Разбор задания 22 ОГЭ по математике

Довольно часто встречаются ученики, пасующие перед второй частью, и, особенно перед 22-м заданием (ОГЭ-2021), где нужно построить график и ответить на вопрос по нему.

Задание 22 – это задание высокого уровня сложности, оно требует свободного владения материалом и довольно высокого уровня математического развития. Рассчитаны эти задачи на обучающихся, изучавших математику более основательно, например, в рамках углубленного курса математики, элективных курсов в ходе предпрофильной подготовки, математических кружков и пр. Хотя эти задания не выходят за рамки содержания, предусмотренного стандартом основной школы, но при их выполнении ученик должен продемонстрировать владение некоторыми специальными приемами преобразования выражений, проявить умения исследовательского характера, которые помогут успешно продолжать образование в 10-11 классах углубленного или профильного изучения математики, информатики, физики.

Между тем, задания на построение графиков с модулями и выколотыми точками не такие уж и сложные. И, как показывает опыт, научиться строить такие графики, при его на то желании может не только ученик, претендующий на "пятёрку", но также и любой хорошист. Для этого нужно только желание научиться строить такие графики.

         Для выполнения задания 22 необходимо уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы, строить и читать графики функций, строить и исследовать простейшие математические модели.

1) Постройте график функции у = . Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Преобразуем выражение    = - х² – 1 , при х≠2

            График нашей функции сводится к графику функции у = - х² – 1с выколотой точкой (2; -5). Построим график функции.

            График функции у = - х² – 1 – парабола – получается в результате параллельного переноса графика функции у= -х²  на 1 единицу вниз.

Прямая у = kх имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через выколотую точку

 (2; -5), тогда k = -5/2 = -2,5  и если уравнение  - х² – 1 = kх имеет один корень.

                    - х² – 1 = kх

                    - х² – кх – 1 = 0

                     D = k² – 4                 

                     k² – 4 = 0 при k= ±2.

Получаем k = -2,5; k = - 2; k = 2

Ответ: -2,5;  -2;   2.

2) Постройте график функции у = . Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки.

Преобразуем выражение    =  =  = -  при х≠ - 0,4 и 0,4.

График нашей функции сводится к графику функции у =    c выколотыми точками

 (0,4; - 2,5) и (-0,4; - 2,5). Построим график функции.

1) у = -  при х > 0. Графиком является ветвь гиперболы в 4 координатной четверти.

Х	0,4	1	2
у	- 2,5	- 1	- 0,5

2) у =   при х < 0. Графиком является ветвь гиперболы в 3 координатной четверти.

Х	- 0,4	- 1	- 2
у	- 2,5	- 1	- 0,5

Прямая у = kх не имеет с графиком общих точек, если она горизонтальная (у = 0), либо проходит через одну из выколотых точек (0,4; - 2,5) и (-0,4; -2,5).

1) -2,5 = 0,4k, k = -6,25 

2) -2,5 = - 0,4k, k = 6,25

  Получаем k = -6,25; k = 0; k = 6,25

  Ответ: -6,25; 0; 6,25.

3) Постройте график функции у = х² -  и определите, при каких значениях m прямая y = m  имеет с графиком ровно три общие точки.

у = х² -  = ;

1) Графиком функции у= х² – 4х – 3 является парабола, ветви направлены вверх, с вершиной (2; -7). Пересекает ось ОУ в точке (0; -3).

Х	- 3/4	1	3	4
у	9/16	-6	-6	-3

2) Графиком функции у= х² + 4х + 3 является парабола, ветви направлены вверх, с вершиной (-2; -1). Пересекает ось ОУ в точке (0; 3). Ось ОХ в точках (-3;0) и (-1; 0)

Х	-4	-3/4
у	3	9/16

Прямая у = m  имеет с графиком ровно три общие точки при m= -1 и m = .

Ответ: -1; .

Типичные ошибки при выполнении 22 задания:

- неправильно построен график;

- отсутствует единичный отрезок на координатных осях или направления координатных осей.

Основным условием положительной оценки за решение задания является верное построение графика.

Верное построение графика включает в себя:

- масштаб,

- содержательную таблицу значений или объяснение построения,

- выколотая точка обозначена в соответствии с ее координатами.

Алгоритм работы с заданием:

            1) преобразуем формулу, которая задает функцию, и найдем область определения функции;

            2) определим вид и характерные точки графика функции на каждом промежутке;

            3) изобразим график функции на координатной плоскости;

            4) исследуем график функции, исходя из вопроса к заданию;

            5) запишем ответ.