Рабочая программа учебного курса: Решение уравнений и неравенств спапаметрами

[Введите текст]

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №12»

Рабочая программа  учебного курса

«Решение уравнений и неравенств   с параметрами»

Автор-составитель:

                                                                                                                                    Латыпова                         Зугура

Минигалимовна,

                                                                                                                                    Учитель    математики,     высшей

квалификационной категории

Нижневартовск

2020

Аннотация

Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике. Практика показывает, что они представляют для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать  во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любом высшем учебном заведении. Задачи с параметрами относятся к нестандартным задачам, требующие от учащихся умения заниматься аналитической работой, формировать навыки исследовательского труда, способствуют развитию гибкости мышления, умения переключаться с одного способа решения на другой.

Актуальность и перспективность опыта, его практическая значимость

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета и подготовки учащихся к продолжению образования.

Новизна опыта

Разработана и апробирована программа элективного курса. Систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Результативность

Учащиеся более уверенно решают нестандартные задачи, задачи с параметрами. Повысилось качество подготовки учащихся к итоговой аттестации и к сдаче ЕГЭ.

Адресная направленность

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузы.

Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Принятая в Концепции гибкая система профильного обучения предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, осваиваемых старшеклассниками. Эта система включает в себя курсы трех типов: базовые общеобразовательные; профильные общеобразовательные; элективные.

Единый государственный экзамен-это словосочетание знакомо сегодня едва ли не каждой семье, в которой есть школьник.

Одной из целей проведения ЕГЭ является совмещение итоговой аттестации выпускников и вступительных испытаний для поступления в вузы. Еще одна из целей введения ЕГЭ – попытка улучшения качества образования в России за счет более высокой мотивации на успешное его прохождение. Теперь детей надо готовить к экзаменам по-иному, так, чтобы они сдавали их успешно, а результаты можно было сравнить. Выдерживать такие экзамены – новая задача, как для школьников, так и для педагогов. 

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. 

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе. 

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами».

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся.

Пояснительная записка

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьника, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

В средней школе недостаточно рассматриваются уравнения с параметрами. Но с понятием параметра (не употребляя этот термин) встречаются начиная с 7 – го класса, когда изучают линейное уравнение ах = в, и в 8 классе при изучении квадратного уравнения ах² +вх +с=0.

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, но часто встречается на выпускных экзаменах. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью близкой  к  исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы, но и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим, на первых порах при работе над этой темой ученикам предлагаются простые решаемые по алгоритму задачи, с последующим усложнением задач.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определенных умственных навыках. В процессе решения задачи с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются  индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, т.е. с их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет подготовить учащихся к поступлению в ВУЗ, тем самым, исключая противоречие между требованиями системы высшего образования и итоговой подготовкой выпускников учреждений среднего образования.

Изучение курса «Уравнения и неравенства с параметрами» способствует процессу самоопределения  учащихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ребенка в процесс самостоятельного построения знаний.

Программа курса по выбору «Уравнения и неравенства  с параметрами »  предполагает углубленное изучение и отработку как основных методов решения параметрических уравнений и неравенств, так и решение нестандартных, олимпиадных и конкурсных задач вступительных экзаменов в ВУЗы, где предъявляются повышенные требования к математической подготовке абитуриентов.

 Курс построен как углубленное изучение вопроса и является развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающей научно – теоретическое и алгоритмическое мышление и направлено на развитие самостоятельной исследовательской деятельности. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень трудности повышенный.

Данный курс призван помочь учителям общеобразовательных средних учебных заведений, а также образовательных структур нового типа в решении следующих задач:

1.  углубление и систематизация знаний по важнейшим темам курса математики 9 - 11-го класса;

2.  обучение учащихся современным методам решения задач.

Основными целями  курса по выбору являются:

1.      формирование основ научного мировоззрения, базирующихся на фундаментальных знаниях математики,

2.      формирование устойчивых знаний по темам, представляющих ядро школьной математики,

3.      систематизация, углубление и обобщение полученных знаний в процессе изучения курса, 4. выявление и развитие творческих способностей и логического мышления учащихся.

Задачами  курса по выбору являются:

1.      закрепление знаний и умений учащихся по избранным темам  курса математики 9-го и 10—го класса,

2.      ознакомление учащихся с современными методами решения задач, направленными на развитие логического мышления и математических способностей учащихся,

3.      подготовка к обучению в вузе.

Курс по выбору «Решение  уравнений и неравенств  с параметрами » предназначен для учащихся 9 -11-х классов различных типов общеобразовательных учреждений с повышенным уровнем изучения математики и рассчитан на 68 часов. 

Содержание курса является эффективным приложением для изучения математики в старших классах, необходимым для повышения результативности учебного процесса. 

Программа включает в себя два раздела: «Содержание» и «Ожидаемые результаты».

Раздел «Содержание обучения» включает в себя не только часть школьного курса математики  9 - 11- го класса общеобразовательной школы, но и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу. Они углубляют его как по основным линиям, так и включают в себя ряд новых, ранее не рассматривавшихся в школьном курсе типов и методов решения задач, являющихся важными содержательными компонентами современной системы непрерывного математического образования.

Программа предусматривает возможность изучения курса с различной степенью полноты, что позволяет учителю, включая или не включая в изложение некоторые из рекомендуемых вопросов, варьировать объем изучаемого материала и степень его наполнения в зависимости от конкретных условий.

 В рассматриваемом разделе имеется примерное тематическое планирование, ориентированное на  использование любых доступных учителю учебно-методических пособий по данным темам. Основываясь на предлагаемом варианте тематического планирования, учитель может разработать свой вариант. Он может варьировать количество часов, отводимое для изучения того или иного вопроса темы, переставлять и дополнять темы соответственно со своим видением рассматриваемых вопросов.

 При изучении курса предусмотрено проведение самостоятельных и практических работ. В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставит учащимся возможность самим проверить свои гипотезы.

Основная цель курса – повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения на старшей ступени. Образовательные цели курса:

ü   овладение системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений

ü   вооружение учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу;

ü   изучение   методов   решения   задач   избранного класса и формирование умений, направленных на реализацию этих методов;

ü   сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как задачах

исследовательского характера, показать их многообразие;

ü   научить применять аналитический метод в решении задач с параметрами;

ü   научить приемам выполнения изображений на плоскости и их использованию в решении задач с параметрами;

ü   научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

Воспитательная цель курса:

Ø  развивать         мотивацию     дальнейшего математического       образования, обучать самостоятельному анализу учебной деятельности;

Ø  перспективные возможности успешного усвоения курса математики в высших учебных заведениях.

Развивающая  цель  курса:  научить самостоятельно, мыслить, сопоставлять, анализировать, обобщать; прививать навыки исследовательской работы.

            В процессе изучения элективного курса реализуются следующие задачи:

Ø  реализация учеником интереса к выбранному предмету; 

Ø  уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне; 

Ø  создание условий для подготовки к экзаменам по выбору и наиболее вероятным предметам будущего профилирования;

Ø  систематизация и углубление знаний по теме «Уравнения и неравенства с параметрами»;

Ø  создание условий для формирования и развития практических умений;  учащихся решать задачи с параметрами, используя различные методы и приемы;

Ø  продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся, формированию определенного уровня абстрактного и логического мышления;

Ø  развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

Ø  повышение математической культуры ученика и  обладание значительным развивающим потенциалом (развитие математического мышления, умения систематизировать, обобщать, делать выводы).

Место и роль курса в образовательном процессе.

Предлагаемый курс, как и любой другой, улучшает имидж и повышает конкурентоспособность школы, так как реализация данного курса дает более глубокие знания по математике, увеличивает уровень интеллектуального развития учащихся, что благоприятствует их дальнейшему обучению.

При реализации курса будут созданы условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и деятельности в области «Математика». А именно, при систематическом и более глубоком изучении тем ученик поймет, способен ли он заниматься изучением математики (решать более сложные задачи, чем предполагает школьная программа, рассматривать разные варианты решения одной и той же задачи, находить решение нестандартных задач и т.д.) и хочет ли он это делать.

По типу данный курс является предметным, главная задача которого состоит в расширении знаний по алгебре. 

Мотивами для выбора данного курса у учеников могут быть следующие:

•              подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

•              поддержка изучения базового курса математики;

•              любопытство;

•              заинтересованность математикой;            профессиональная ориентация.

Данный курс предусматривает использование классно-урочной и лекционнопрактической систем, а также личностно-ориентированных педагогических технологий. При решении задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением.

Теоретическую часть материала предполагается излагать в форме лекции. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости от уровня обучаемости школьников.  

Предусматривается работа с литературой, работа в компьютерном классе, публичные выступления. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся. 

 Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуальногрупповых формах. 

Данная разработка предполагает освоение курса в коллективной форме.

Требования к знаниям и умениям

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

Определение уравнения содержащего параметр, принципы решения уравнений и неравенств,  содержащих параметр, аналитические и графические методы решения задач с параметрами.

Уметь:

Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами, решать иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами как аналитически, так и графически, применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.

В результате изучения курса учащийся должны знать:

− понятие параметра;

− алгоритмы решений задач с параметрами;

− зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;

− свойства решений уравнений, неравенств и их систем; − свойства функций в задачах с параметрами.

Учащиеся должны уметь:

ü     проводить детальный анализ условий задачи, приводимый к быстрому выбору наиболее рационального метода решения,

ü     применять изученные  методы для решения задач различных типов и уровней сложности.

ü     проводить полное обоснование в ходе теоретических рассуждений при решении поставленной задачи, используя полученные знания.

ü     уметь решать линейные, квадратные уравнения и неравенства;  несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра;

ü     использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функций;

ü     усвоить основные приемы и методы решения уравнений с параметрами; 

ü     применять алгоритм решения уравнений, содержащих параметр;

ü     видеть квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь  использовать его свойства для решения задач, внешне не связанных с квадратным трехчленом;

ü     владеть геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, - в частности, уметь строить не только график конкретного трехчлена, но и трехчлена « общего вида», обладающего определенными заданными свойствами; ü уметь исследовать квадратный трехчлен не только на всей числовой прямой, но и на конкретном числовом множестве – как правило, конечном или бесконечном промежутке, и в частности, уметь связывать вопросы о расположении корней трехчлена со знаками его значений;

ü     овладеть исследовательской деятельностью;

ü     овладеть методами решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций; Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки: I. Формы промежуточного контроля:

•              письменные задания по материалу;

•              проверка домашнего задания;       взаимоконтроль;  устный ответ ученика.

На занятиях ученики будут получать баллы, выставляемые в табель баллов каждого (Таблица 1).

Все набранные учеником баллы по окончанию курса суммируются, и выясняется, как школьник усвоил программу данного курса.

II. Форма итоговой работы – зачетная работа, состоящего из трех блоков:

А - задания с выбором вариантов ответа; 

В - задания с краткой записью ответа; 

С - задания, предполагающие развернутый ответ. 

В качестве методических рекомендаций при подготовке к занятиям учитель может использовать предложенные ниже разработки занятий элективного курса.

УЧЕБНО – ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 Уравнения и неравенства с параметрами

Цель:	– повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения на старшей ступени.
Класс	9 – 11 класс
Срок обучения	3 года
Режим занятий	1 час в неделю

Учебно-тематический план 

Наименование разделов и тем курсов	Кол- во  часов	Аудит.		Внеаудит.
9 класс	34
Раздел I Введение (1) Понятия уравнения с параметрами	1	1
Раздел II Линейные уравнения, их системы и неравенства с  параметрами
Решение линейных уравнений с параметрами	10	1		1
Решение  уравнений, приводимых к линейным уравнениям		2		1
Решение систем линейных уравнений		2		0,5
Решение  линейных неравенств с параметрами		2		0,5
Раздел III                             9 класс Квадратные уравнения и неравенства	23
Квадратные уравнения с параметром. Исследование квадратного трехчлена	23	2
Теорема Виета.  Расположение корней квадратного трехчлена.		2		1
Квадратное уравнение и квадратный трехчлен с параметрами.		2		0,5
Решение  рациональных уравнений с параметрами		2		1
Графически е приемы при решении уравнений и неравенств с параметрами		2		0,5
Расположение корней квадратного трехчлена		2		0,5
Решение квадратных уравнений  с параметрами		2		0,5
Квадратные неравенства с параметром		1		0,5
Зачет		2		0,5
Практическая конференция		1
Раздел IV.                                10- 11 класс	34
Тема 1. Простейшие тригонометрические уравнения  и неравенства с параметром	34	3		1
Тема 2. Параметр и поиск решения показательных уравнений		3		1
Тема 3. Параметр и поиск решения логарифмических уравнений		4		1
Тема 4. Применение производной при решении задач с параметрами		4		1
Тема 5. Параметр и поиск решения иррациональных уравнений		3		1
Тема 6. Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными и с параметрами		4		1
Тема 7.Графические методы решения задач с параметрами		3		1
Тема8. Применение метода областей			1
Зачет. Защита проектов			2

Ожидаемые результаты:

Успешность решения задач курса во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако, при этом следует избегать перегрузки учащихся, не следует чрезмерно насыщать программу дополнительными вопросами. 

Главная задача, которую должны усвоить учащиеся, что уравнения и неравенства с параметром – это семейство уравнений или неравенств определяемых параметром. Отсюда вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения или неравенства выделяются подмножества, множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней или множество решений неравенства. Этот смысл доводиться до сознания учащихся путем рассмотрения конкретных примеров уравнений и неравенств с параметрами.

Рекомендуем:

1.      процесс формирования новых знаний и умений проводить в форме обзорных лекций,

2.      для поддержания интереса к предмету включать в процесс обучения занимательные задачи и сведения из истории математики,

3.      уделять внимание современным методам решения задач с их пошаговой детализацией,

4.      при проведении текущего и итогового контроля качества усвоения программы и полученных знаний применять соответствующее программное обеспечение.

В связи с тем, что курс по выбору могут посещать учащиеся с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе должны быть включены краткое повторение и систематизация опорных знаний.

Учебный процесс должен быть ориентирован в первую очередь, на усвоение основного материала. Значительное место в нем должно быть отведено и самостоятельной работе учащихся: решению задач, проработке теоретического материала, написанию рефератов по отдельным темам и т.п.

Краткое содержание курса Раздел I.

I.         Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.

Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами вида 

Цель: 

Ø  Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру. К необычной форме ответов при решении уравнений.

Ø  Показать  « двойственную природу» параметра ( « общение » с параметром, как с числом, степень свободы « общения» ограничивается неизвестностью).

II.      Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.

Решение уравнений, приводимых к линейным.

Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.

Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

III.  Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства. 

Алгоритм решения неравенств.

Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.

Исследование полученного ответа.

Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать:

Ø  определение уравнения, содержащего параметры;

Ø  принципы решения линейного уравнений и неравенств, содержащих  параметр, алгебраическим методом.

Ø  методику решения уравнений и неравенств.

Уметь:

Ø  применять методы и приемы решения линейных уравнений  и неравенств  при отыскании корней уравнения в зависимости от параметра;

Ø  проводить полное обоснование в ходе теоретических рассуждений при решении поставленной задачи, используя полученные знания.

Раздел II.

IV.   Квадратные уравнения, содержащие параметр.  Актуализация знаний о квадратном уравнении. 

1.Квадратное уравнение и его корни.

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Степень трехчлена. Число корней квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

2.Теория Виета. Знаки корней квадратного уравнения. Соотношения на корни квадратного трехчлена.

Теорема Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Условия, определяющие знаки корней квадратного уравнения. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей, определение знаков корней квадратного уравнения, на соотношение между корнями квадратного трехчлена.

3.      Расположение параболы относительно оси абсцисс.  

График квадратичной функции. Применение графика квадратичной функции при решении квадратных уравнений и неравенств с параметром.

4.      Расположение корней квадратного уравнения.

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. 

5.      Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Графические приемы решения в плоскости «переменная-параметр» Графические приемы решения в плоскости xOy.

6.      Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования

Цели: 

Ø  продолжить формирование у учащихся представлений о следующих понятиях: область определения; область значения; наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на промежутке;

Ø  формировать умение и навыки решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами;

Ø  выработать умение графического решения квадратного уравнения; исследование и чтение графиков.

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать:

Ø  алгоритм построения графика квадратичной функции у = ах²+вх+с.

Ø  этапы исследования графика и квадратичной функции;

Ø  теорема Виета;

Ø  методы решения уравнений, сводящихся к составлению квадратного уравнения.

Уметь:

Ø  строить графики квадратичной функции с использованием свойств этой функции; Ø строить» каркас» квадратичной функции, содержащей параметры;

Ø  применять теорему Виета для исследования квадратичной функции.

Ø  исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

Раздел Ш.

Основная цель:

Ø  обобщить и систематизировать знания учащихся о методах и приемах решения тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств с параметрами;

Ø  выработать умения решать системы уравнений с параметрами;

Ø  научить применять аппарат математического анализа к исследованию функций, содержащих параметры.

Планируемы результаты обучения при изучении темы. Знать, понимать:

Планируемые результаты обучения при изучении темы.

Знать, понимать:

Ø  принципы решения тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных  уравнений и неравенств, содержащих  параметр;

Ø  методику решения уравнений и неравенств; систем уравнений;

Ø  Знать свойства элементарных функций и уметь применять при исследовании.

Уметь:

Ø  применять методы и приемы решения  уравнений  и неравенств  при отыскании корней уравнения в зависимости от параметра;

Ø  находить наибольшее и наименьшее значения функции;

Ø  применять периодичность, четность и нечетность функции при исследовании;

Ø  применять графический метод в системе (х;у) и ( х ; а)  при решении уравнений;

Ø  применять графический метод и метод областей при решении уравнений и неравенств, содержащих параметр. V. Тригонометрия и параметр. 

Использование основных свойств  тригонометрических функций в задачах с параметрами.

Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.

Тригонометрические неравенства, содержащие параметр. Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств  тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами. 

VI –VII. Показательные, логарифмические  и иррациональные  уравнения, содержащие параметр.

Свойства  показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.

Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.

Решение иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения 

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

VIII.    Линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными и с параметрами.

Основные определения.   

Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными Методы исследования систем двух линейных уравнений с двумя переменными Разные задачи

Цель : Сформировать умение решать системы двух  уравнений с двумя неизвестными с параметрами, применяя различные методы.

IX.            Производная и ее применение.

Касательная к функции.

Критические точки.

Монотонность.

Наибольшие и наименьшие значения функции.

Построение графиков функций. Графический метод решения задач с параметрами.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления. 

XI. Нестандартные задачи

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений  высших степеней с параметром 

Методические рекомендации

При реализации программы целесообразно: 

Ø  адаптировать учебный материал соответственно уровню подготовки контингента обучающихся. При этом доступность содержания не должна наносить ущерб его научности; 

Ø  при обсуждении задач использовать эвристику – искусство поиска решения, в котором можно пользоваться какими угодно соображениями, нестрогими

рассуждениями, в частности, геометрической интерпретацией; 

Ø  предельно ориентировать содержание изученного материала на практическое применение; 

Ø  уделять большое внимание процессу целеполагания

Ø  обеспечить условия, необходимые для овладения способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени; 

Ø  использовать разнообразные методы контроля, итоговой формой контроля является сдача папки с решенными задачами по курсу (не менее 2 задач за занятие);  Ø считать критерием эффективности изучения программы повышение интереса к предмету и дальнейшее обучение в 10 классе математического профиля. 

Для практической части необходимо подбирать задачи из действующих учебников алгебры 8-11 классов, отмеченные (*), а также задачи повышенной трудности [1], [3], [21]. Для развития мотивации к изучению курса следует подбирать (заимствовать) задачи из материалов вступительных экзаменов в ССУЗы и вузы [6], [7], [17], либо с некоторыми изменениями в них, такими, чтобы задачи непосредственно примыкали к задачам вступительных экзаменов и по содержанию, и по уровню трудности. С другой стороны, содержание вступительных экзаменов, уровень трудности предлагаемых задач достаточно неопределенны, и поэтому решение этих более сложных задач позволит построить процесс диагностики для создания 10 класса математического профиля и, кроме этого, создаст «запас прочности» на будущее.

На заключительном занятии элективного курса можно провести конференцию учащихся с подведением итогов решения задач и предоставлением каждым слушателем своей папки с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их (за одно занятие в папку должно отбираться не менее двух задач). Составление папки с задачами способствует закреплению и систематизации знаний учащихся. В будущем она может пригодиться при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Заключение

Элективные курсы – это новейший механизм актуализации и индивидуализации процесса обучения. С хорошо разработанной системой элективных курсов каждый ученик может получить образование с определенным желаемым уклоном в ту или иную область знаний.

Целями данной работы ставились рассмотрение положений по созданию элективных курсов и разработка элективного курса для 9 -11 классов  «Уравнения и неравенства с параметром».

Подробно  разработана методика преподавания элективного курса «Уравнения и неравенства с параметром». Представлено подробное описание каждого занятия с применяемыми методами и формами обучения, с примерами заданий, возможными формами контроля усвоения материала школьниками. Библиографический список

1.                  Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики [Текст] / Н.Я. Виленкин, Т.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев; Под редакцией Н.Я.

Виленкина. – М.: Просвещение, 2001. – 384 c. 

2.                  Болтянский, В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст]/ В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин – М.: Наука, 1974. – 576 с.  3. Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: уч.пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И.

Звавич. – М.: Просвещение, 1994. – 271 с. 

4.                  Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]/ П.И. Горнштейн. – Киев: РИА «Текст»; МП «Око», 1992. – 290 с.

5.                  Горшенина, Т. Задачи с параметром 8 класс [Текст]/ Т. Горшенина // Математика. – 2004. - №16. – С.12-17. 

6.                  Громов, А.И. Пособие-репетитор по математике. Подготовка к письменному экзамену [Текст]: Учеб.пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин. – Ростов н/Д: Феникс, 2001. – 480с. 7. Дорофеев, Г. В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы [Текст] / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. – 1983. - №4. – С. 23-27.

8.                  Дорофеев, Г.В. Квадратный трехчлен в задачах [Текст] / Г.В. Дорофеев. – Львов: Журнал Квантор. Вып. 2. – 1986. – 103 с.

9.                  Дорофеев, Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс ср.школы 11 кл. [Текст] : экспертное пособие / Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова. – М.: Дрофа, 2000. – 120 с.  10. Ермаков, Д. Течения и «подводные камни» в море элективных курсов [Текст] / Д. Ермаков //Народное образование. – 2007. – №1. – 155-162.

11.              Ермаков, Д.С. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д.С. Ермаков, Г.Д. Петрова //Школьные технологии. – 2003. - №6. – С. 22-29.

12.              Здоровенко, М.Ю. Сборник задач по элементарной математике [Текст]/ М.Ю. Здоровенко, Л.В. Караулова. – Киров, 1998. – 80 с.

13.              Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами: квадратный трехчлен [Текст] : Уч.пособие / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов. – Киров, 2001. – 140 с.

14.              Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. [Текст] //Вестник образования. – 2002. - №6. – С.3-13.

15.              Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст]//Стандарты и мониторинг в образовании. – 2002. – №3. – С.3-11.

16.              Королёва Т.М. Пособие по математике в помощь участникам централизованного тестирования по математике [Текст]/ Т.М. Королёва, Е.Г. Маркарян, Ю.М. Нейман. – М.:

Прометей, 2000. – 280 с.

17.              Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2000. – 342 с.

18.              Креславская, О. Задачи с параметром в итоговом повторении 11 класс [Текст]/ О. Креславская // Математика. – 2004. - №18. – С. 17-21.

19.              Кудрявцев, Л.Д. О тенденциях и перспективах математического образования [Эл. ресурс]/ Л.Д. Кудрявцев, А.И. Кириллов, М.А. Бурковская, О.В. Зимина – www.AkademiaXXI.ru.

20.              Кузовлев, А. Расположение корней квадратного трехчлена при решении задач с параметрами [Текст] / А. Кузовлев //Математика.– 2004. - №34. – С. 19-27.

21.              Математика. 9 кл: Алгебра. Функции. Анализ данных: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Текст] / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; Под редакцией Г.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000. – 352 с. 

22.              Математика. Тесты 11 класс. Варианты и ответы государственного тестирования [Текст]. – М.: Прометей, 1998. – 40 с.

23.              Об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования [Эл. ресурс]: Информационное письмо Департамента общего и дошкольного образования Минобразования России № 14-51-277/13 от 13.11.2003– www.profile-edu.ru

24.              Петунин, О.В. Элективные курсы на этапе предпрофильной подготовки [Текст] /О.В. Петунин, Л.В. Трифонова // Школьные технологии. – 2006. - №1. – С.88-90.

25.              Подгорная, И.И. Задачи с параметрами [Текст]/ И.И. Подгорная. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006.  26. Федяева Л.В. Элективные курсы по математике в системе профильного обучения [Эл. ресурс]/ Л.В. Федяева // Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета». – 2007. – www.omsk.edu.

27.              Черникова, Т.В. Методические рекомендации по разработке и оформлению программ элективных курсов [Текст]/ Т.В. Черникова // Профильная школа. – 2005. - №5. – С.11-16.

28.              Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач[Текст]: Учебное пособие для 10 кл. средней школы / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.  29. Шпендлер, О. Закат Европы [Текст]/ О. Шпендлер. – М.: Просвещение, 1993. – 438 с. 30. Элективные курсы в профильном обучении [Текст] /Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М.: Вита-Пресс, 2004. – 144c. 

31.              Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область “Математика” [Текст] /Министерство образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М.: ВитаПресс, 2004. – 96 с.

32.              Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: Кн.для учителя /Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 1986. – 126 с. 

33.              Ястребинецкий, Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры [Текст]: Пособие для учителей / Г.А. Ястребинецкий – М.: Просвещение, 1977. – 128 с.