Тема 4 . Производная функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием производной функции, её геометрическим, физическим и экономическим смыслом. Показать правила и приёмы дифференцирования.

План лекции:

1.     Задачи, приводящие к понятию производной.

2.     Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.

3.     Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

4.     Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

5.     Производная сложной и обратной функции.

6.     Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

7.     Логарифмическое дифференцирование.

1.        Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача 1: Скорость прямолинейного движения.

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Известен закон движения точки, т.е. зависимость координаты тела от времени S=S(t), которая каждому значению t ставит в соответствие определённое расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О (начала отсчёта).

Чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо пройденный путь (изменение координаты  за время ) поделить на прошедшее время

Чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени  называется скоростью движения точки в данный момент времени t (или мгновенной скоростью движения).        

Задача 2: Касательная к кривой.

Возьмём на непрерывной кривой две точки М и N. Прямую, проходящую через эти две точки называют секущей. Пусть точка N, двигаясь вдоль кривой, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ, которое и называют касательной к данной кривой в данной точке М.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой , имеющей в точке  невертикальную касательную. Найдём её угловой коэффициент , где α ‒ угол наклона касательной  положительному направлению оси Ох.

Для этого зададим приращение аргумента , получим на кривой точку N с абсциссой ; проведём через точки М и N секущую. Обозначим φ угол между секущей и осью Ох. Угловой коэффициент секущей равен

 где

 ‒ приращение функции.

При  точка N неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Поэтому угловой коэффициент касательной равен

Задача 3: Предельные издержки производства.

Пусть К(х) ‒ издержки на производство х единиц продукции. Если количество продукции увеличилось на , то издержки возрастут на величину  Средние издержки на производство  единиц продукции составят . Предел  называют предельными издержками производства.

2.        Определение производной. Её механический, геометрический и экономический смысл.

Решение всех задач свелось к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называют производной функции  в точке х₀.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

К вычислению пределов указанного вида приводят решения и множества других задач. Так, если  ‒ выручка от продажи х единиц товара, то

 ‒ предельная выручка.

Если  ‒ количество продукта, произведённого к времени t. Средняя производительность на промежутке времени  равна

Величина  представляет собой производительность в момент времени t, т.е. скорость изменения количества произведённого продукта.

Обобщая, можно сказать, что если функция  описывает какой-либо процесс, то её производная есть скорость протекания этого процесса.

Геометрический смысл производной: производная  в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой х₀.

3.        Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема 5.1: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

r Пусть функция  дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно существует предел  Отсюда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем , где α ‒ б.м.ф. при , т.е. .

Переходя к пределу при  получаем . А это и означает, что функция  непрерывна в точке х.                                                     n

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция  непрерывна, но не дифференцируема в точке х₀=0.

4.        Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Нахождение производной непосредственно по определению часто связано с определёнными трудностями, поэтому на практике функции дифференцируют с помощью ряда формул и правил.

Теорема 5.2: Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

r Обозначим . По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

n

Теорема 5.3: Производная произведения двух функций равна сумме  произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый.

Можно показать, что:

а) , где ;

б)

Теорема 5.4: Производная частного двух функций , если  равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

, .

Следствие 5.1: 

Следствие 5.2:    где

5.        Производная сложной и обратной функции.

Пусть  и , тогда  ‒ сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 5.5: Если функция  имеет производную   в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  имеет производную  в точке х, которая находится по формуле:

    или    

r По условию  и . Отсюда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, имеем:

    или    где  при

    или    где  при

Подставим или    где  при  в верхнее равенство:

Раскроем скобки и разделим полученное равенство на

Перейдём к пределу при , получим:

n

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остаётся в силе, если промежуточных аргументов несколько.

Теорема 5.6: Если функция  строго монотонная на интервале  и имеет неравную нулю производную  в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция  также имеет производную  в соответствующей точке, определяемую равенством

   или    

Пример 1: Найти производную функции .

Решение: Данная функция является сложной. Её можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где , где , где  По правилу дифференцирования сложной функции, получаем:

Пример 2: Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную  для функции .

Решение: Обратная функция  имеет производную

Следовательно,   

6.        Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Если неявная функция задана уравнением , то для вычисления производной от y по х нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у^/.

Пример 3: Найти производную функции, заданной уравнением:

.

Решение: Дифференцируем по х равенство . Получаем:

, откуда следует

, т.е.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений  где t ‒ вспомогательная переменная, называемая параметром.

Полученная формула позволяет находить производную  от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример 4: Пусть   Найти .

Решение: Имеем    Следовательно,  

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно,  Тогда  Отсюда  т.е.

7.        Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 5: Найти производную функции

Решение: Можно найти производную с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем функцию:

Дифференцируем это равенство по х:

Выражаем : 

т. е.   

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция  где  и  ‒ заданные дифференцируемые функции от х. Найдём производную этой функции.

    Þ       Þ    ,

т. е.    или   

Сформулируем правило запоминания последней формулы: производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии  , и производной степенной функции при условии .