разрешать уравнение относительно y:
достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом
у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить
относительно у/.
Пример 3: Найти производную функции, заданной уравнением:
.
Решение:
Дифференцируем по х равенство 
. Получаем:
,
откуда следует
,
т.е. 
Пусть
зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически
в виде двух уравнений 
где t
‒ вспомогательная переменная, называемая параметром.
Полученная формула позволяет находить
производную 
от функции, заданной параметрически, не
находя непосредственной зависимости у от х.
Пример 4: Пусть
Найти .
Решение:
Имеем 
Следовательно,
В этом можно убедиться, найдя
непосредственно зависимость у от х. Действительно, 
Тогда 
Отсюда
т.е. 
7. Логарифмическое дифференцирование.
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 5: Найти
производную функции 
Решение: Можно найти производную с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем функцию:
Дифференцируем это равенство по х:
Выражаем 
: 
т. е. 
Существуют функции, производные
которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится
так называемая степенно-показательная функция 
где 
и 
‒ заданные дифференцируемые функции от х.
Найдём производную этой функции.
Þ
Þ
,
т. е. 
или
Сформулируем правило запоминания
последней формулы: производная степенно-показательной функции равна сумме
производной показательной функции, при условии 
, и
производной степенной функции при условии 
.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Материал предназначен для преподавания математики в средней школе, а также в учреждениях среднего специального образования.
Цель лекции: познакомить с понятием производной функции, её геометрическим, физическим и экономическим смыслом. Показать правила и приёмы дифференцирования.
План лекции:
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.
3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
5. Производная сложной и обратной функции.
6. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.
7. Логарифмическое дифференцирование.
6 672 254 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Луконина Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Мини-курс
8 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.