Проверка истинности логического выражения с помощью координатной плоскости (подготовка к ЕГЭ)

Проверка истинности логического выражения с помощью координатной плоскости (графически)

Одним из заданий ЕГЭ по информатике является проверка истинности логического выражения (задание №18). Рассмотрим несколько типичных задач, в которых логическое выражение состоит из нескольких линейных неравенств, объединенных логическими операциями. Одно или два из этих неравенств зависят от целого числа А, минимальное или максимальное значение которого требуется найти в задаче.

Для решения нам требуется знать базовые логические операции, их геометрический смысл, а также простейшие сведения из курса алгебры.

Теоретические сведения из курса алгебры

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа. Графиком линейной функции является прямая.

Ø В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:

• если k>0, то функция y=kx+b возрастает

• если k<0, то y=kx+b функция убывает

Ø Неравенство y<kx+b описывает множество точек на координатной плоскости, расположенных строго под прямой y=kx+b. Аналогично, неравенство y>kx+b описывает множество точек на координатной плоскости, расположенных строго выше прямой y=kx+b.

Ø При k > 0 чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX. Т.е. если k₁>k₂ , то a₁>a₂ . При k < 0 чем больше модуль |k|, тем больше угол наклона прямой к отрицательному направлению оси OX. Т.е. если |k₁| > |k₂| , то a₁>a₂ :

              

Ø График функции y=k₁x+b₁ параллелен графику функции y=k₂x+b₂, если k₁=k₂ :

Рассмотрим два типа задач по данной теме.

I. Для заданного множества точек координатной плоскости должно выполняться неравенство, зависящее от переменной А.

Задача №1. Определите наименьшее целое число A, при котором выражение

(2y + 4x < A) ∨ (x + 2y > 80)   (*)
истинно для любых целых неотрицательных значений x и y?

Решение:

1. Если вторая скобка данного в условии выражения истинна (т.е. равна 1), то все выражение истинно  независимо от числа А.
2. Рассмотрим случай, когда вторая скобка равна 0. Тогда первая скобка должна быть равна 1.

Получим систему неравенств:

3.      Решим эту систему графически при х≥0, у≥0

4.      Неравенство  при х≥0, у≥0 соответствует зеленой области на координатной плоскости:

5.      Для любой точки из этой области логическое  выражение (x + 2y > 80) ложно, т.е. равно 0. Чтобы выражение (*) было истинным, для всех точек зеленой области должно выполняться неравенство y < A/2 - 2х, т.е. они должны быть строго под прямой y=A/2 - 2x.

Положение прямой y=А/2-2х зависит от числа А. Число А может принимать различные значения. При изменении числа А в уравнении этой прямой будут получаться параллельные прямые. Чем меньше число А, тем наша прямая ближе к точке С. При построении прямой учитываем угол наклона к оси абсцисс: 2 > .

6.      Точка С – точка пересечения прямой y=40-x/2 с осью абсцисс, т.е С(80; 0).

7.      Точка С тоже должна быть строго под прямой y=A/2 - 2x, т.к. должно выполняться строгое неравенство . Подставим координаты точки С в это неравенство:

0<A/2-2×80

A>320

Т.к. число А должно быть наименьшим, то А=321.

Ответ:  321.

Задача №2. Определите наименьшее целое число A, при котором выражение

(y + 4x < A) ∨ (x + 4y > 120) ∨ (5x–2y > 50)  (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1. Если вторая или третья скобки данного в выражении  (*) истинны (т.е. равны 1), то все выражение истинно  независимо от числа А.
2. Рассмотрим случай, когда вторая и третья скобки равны 0. Тогда первая скобка должна быть равна 1.

Получим систему неравенств:

3.      Решим эту систему графически при х>0, у>0, т.е. х³1, у³1 :

4. Для первых двух неравенств при х³1, у³1 получим зеленую область.

5.      Любая точка из этой области обращает  выражение (x + 4y > 120) ∨ (5x–2y > 50) в 0. Чтобы выражение (*) было истинным, для всех точек зеленой области должно выполняться неравенство y + 4x < A, т.е. они должны быть строго под прямой y=A-4x.

6.   Надо подобрать число А в неравенстве  , чтобы все точки зеленой области ему удовлетворяли (т.е. лежали под прямой y=-4х+A). Положение прямой
y=-4х+A зависит от числа А. Число А может принимать различные значения. При изменении числа А в уравнении этой прямой будут получаться параллельные прямые. Чем меньше число А, тем наша прямая ближе к точке В. При построении прямой учитываем угол наклона к оси абсцисс: 4 > .

7.      Найдем координаты точки В, которая является точкой пересечения прямых у=-х/4+30 и у=2,5х-25:

Решив систему, получим, что точка В имеет координаты (20;25).

8.      Точка В тоже находится строго под прямой y=-4x+A. Подставим координаты точки В в неравенство y <-4х+A :

25 < -4∙20+A

А>105

Т.к. надо найти наименьшее целое число, то А=106.

Ответ:  106.

Задача №3. Определите наибольшее целое число A, при котором выражение

(3y - x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < -30) (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1. Если вторая или третья скобки данного в выражении (*) истинны (т.е. равны 1), то все выражение истинно независимо от А.
2. Рассмотрим случай, когда вторая и третья скобки равны 0. Тогда первая скобка должна быть равна 1.
3. Получим систему неравенств:

4.      Решим эту систему графически при х>0, у>0, т.е. х³1, у³1:

5.      Для первых двух неравенств этой системы при х≥1, у≥1 получим зеленую область:

6.      Надо подобрать число А в третьем неравенстве системы, чтобы все точки зеленой области ему удовлетворяли (т.е. лежали над прямой y=x/3+A/3). Положение прямой
y=х/3+A/3 зависит от числа А. При изменении числа А будут получаться параллельные прямые. Чем больше число А, тем наша прямая ближе к точке С. При построении прямой учитываем угол наклона к оси абсцисс:  ..

7.      Найдем координаты точки С, решив систему:

Точка С имеет координаты (32;1).

8.      Точка С тоже должна быть выше прямой y=x/3+A/3. Подставим координаты точки С в неравенство системы y>x/3+A/3:

1 > 32/3+A/3

А<-29

Т.к. надо найти наибольшее целое число, то А=-30

Ответ:  -30

В следующих задачах область точек зависит от переменной А.

II. Для множества точек координатной плоскости, зависящего от переменной А, должно выполняться некоторое дополнительное условие.

Задача №1. Определите наибольшее целое число A, при котором выражение

(5y + 7x ¹ 129) ∨ (А < 3х) ∨ (А< 4у)    (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1.       Если 5y + 7x ¹ 129, то выражение (*) будет истинно независимо от значений А.

2. . Поэтому рассмотрим случай, когда 5y + 7x = 129.

Тогда должно быть истинно (A < 3x) ∨ (A < 4y) =1 для любых целых положительных значений x и y. Т.е. получаем систему неравенств:

Это соответствует розовой области:

Эта розовая область зависит от значения переменной А, т.е. границы этой области подвижны. Любая точка из этой области обращает  выражение (А < 3х) ∨ (А< 4у)  в 1. Надо подобрать А, чтобы точки прямой 5y + 7x = 129 полностью оказались в розовой области при х≥1 и у≥1. Если часть точек прямой окажется вне этой области, то для координат этих точек выражение (*) будет равно 0.

3.      Прямая 5y + 7x = 129 должна быть полностью в розовой области для любых целых положительных значений x и y (т.е. при х≥1 и у≥1). Чтобы А было наибольшим, прямая должна проходить через точку В(А/3; А/4)

4.   Подставим координаты точки В в уравнение прямой:  и найдем значение переменной А. Из уравнения получаем А=36.

5.      Но сама точка В не должна попадать на границу розовой области, т.е. значение А должно быть меньше 36 (в этом случае пунктирные границы будут проходить левее и ниже, чем на рисунке). Тогда точка В окажется строго внутри розовой области. Поэтому А=35.

Ответ:  35.

Задача №2. Определите наибольшее целое число A, при котором выражение

(5y + 7x ¹ 129) ∨ (А ≥ 3х) ∨ (А ≥ 4у)    (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1.      Если 5y + 7x ¹ 129, то выражение (*) будет истинно независимо от значений А.   

2. Поэтому рассмотрим случай, когда 5y + 7x = 129.

Тогда должно быть истинно (A ≥ 3x) ∨ (A ≥ 4y) =1 для любых целых положительных значений x и y. Т.е. получаем систему неравенств:

Это соответствует розовой области:

Эта розовая область зависит от значения переменной А, т.е. границы этой области подвижны. Любая точка из этой области обращает  выражение (А ≥ 3х) ∨ (А ≥ 4у)  в 1. Надо подобрать А, чтобы точки прямой 5y + 7x = 129 полностью оказались в розовой области при х≥1 и у≥1. Если часть точек прямой окажется вне этой области, то для координат этих точек выражение (*) будет равно 0.

3.      Точки прямой 5y + 7x = 129 в первой четверти должны полностью находиться в розовой области. Т.к. надо найти наибольшее значение А, то прямая должна проходить через точку В (А/3; А/4).

4.   Подставим координаты точки В в уравнение прямой:

Из уравнения получаем А=36.

5.      Точка В может лежать на границе розовой области, т.к. А ≥ 3х и  А ≥ 4у – нестрогие неравенства. Поэтому А=36.

Ответ:  36.

Задача №3. Определите наибольшее целое число A, при котором выражение

(3y - 9x + 51 ¹ 0) ∨ (А < 6х) ∨ (А< 3у)    (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1.      Если 3y - 9x + 51¹0, то выражение (*) будет истинно независимо от значений А.   

2. Поэтому рассмотрим случай, когда 3y - 9x+51 = 0.

Тогда должно быть истинно (A < 6x) ∨ (A < 3y) =1 для любых целых положительных значений x и y. Т.е. получаем систему неравенств:

Это соответствует розовой области:

Эта розовая область зависит от значения переменной А, т.е. границы этой области подвижны. Любая точка из этой области обращает  выражение (А < 6х) ∨ (А < 3у)  в 1.

3.      Прямая 3y - 9x+51 = 0 должна быть полностью в розовой области для любых целых положительных значений x и y (т.е. при х≥1 и у≥1). Если часть точек прямой окажется вне этой области, то для координат этих точек выражение (*) будет равно 0. Чтобы прямая оказалась в розовой области, она может проходить через точку В(А/6; 1) или точку С(1; А/3). Подставим координаты точек В и С в уравнение нашей прямой, чтобы найти А.

·         если прямая проходит через точку С, то А=-42

·         если прямая проходит через точку В, то А=36.

4.      Т.к. требуется найти наибольшее значение переменной А, то прямая должна пройти через точку В.

5.      Но сама точка В не должна попадать на границу розовой области, т.к. неравенство  – строгое, т.е. значение А должно быть меньше 36 (в этом случае пунктирные границы будут проходить левее и ниже, чем на рисунке). Тогда точка В окажется строго внутри розовой области. Поэтому А=35.

Ответ:  35.

Задача №4. Определите наибольшее целое число A, при котором выражение

(2у + х ¹ 17) ∨ (A > 7x) Ù (A > 3y)     (*)
истинно для любых целых положительных значений x и y?

Решение:

1.      Если 2у + х ¹ 17, то выражение (*) будет истинно независимо от значений А.  

2.      Поэтому рассмотрим случай, когда 2у+ х = 17.

Тогда должно быть истинно (A >7x) Ù (A > 3y) = 1 для любых целых положительных значений x и y. Т.е. получаем систему неравенств:

Это соответствует розовой области:

Эта розовая область зависит от значения переменной А, т.е. границы этой области подвижны. Любая точка из этой области обращает  выражение (A > 7x) Ù (A > 3y) в 1.

3.      Прямая 2у+ х = 17 должна быть полностью в розовой области для любых целых положительных значений x и y (т.е. при х≥1 и у≥1). Если часть точек прямой окажется вне этой области, то для координат этих точек выражение (*) будет равно 0. Чтобы А было наименьшим, прямая у=А/3 должна проходить через точку В или прямая у=А/7 должна проходить через точку С. Рассмотрим эти точки В(1; 8) и С(15;1). Обе эти точки должны попадать в розовую область.

Чтобы точка В попала в розовую область:

Чтобы точка С попала в розовую область:

Таким образом, получаем систему:

Решение этой системы A>105. Наименьшее целое значение А, удовлетворяющее этому условию А=106.

Ответ:  106