Решение неравенств.Подготовка к ОГЭ

Свойства неравенств.

Теорема 1. Число, противоположное числу, есть число отрицательное и обратно, число, противоположное отрицательному числу, есть число положительное, то есть если a ˃ 0, то –a ˂ 0, если a ˂ 0, то –a ˃0.

Теорема 2. Произведение положительного числа на число отрицательное есть число отрицательное.

Теорема 3. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

Теорема 4. Квадрат любого числа. неравного нулю, есть число положительное.

Теорема 5. Если a_1, a_2, …an_- отрицательные числа, то их сумма a₁ +a_2, +…..+a_n, есть число отрицательное.

Теорема 6. Положительное число больше числа отрицательного.

Теорема 7. Если a-b ˂ 0, то a˂b и обратно.

Теорема 8. Еслиa ˃ b иb ˃ c, то a ˃ c.

Теорема 9. Если a ˃ b и c-любое число, то a + c˃b +c.

Теорема 10. Если a₁ ˃ b_1, a₂ ˃ b_2, ……., a_n ˃ b_n , a₁ + a_{2 +…..}a_n ˃ b_{1 +} b_{2 +…….} b_n.

Теорема 11. Если a ˃ b и c ˂ d, то a – c ˃ b-d.

Теорема 12. Если a ˃ b, то ac˃bc при c˃0, ac˂ bc при c˂0 и ac=bc при c=0.

Теорема 13. Еслиa ˃ b,c ˃ d, то при a ˃0 и d ˃0 имеем ac˃ bd, а при a ˂0 и d ˂0 имеем

ac˂ bd.

Теорема 14. Еслиa ˃ b ˃0 и n –натуральное число, то aⁿ˃ bⁿ

Теорема 15. Еслиa ˂ b ˂ 0 и n-натуральное число, то при четном naⁿ˃ b^n, a при нечетном naⁿ˂bⁿ.

Теорема 16. Еслиa ˃ b ˃ 0 и n-натуральное число, то  ˃ (при четном n берется только арифметическое значение корня).

Теорема 17.Еслиa ˃ b ˃ 0 и n=-произвольное рациональное положительное число, то aⁿ˃bⁿ.

Теорема 18.Еслиa ˃ b ˃ 0 и n=-любое положительное рациональное число, то a^-n˂ b^-n.

Теорема 19. Неравенства f (x_1, x₂,…x_n) ˃g (x_1, x₂,…, x_n) и f (x_1, x₂,… x_n)+h (x_1, x₂,… x_n)˃g (x_1,x₂,…, x_n)+ h (x_1, x₂,… x_n) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения.

Теорема 20. Неравенства f (x_1, x₂,… x_n) ˃g (x_1, x₂,…, x_n) и f (x_1, x₂,… x_n)*h (x_1, x₂,… x_n)˃g (x_1,x₂,…, x_n)*h (x_1, x₂,… x_n) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство h (x_1, x₂,… x_n)˃0 в этой области тождественно истинное.

Теорема 21. Неравенства f (x_1, x₂,… x_n) ˃g (x_1, x₂,…, x_n) и f (x_1, x₂,… x_n)*h (x_1, x₂,… x_n)˂g (x_1,x₂,…, x_n)*h (x_1, x₂,… x_n) эквивалентны, если имеют одну и ту же область определения и неравенство h (x_1, x₂,… x_n)˂0 в этой области тождественно истинное.

Теорема 22. Неравенства ˃0 и f (x_1, x₂,… x_n)*g (x_1, x₂,…, x_n)˃0 эквивалентны.

Теорема 39.

1. 1. a^x ˃с 2. a^x ˂c
2. 

3. ˃ 

3.    

Теорема 40.

1. ˃c 2.  ˂c

(x)˃0

3.log_f(x) (x)˃log_f(x) Ψ(x)Ψ(x)˃0

Решение неравенств с параметрами.

Задача. Найдите все значения параметра a, для которых при каждом X из промежутка [0;1) значение выражения 9^x-3^x не равно значению выражения a*3^x+4.

Решение. Пусть t=3^x. Так как 3˃1, то показательная функция t=3^xвозрастает и непрерывна на всей числовой оси и, в частности, на промежутке [0;1), поэтому она при xϵ [0;1) принимает все значения от 3⁰=1 включительно до 3¹⁼3, исключая само значение 3, т.е. tϵ [1;3).

Тогда 9^x-3^xa*3^x+4 при всех xϵ[0;1) тогда и только тогда, когда t²-tat+4 для всех t ϵ [1;3) (1).

Имеются разные способы исследования неравенства (1).

1 способ (решение относительно параметра и использование множества значений функции).

Из неравенства (1) при tϵ [1;3) находим at-1-.

На промежутке [1;3) линейная функция y=t-1 с положительным коэффициентом 1 и функция обратной пропорциональности y=-с отрицательным коэффициентом -4 возрастают и непрерывны, поэтому функция y=t-1-, как сумма двух возрастающих непрерывных функций, также возрастает и непрерывна. Следовательно, множество значений этой функции на промежутке [1;3) есть промежуток [y (1); y (3)) = [-4; ).

Тогда at-1- для всех tϵ[1;3) тогда и только тогда, когда a[-4;) aϵ(-)[; +).

2 способ (графический).

В системе координат Oty при 1t3 построим график квадратичной функции y=t²-t=²--параболу с вершиной в точке  и с ветвями, направленными вверх, и семейство прямых y=at+4 в зависимости от значений параметра a, причем прямые, пересекающие часть параболы y=t²-t на промежутке [1;3), изобразим пунктирными линиями, а не пересекающие ее на этом промежутке- сплошными (рис.1).

Найдем значения параметра a, для которых прямая y=at+ 4 проходит через точки (1;0) и (3;6)-концы указанной части параболы. Имеем:

0=a+4a=-4; 6=3a+4a=.

Тогда, как видно из рис.1, если a-4 или a, то прямая y=at+4 не пересекает часть параболы на промежутке [1;3), поэтому справедливо неравенство (1).При остальных значенияхa прямая y=at+4 пересекает указанную часть параболы, поэтому условие (1) не выполняется. Следовательно, a(-); +.

3 способ (сведение к исследованию расположения корней квадратного трехчлена).

Условие (1) равносильно тому, что квадратное уравнение

t² -t=at+4t²-(a+1)t-4=0 (2) не имеет корней на промежутке [1;3). Так как дискриминантD=(a+1)²+16 этого уравнения всегда положителен, то оно имеет два различных корня t_1,t₂. По теореме Виета t_1*t₂=-40, поэтому один из корней положительный, а другой отрицательный. Следовательно, уравнение (2) не имеет корней на промежутке [1;3) тогда и только тогда, когда график функции y=t²-(a+1) t-4- парабола с ветвями, направленными вверх, имеет схематически одно из следующих расположений (рис.2).

Рис.2

С учетом того, что один из корней уравнения (2) отрицателен, эти параболы однозначно описываются аналитически совокупностью неравенств:

.

4 способ (непосредственное нахождение корней квадратного уравнения).

Решая уравнение (2) найдем его корни

t₁₌, t₂=_.

Так как ₌(a+1)²+16(a+1)², то первый корень t₁ всегда отрицателен, поэтому уравнение (2) не имеет корней на промежутке [1;3) тогда и только тогда, когда второй корень t₂˂1 или t_2. Решим полученные неравенства:

t₁a;

t₂a.

Объединяя решения двух последних неравенств, найдем a(-)).

Ответ: (-)).

Решение трансцендентных неравенств.

№1. Решите неравенство: +.

Решение. ++-

Ответ: (1; +).

№3. Решите неравенство:^.

Решение.

Ответ: (-; -2)  (0;1)

№4. Решите неравенство: 

Решение.

Ответ: (1; 2)

№5. Решите неравенство: 

Решение.

Ответ: (1; 2) (2;3)

№ 6. Решите неравенство: .

Решение.

Ответ: (-] (1; +].

Решение текстовой задачи, приводящей к решению неравенства с модулем.

Задача. Согласно расписанию, катер проходит по реке, скорость течения которого 5 км/час, путь из А в D длиной15 км за 1 час. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты B и C, отстоящие от А на расстоянии 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и 12 ч 40 мин. Известно, что, если бы катер двигался из А в D без остановок с постоянной скоростью V(относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты B, C, D не превысила бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью Vв стоячей воде. Какой из пунктов –А или D-находится выше по течению?

Решение. Обозначим через X время, за которое катер проходит 1 км при движении из А в D:

x= или x=, в зависимости от того, выше A по течению или нет. Таким образом, имеем неравенство:

++, где v=, или v=

Рассмотрим графики трех функций:

=++, =, y₃=.График функции y₁ есть ломаная линия, минимум y₁ равен  (достигается при x=),y₂ имеет вертикальную асимптоту x= и пересекается с y₁ , т.е. неравенство y₁y₂имеет решение. Легко видеть , что y₃₌при всех x,так как y₃=-=-=1--=-.

Значит, y₃y_1. Таким образом, задача имеет решение если v=т.е. A выше по течению, чем D.

Ответ: пункт A выше по течению, чем пункт D.

Используемая литература:

1. А.Ш.Блох, Т.Л. Трухан «Неравенства».
2. И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике. Решение задач. 10 класс».
3. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» № 8 2002 г.
4. Научно-практический журнал «Математика для школьников» №2 2008 г.
5. Дж.Стил, К. Мередис, Ч.Темпл «Чтение, письмо и дискуссия в каждом учебном предмете» №3. Проект-Чтение и письмо для развития критического мышления.