Решение текстовых и геометрических задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3» города Магнитогорска РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» для 10 класса на 2019/2020 учебный год Программу составила: Ямщикова О.Б. учитель математики Магнитогорск,   2019

Структура рабочей программы

1.    Пояснительная записка.

1.1.           Статус документа.

1.2.           Общая характеристика факультативного курса

1.3.           Основное содержание.

2.    Тематический план.

3.    Календарно-тематический план.

4.    Система оценивания результатов обучения.

5.    Требования к уровню подготовки учащихся, успешно освоивших рабочую программу.

6.    Методические материалы.

7.    Приложение.

Рабочая программа составлена с учетом учебно-методического, материально-технического, информационного обеспечения МОУ «СОШ № 3» г. Магнитогорска.

1. Пояснительная записка.

1.1 Статус документа

Рабочая программа элективного курса «Решение текстовых и геометрических задач» адресована учащимся общеобразовательных 10  класса  МОУ «СОШ № 3» г. Магнитогорска на 2019 – 2020 учебный год.

Элективный курс утвержден экспертным советом по разработке элективных курсов включенный в перечень программ реализующих компонент образовательного учреждения вариативной части учебного плана общеобразовательного учреждения.

Разработанная рабочая программа выполняет две основные функции:

•         Информационно - методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета; 

•         Организационно - планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.

Рабочая программа составлена с учетом наличия учебно-методического, кадрового, материально-технического  и информационного обеспечения МОУ «СОШ № 3». 

1.2 Общая характеристика элективного курса

Среднее (полное) общее образование - завершающая ступень общего образования, призванная обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся. Эти функции определяют направленность целей на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющих себе потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Эффективная реализация указанных целей возможна при  системной специализированной подготовке  к ЕГЭ  в старших классах общеобразовательных школ, ориентированной на индивидуализацию обучения. 

Выбор данного элективного курса обусловлен тем, что  при обучении математике на решение текстовых задач отводится недостаточная часть учебного времени,  вследствие чего - слабые навыки решения учащимися задач, о чем свидетельствуют результаты выпускных экзаменов.

Элективный курс выполняет несколько функций:

-        обобщает и расширяет содержание некоторых тем  базисных курсов, изучение которых осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ  по математике;

-        способствуют удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Целями данного курса являются:

1.                Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности при подготовке к ЕГЭ.

2.                Развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

1.                      Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2.                      Выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления.

3.                      Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.

4.                      Дать ученику возможность реализации личных познавательных интересов.

5.                      Создавать условия для качественной подготовки к итоговой аттестации.

1.3 Содержание курса Объем  курса: 34 ч 

Организация  работы на занятиях отличается от классно-урочной. В основу обучения заложен деятельностный подход, используется практический, частично-поисковый и репродуктивный методы.

Формы занятий:

•         семинар, творческие лаборатории, практикум, консультация и другие. 

На занятиях используются:

•         принцип дифференциации и индивидуализации в обучении;

•         элементы тестовой технологии 

(в  качестве одной из форм  обратной связи – тестовый контроль);  разноуровневый  дидактический материал;  материалы ЕГЭ.

2.     Тематический план

10 класс  (34часа)

№  п/п	Содержание
I.	Задачи практической направленности.	11
1.	Задачи на проценты.	3	1	1	1
2	Задачи на оптимизацию.	2		1		1
3	Чтение графиков.	2		1		1
4	Задачи на работу.	3	1	1		1
5	Зачетное занятие.	1
II.	Геометрические задачи.	12
1	Вычисление площадей фигур.	3	1	1		1
2	Задачи на соотношения между сторонами и углами  треугольника.	4	1	2	1
3	Задачи на нахождение объема и площади поверхности.	4	1	2		1
4	Зачетное занятие.	1

III.	Задачи на движение.	11
1	Задачи на движение навстречу или в противоположных направлениях.	3	1	1	1
2	Задачи на движение «вдогонку».	2	1	1
3	Задачи на движение по реке.	2	1	1
3	Задачи на равноускоренное движение.	2	1	1
4.	Зачетное  занятие.	2
	ИТОГО	34

3.     Календарно-тематический план

10 класс

элективного курса «Решение текстовых и геометрических задач» (1 час в неделю)

№ урок а	Дата	Тема (содержание)	Примечание (коррекция)
		1 полугодие
1		Задачи на проценты.
2		Задачи на проценты.
3		Задачи на проценты.
4		Задачи на оптимизацию.
5		Задачи на оптимизацию.
6		Чтение графиков.
7		Чтение графиков.
8		Задачи на работу.
9		Задачи на работу.
10		Задачи на работу.
11		Зачетное занятие.
12		Вычисление площадей фигур.
13		Вычисление площадей фигур.
14		Вычисление площадей фигур.
15		Задачи на соотношения между сторонами и углами  треугольника.
16		Задачи на соотношения между сторонами и углами  треугольника.
17		Задачи на соотношения между сторонами и углами  треугольника.
		2 полугодие
18		Задачи на соотношения между сторонами и углами  треугольника.
19		Задачи на нахождение объема и площади поверхности.
20		Задачи на нахождение объема и площади поверхности.
21		Задачи на нахождение объема и площади поверхности.
22		Задачи на нахождение объема и площади поверхности.
23		Зачетное занятие.
24		Задачи на движение навстречу или в противоположных направлениях.
25		Задачи на движение навстречу или в противоположных направлениях.
26		Задачи на движение навстречу или в противоположных направлениях.
27		Задачи на движение «вдогонку».
28		Задачи на движение «вдогонку».
29		Задачи на движение по реке.
30		Задачи на движение по реке.
31		Задачи на равноускоренное движение.
32		Задачи на равноускоренное движение.
33		Зачетное  занятие.
34		Зачетное  занятие.

4.     Система оценивания результатов обучения

Критерии оценивания достижений обучающихся по видам деятельности и уровням освоения учебного материала

В соответствии с о школьным Положением об элективных курсах предпрофильной подготовки и профильного обучения для оценивания достижений учащихся  на элективном курсе «Решение геометрических задач» используется безотметочная система (трехбалльная система оценивания).

Критерии оценивания:

1            балл – прослушивание курса (освоение наиболее простых методов курса, которые привели к определенным положительным результатам, свидетельствующим об интеллектуальном росте учащегося;

2            балла – знание элементарного теоретического материала курса (что позволяет ученику справиться со стандартными заданиями, с написанием реферата или доклада без проявления явных творческих способностей);

3            балла – учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки его применения при решении конкретных поставленных перед ним задач, имеющих прикладной характер; в процессе написания реферата и защиты рефератов, выполнения докладов, работы над индивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал умение работать с литературными источниками; он отличался активным участием в обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился творческим подходом  и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении порученных ему учителем заданий; он научился работать в малых группах, находить и использовать информацию в рекомендованных изданиях; очевиден  и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

5. Требования к уровню подготовки учащихся, успешно освоивших рабочую программу

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

•        моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры;  решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей);

•        проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения;

•        анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

•        описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

•        решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения. 

Ожидаемый результат: 

•        развитие математических способностей учащихся;       повышение качества выполнения заданий на ЕГЭ;

•        развитие познавательного интереса к предмету.

6. Методические рекомендации

При изучении данного курса  предлагаем использовать следующие формы работы с учащимися: лекция, практикум, семинар, творческая лаборатория, которые позволят обобщить материал по определенной теме, закрепить имеющиеся навыки решения задач, приобщить учащихся к работе с математической литературой  и  Интернет-ресурсами, создать условия для творческой деятельности учащихся.

Каждый раздел данного курса предполагает применение этих форм работы.

На уроках-лекциях активная роль принадлежит учителю; форма работы - фронтальная.  Лекция предполагает рассмотрение основных формул и решение ключевых  задач.

На уроках- практикумах форма работы - групповая и индивидуальная. Основная цель уроков - практикумов по математике состоит в том, чтобы выработать у учащихся умения и навыки в решении задач определённого типа или вида, в овладении новыми математическими методами. Здесь же проводятся кратковременные контрольные или самостоятельные            работы.

Урок - семинар. Форма работы - коллективная. На семинарских занятиях учащиеся, как правило, углубляют теоретические знания, расширяют представление о практическом применении изученных вопросов. Уроки в форме семинара уместны, когда в классе наметилось расслоение по уровням после изучения решения задач обязательного уровня.

Урок - творческая лаборатория. В творческих лабораториях учащиеся  предлагают  тексты задач по данному разделу и составляют свои варианты КИМов части  В, пользуясь  дополнительной литературой и Интернет-ресурсами.

Зачётные уроки - это уроки индивидуальной работы, которые служат как для контроля и т.д.

7. Приложение

Занятие 1.1.

Тема:  «Задачи на проценты» (лекция).

Цель занятия: рассмотреть  основные формулы и решение ключевых задач.

Необходимо на лекции напомнить учащимся  основные формулы  и предложить  решение ключевых задач.

I. Нахождение процента от числа.

x

                        x% от числаa находится поформуле b  a    .

100

Задача 1.  Найти 15% от числа 60.

Решение.  

1   способ: 60:100*15= 9.

2   способ: 15% - 0,15 

                                        60*0,15=9

Ответ: 9

Задача 2. Железнодорожный билет для взрослого стоит 590 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях. 

Решение.

Найдём стоимость детского билета   295(р).

Тогда стоимость 14 детских билетов 29514  4130(р) , 3 взрослых билета

стоят  

5903 1770(ð) .За все билеты заплатили 4130 1770  5900(р)  Ответ: 59003 рублей.

II. Нахождение числа по его проценту.

 Если  b - х%, то число a  по х% находится  по формуле а  ^b100. x

Задача 1. Известно, что в различных олимпиадах приняли участие 56 учащихся, что составило 14% всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

Решение.  1 способ:   400 (уч)

                   2 способ: 14% - 0,14

                                     56:0,14=400 (уч)

Ответ: в школе 400 учащихся.    

Задача 2.   Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день — оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов овощей было в магазине первоначально?

Решение. 

1   способ: 

Сначала узнаем, сколько процентов овощей продано во 2 день, то надо найти 80% от 40%:    32%.  Теперь узнаем, сколько  процентов овощей было продано в третий день: 100%-(40%+32%)=28%.

Вычислим сколько овощей было в магазине первоначально, т.е. найдём число по его проценту:   100 (кг). 

2   способ:(эту же задачу можно решить с помощью уравнения)

Пусть х кг овощей было первоначально в магазине, тогда в первый день продали 0,4х кг овощей, во второй день - 0,80,4х  0,32х  кг овощей и в третий день – 28 кг. За три дня в магазине продали ( 0,4х+0,32х+28) кг

овощей, что  равно х кг. Составим и решим уравнение.

 0,4х+0,32х+28=х;     х=100.

Ответ: в магазине первоначально было 100 кг овощей.

III.           Процентное отношение двух чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо найти

отношение этих чисел и выразить его в процентах, т.е. c  ^а 100%. b

Задача 1. До снижения цен футболка стоила 1200 руб., а после снижения цен стала стоить 960 руб. На сколько процентов была снижена цена? 

Решение.

Найдём отношение новой цены к старой цене  100%  80%т.е новая цена составляет 80% старой. Значит,  цена снизилась на 100%-80% =20%.  Ответ: 20.

IV.            Задачи на изменение процента величины.

 Число m увеличивается на n%: c  m  ^mn , а затем уменьшается на k%  100

ck d  c      .

100

         Задача 1. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?

Решение.

Пусть цена товара x рублей. Тогда x  0,5x 1,5x (р) цена товара после увеличения её на 50%. Затем цену снизили на 50% и она стала 1,5x 1,5x0,5 1,5x  0,75x  0,75x (р). Значит цена товара изменилась на

x  0,75x100%  25%

x

Ответ: цена уменьшилась на 25%.

Задача 2. Цену товара снизили на 50%, а затем повысили на 20%. Как изменится цена товара?

Решение.

Пусть цена товара а рублей. Тогда a  0,5a  0,5a(р) цена товара после снижения  её на 50%. Затем цену повысили на 20% и она стала 0,5a  0,5a0,2  0,6a(р).  Значит, цена товара  изменилась на а  0,6а100%  40% .

а

Ответ: цена товара  уменьшилась на 40%.

Задача 3. Число уменьшили  на 20%. На сколько процентов надо увеличить результат, чтобы получить первоначальное число?

Решение.

Пусть b- первоначальное число. Тогда после уменьшения на 20% оно

      равно b 0,2b  0,8b. Пусть надо увеличить на х% . Тогда              x

                                                                                                                                               0,8b0,8b  b

                                                                                                                100

                                                                                              0,8b0,008bx  b

        0,008bx  0,2b      b  25

Ответ: результат надо увеличить на 25 %.

 Занятие 1.2.

Тема: «Решение задач на проценты».

Цель занятия: совершенствование навыков решения задач на проценты.   

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума.

Учащимся раздается дидактический материал для работы на практикуме. Учитель предлагает  учащимся самостоятельно решить задачи и сверить свое  решение с решением, предложенным учителем на заготовленных слайдах. 

Дидактический материал.

1.       Железнодорожный билет для взрослого стоит 820 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 60% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 25 школьников и 4 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях. Ответ: 15580

2.       Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 3050 руб. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? Ответ: 2500

3.       Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем через год ещё на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с  первоначальной?

4.       Банковский вклад в 200 тысяч рублей за счет процентов вырос за год до 224 тысячи рублей. Сколько процентов годовых выплачивает банк вкладчику?

5.       Магазин продал первому покупателю 25% имевшегося в куске полотна, второму – 30%, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось непроданным? 

6.       Стоимость товара и перевозки составляет 394 руб. 20 к., причем расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости самого товара. Какова стоимость товара без учета стоимости перевозки?

После данной работы провести проверочную самостоятельную работу по вариантам.

Самостоятельная работа. 1 вариант.

1.             Когда токарь обработал 66 деталей, то ему осталось выполнить 45% всего дневного задания. Определите дневное задание токаря.

2.             Посеяли 300 зерен, из них 270 дали всходы. Определите процент всхожести зерен.

3.             Банк дает своим вкладчикам 25 % годовых. Чему станет равен вклад в  100 000 рублей через два года?

4.             За первый час автобус прошел 30 % всего расстояния от деревни до города. Если он пройдет еще 70 км, то пройдет 65 % всего расстояния. Каков весь путь?

2 вариант.

1.             20% всех деревьев сада — яблони. Остальные 160 деревьев — груши. Сколько яблонь в саду?

2.             В 450 граммах раствора содержится 27 граммов соли. Определите процент содержания соли в растворе.

3.             Нина прочитала 30 % страниц книги, а если она прочтет еще 50 страниц, то она прочтет 55 %. Сколько всего страниц в книге

4.             Снижение себестоимости производства товара равно 5 % в год. Первоначальная себестоимость товара равна 10 000 рублей. Чему станет равной себестоимость через два года? 

Ответы к дидактическому материалу. 1)15580; 2) 2500; 3) 32; 4) 12; 6) 365. Ответы к самостоятельной работе.

1   вариант: 1) 120 деталей; 2) 90%; 3) 156250 рублей; 4) 200км.

2   вариант: 1) 200 деревьев; 2) 6%; 3) 400 страниц; 4) 9025 рублей.

Занятие 1.3.

Тема: «Решение задач на смеси и сплавы, сложные проценты». 

Цель занятия:  углубить теоретические знания и практические навыки по решению задач на проценты.

Данное занятие проводится в форме семинара. Для  работы на семинаре рекомендуем подготовить трех учащихся – консультантов, которым заранее  предлагаются задачи на смеси и сплавы, сложные проценты. Консультанты

выступают  на занятии с теоретическим материалом по данной теме и  показывают решённые ими задачи, объясняют алгоритм их решения.

1 консультант:

Теоретическая часть.

Тема: ПРОЦЕНТНЫЙ ПРИРОСТ И ВЫЧИСЛЕНИЕ «СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ».

 Решение задач на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» основано на использовании следующих понятий и формул. Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t  0имеет значение Ао, а в некоторый момент времени t₁имеет значение А1. Абсолютным приростом величины А за время t₁называется разность A₁  A₀относительным приростом

величины А за время t₁ — отношение ^{A1 A0}и процентным приростом

A₀

A^{1 A0} 100%. величины А за время  t₁ — величина  

A₀

Обозначая процентный прирост величины А через р%, получаем следующую формулу, связывающую значения Ао, A₁ и процентный прирост р: A1 A0100%p%.

A₀

Запись последней формулы в виде:

A₁  A₀^1^ p ^  A₀  A₀ ^ p позволяет по известному значению Ао и

                                       100              100

заданному значению р вычислить значение A₁, то есть значение А в момент времениt₁.

Пусть теперь известно, что и далее при t>t₁ величина А имеет процентный прирост р%. Тогда в момент времени

t₂ 2t₁значение величины А2 = А(t₂) будет равно

A2  A11 p  A01 p 2 .

                                                            100           100

                      В      момент      времени       t₃ 3t₁значение       величины     A₃  At₂есть:

3

A3  A21 p  A01 p  .  100        100

в момент времени nt1 ;: An  A01100p n

Если за время t₁ (на «первом этапе») величина А изменилась на p₁ %, на «втором этапе» (то есть за времяt₂ t₁ t₁) — на р2%, на «третьем этапе» (то есть время tз — t₂ = t₁) — на р₃ % и т. д., то значение величины А в момент

^ p^{1  }1 p^{2 }^...1 p^{n } t_n  nt₁вычисляется по формуле: A_n  A₀1 

                                                                                                                         100      100     100

Задача. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на р%, а на следующий год она возросла на 10 % больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%. Решение.

Обозначим количество продукции, произведенной за первый, второй и третий годы работы предприятия, через А1, А2 и А3 соответственно. По условию задачи за второй год процентный прирост составил р%, а за третий год - (р + 10)%. В соответствии с определением процентного прироста эти условия дают два уравнения:

A2 A1 100%  p%, A3 A2 100% p10%,   

                               A1                                                        A2

По условию задачи также известно, что за два года производство выросло на 48,59 %, то есть в третий год предприятие производило на 48,59% продукции больше, чем в первый год. Это условие можно записать в виде

уравнения ^{A3 A1} 100%  48,59%

A₁

Запишем полученные уравнения в виде следующей системы

 A  A 1 100p 

                             _{2               1}

                        A 1 p 10

                    A3              2

                   _                    100 

^ A3 _ A1_1_ 48100,59_

Умножая первое уравнение на второе, получаем:

A3 _ A1_1_ p __1_ p 10_

                           100         100 

Из полученного уравнения и третьего уравнения системы получаем уравнение для отыскания неизвестной величины р:

1_ p __1_ p 10_{ }1_ 48,59

     100          100  100 p²  210p 3859  0

Корни последнего квадратного уравнения: p₁ = 17, р₂ = 227.

По смыслу задачи подходит первый корень p₁= 17. Ответ: 17%.

2 консультант

Теоретическая часть. 

Тема: ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ И ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ.

Решение задач на концентрацию и процентное содержание основано на  использовании следующих понятий и формул.

Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами M_a, M_b и М_c. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна M_a + M_b + М_c.

Массовой концентрацией вещества А в смеси называется величина с_a, вычисляемая по формуле:

Ma

ca 

Ma Mb Mc

Соответственно массовые  концентрации  веществ  В и С в этой смеси

                                                                                                              M^b                     c_c ^         M^c                  

вычисляются по формулам: c_b ^;

                                                                                                   Ma Mb Mc                         Ma Mb Mc

Массовые концентрации с_а, с_с, c_с связаны равенством     с_а+ с_с+ c_с = 1.

Процентными содержаниями вещества А, В, С в данной смеси называются величины р_а%, p_b% и р_с% соответственно, вычисляемые по формулам:

р_а % = с_а 100 %, p_b% = c_b100 %, р_с% =с_с 100 %.

По аналогичным формулам вычисляются концентрации веществ в смеси и для случая, когда число различных смешиваемых веществ (компонент) равно двум, четырем, пяти и т. д.

Объемные концентрации веществ в смеси определяются такими же формулами, как и массовые концентрации, только вместо масс компонент M_a, M_b и М_с в этих формулах будут стоять объемы компонент V_a, V_b и V_c. В тех случаях, когда речь идет об объемных концентрациях, обычно предполагается, что при смешивании веществ объем смеси будет равен сумме объемов компонент. Это предположение не является физическим законом, а представляет собой соглашение, принимаемое при решении задач на объемную концентрацию. 

Задача 1.  В сосуд емкостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3 л 90%-ного раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился г %-ный раствор серной кислоты? Найти все значения г, при которых задача имеет решение.  Решение.

Обозначим через х л объем 90%-ного раствора серной кислоты, который 

переливается  из второго сосуда в первый. В этом объеме содержится ^9x л 10 чистой (100%-ной) серной кислоты. Первоначально в первом сосуде объем чистой серной кислоты был равен   4 (л). После того как в первый сосуд долили х л 90 %-ного раствора серной кислоты, в нем будет содержаться  4    x (л) чистой серной кислоты. Используя определение объемного процентного содержания, в соответствии с условием задачи получаем уравнение:

9

                                 4      x

¹⁰ 100%  r% x  4

Решая это уравнение, находим величину перелитого объема:

_{x } 4r  70^

90  r

Остается выяснить, при каких значениях r задача имеет решение. Из

условия задачи очевидно, что количество доливаемого  раствора не может  превысить 2 л, так как объем первого сосуда равен 6 л, то есть 0<х<2. Используя найденное значение для х, получим ограничения на r:

0  4r  70  2 . 90  r

r

                      Решая      данное     неравенство      (с      учетом     того,     что 70   90),

2

                                             r          2

         получим 70      76  

                                            2          3

Ответ: ^{4r  70}(л)  задача имеет решение при   70  ^r  76 ²

                                              90  r                                                                             2          3

Задача 2. Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый — 40 %ный, второй — 60 %-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20 %-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80 %-ного раствора, то получился бы 70 %-ный раствор. Сколько было 40 %-ного и 60 %-ног растворов? Решение

Обозначим через х кг количество 40 %-ного и через у кг — количество  60 %-ного растворов. Если сольем х кг 40 %-ного раствора, у кг 60 %-ного раствора и 5 кг чистой воды, то получим раствор весом в (х+у+5) кг, который по условию содержит 20 % кислоты. Поскольку в х кг 40 %-ного раствора находится 0,4 кг кислоты, а в у кг 60 %-ного раствора находится 0,6 кг кислоты, то в (х+у+5) кг находится (0,4х+0,6у) кг кислоты, что составляет 20% от (х+у+5) кг, то есть имеем уравнение:

0,4х+0,6у=0,2(х+у+5).

Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80 %-ного раствора, то получим раствор весом (х+у+5) кг, в котором будет (0,4х+0,6у+4) кг кислоты, что составляет 70% от (х+у+5) кг, то есть имеем уравнение: 

(0,4х+0,6у+4 = 0,7(х+у+5)

Итак, для  нахождения  х  и  у  получили  систему уравнений: 

 0,4x  0,6y  0,2x  y 5

                                                                    

_0,4x  0,6y  4  0,7x  y  5 которую можно записать в виде:

x  2y  5

                                   

_3x  y  5 Решением этой системы является пара чисел х= 1 и у = 2. Следовательно, было 1 кг 40 %-ного и 2 кг 60 %-ного растворов серной кислоты.

Ответ:  1   кг 40 %-ного и 2 кг 60 %-ного растворов.

Класс делится на 5 групп. Каждая группа решает предложенные задачи  с ответами с помощью консультанта либо учителя.  Задачи для работы в группах.

1.           Сберкасса начисляет ежегодно 3 % от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Ответ: приблизительно через 33 года.

2.           За килограмм одного продукта и десять килограммов другого заплачено 20 000 руб. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25 %, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 18 200 руб. Сколько стоит килограмм каждого продукта?

Ответ: 8000 и  1200 руб.

3.           Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди?

Ответ:  1,5 кг.

4.           Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получается из 20 кг свежих?

Ответ: 7 кг.

Занятие 1.4.

Тема: «ЗАДАЧИ НА ОПТИМИЗАЦИЮ».

Цель занятия:  совершенствование навыков решения задач на оптимизацию.

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. На занятии можно организовать соревнование по группам. Каждая группа получает карточку с заданием. Ученик, решивший первым задание, выходит к доске и показывает  решение предложенной задачи. Если  решение верно, то всей группе начисляется 1 балл за  быстроту решения и 1 балл за правильность решения.

Остальные группы получают 1 балл за правильность решения. Та группа, которая наберет наибольшее количество баллов, получает дополнительный балл к  зачету по всему разделу.

Карточка с заданием. 

1.             Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 руб. за штуку. Торговая наценка составляет 20 %. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1110 рублей? 

2.             Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? 

3.             В пачке бумаги 250 листов формата А4. За неделю в офисе расходуется 400 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель? 

4.             Сырок стоит 5 руб.70коп. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей? 

5.             Шариковая ручка стоит 10 руб. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 400 рублей после повышения цены на 15%?

6.             В супермаркете проходит рекламная акция: покупая 4 шоколадки, 5-ю шоколадку покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 20 руб. Какое наибольшее число шоколадок можно получит за 390 руб? 

7.             Цена на электрический чайник была повышена на 18% и составила 1770 руб. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены? 

8.             Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 11 г лимонной кислоты. Хозяйка готовит 7 литров маринада. В магазине продаются пачки лимонной кислоты по 10г. Какое наименьшее число пачек достаточно купить хозяйке для приготовления маринада? 

9.             На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 40 руб. за штуку. У Вани есть 300 руб. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения? Ответы к  заданиям по карточке.

1) 6   2) 11  3)13   4) 8   5) 34   6) 23   7) 1500   8) 8    9) 7

Занятие 1.5. 

Тема: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОПТИМИЗАЦИЮ».

Цель занятия: привитие навыков самостоятельной работы, совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся.  

Данное занятие предлагаем провести  в форме творческой лаборатории.

На предыдущем занятии сформированным группам учащихся предварительно предлагается задание: составить подборку  из пяти задач на оптимизацию, используя дополнительную математическую литературу, Интернет-ресурсы. Решение этих задач представить учителю в начале урока в виде слайдов, а ответы заготовить на закрытых досках. 

На занятии группы обмениваются задачами и решают их в группах. За 10 минут до конца урока ответы сверяют. За каждую  правильно  решенную задачу группа получает один балл. Если возникают трудности с решением той или иной задачи, то учащийся группы предложившей эту задачу, показывает ее решение. 

Занятие 1.6.

Тема: «ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ».

Цель занятия: формирование умений анализировать графики  и диаграммы, совершенствование умений извлекать необходимую информацию из графиков.

Данное занятие предлагаем провести  в форме  практикума.

Классу предлагается задание по карточкам на 2 варианта (по желанию учителя вариантов может быть больше). Учащиеся самостоятельно выполняют  предложенное задание на своих местах, а в это время у доски работают по одному ученику от каждого варианта. Учитель проверяет правильность выполнения задания  у доски, затем учащиеся сверяют свои  ответы с  ответами у доски.

Карточка №1.

1.              На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток, начиная с 0 часов 11 июля. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику, до какой наибольшей температуры прогрелся воздух 13 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

2.              На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первые две недели сентября. 3 сентября бизнесмен приобрел 10 акций этой компании. Шесть из них он продал 10 сентября, а 12 сентября продал остальные 4. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

 

3.              На графике показано изменение цены билета на одну поездку в Самарском метрополитене в период с 1 января 1998 по 1 января 2009 года. Определите по графику стоимость в рублях одной поездки на метро 1 июля 2003 года. 

 

4.              На графике показана среднесуточная температура воздуха в течение первых двух недель июля 1991 года в Ижевске. Определите температуру в градусах Цельсия в Ижевске 6 июля 1991 года. 

 

5.              На диаграмме показано изменение цены на серебро в период с 3 по 17 августа 2009 года. Какой была цена 15 августа 2009 года? (В долларах за унцию) 

 

6.              На диаграмме показано изменение цены на цинк в период с 16 по 29

июня 2009 года (в долларах за тонну). Определите разницу между наибольшей и наименьшей ценой за рассматриваемый период времени. 

 

7.              На графике показана среднесуточная температура воздуха в течение первых двух недель августа 1993 года в Иркутске. Какой была минимальная температура (в градусах) в течение наблюдаемого периода? 

 

Карточка №2.

1.  На графике показано изменение температуры воздуха в некотором населённом пункте на протяжении трех суток, начиная с 0 часов субботы. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наименьшую температуру воздуха в ночь с субботы на воскресенье. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 

2.  На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций газодобывающей компании в первые две недели апреля. В первую неделю апреля бизнесмен купил 14 акций, а потом продал их на второй неделе. Какую наибольшую прибыль он мог получить?

 

3.  На графике показано изменение цены билета на одну поездку в Самарском метрополитене в период с 1 января 1998 по 1 января 2009 года. Во сколько раз увеличилась стоимость поездки на метро с 1 января 2001 года по 1 марта 2007 года? 

 

4.  На графике показана среднесуточная температура воздуха в течение первых двух недель июля 1991 года в Ижевске. Какого числа (в наблюдаемый период) температура впервые упала до 18 градусов?

 

5.  На диаграмме показано изменение цены на серебро в период с 3 по 17 августа 2009 года. (В долларах за унцию) Какого числа цена была равна 14,4 доллара за унцию?  

 

6.  На графике показана среднесуточная температура воздуха с 6 по 19 сентября 1990 года в Керчи. Определите в градусах разность максимальной и минимальной температур в наблюдаемый период времени.

 

7.  На графике показано изменение цены на медь во второй декаде августа 2009 года. Определите наименьшую цену на медь в период с 15 по

20 августа 2009 года. (В долларах за тонну) 

 

Ответы к  заданиям по карточке№1:  1) 9  2)3200  3)5  4) 16  5) 14,8 6) 100 7)14,5 Ответы к  заданиям по карточке№2:

1) 10  2)  700  3) 13  4) 4  5) 10   6)  7   7) 6050

Занятие 1.7.

Тема: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЧТЕНИЕ ГРАФИКОВ И ДИАГРАММ»

Цель занятия: привитие навыков самостоятельной работы, совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся.  

Данное занятие предлагаем провести  в форме творческой лаборатории.

                    На     предыдущем     занятии     сформированным     группам     учащихся

предварительно предлагается задание: составить подборку  из десяти  задач на  чтение графиков и диаграмм, используя дополнительную математическую литературу, Интернет-ресурсы. Задачи и ответы к ним  представить учителю в начале урока в виде слайдов. 

На занятии группы обмениваются задачами и решают их в группах. За 10 минут до конца урока ответы сверяют. За каждую  правильно  решенную задачу группа получает один балл. Если возникают трудности с решением той или иной задачи, то учащийся группы предложившей эту задачу, показывает ее решение. 

Занятие 1.8.

Тема: «ЗАДАЧИ НА «РАБОТУ». (лекция)

Цель занятия: рассмотреть основные типы задач на работу. 

При  решении  задач такого типа необходимо использовать   план – рассуждение, составленный  по  условию. Рассмотрим задачи на работу в общем виде. 

Задача №1.

Первый рабочий за час делает на  а  деталей  больше, чем второй рабочий и заканчивает работу, состоящую из n деталей, на у часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из m таких же деталей. Сколько деталей делает в час второй рабочий?

Решение.

Пусть х деталей в час делает второй рабочий ( за переменную х  взять ту   величину, которая обозначена в вопросе), тогда (х+2) деталей в час делает первый рабочий в час. Время, затраченное на выполнение заказа первым  рабочим   , время, затраченное на выполнение заказа вторым  рабочим   . Первый рабочий выполняет заказ раньше  на  , что по условию задачи равно у часов. 

Составим и решим уравнение   

Решив данное квадратное уравнение, найти значение переменной х.

Записать ответ к задаче.

Задача №2. 

Три переводчика переводят книгу. Первый и второй переводчики , работая вместе могут перевести книгу за 15 дней, второй и третий – за 10 дней, первый и третий – за 3 дня. За сколько дней могут перевести книгу три переводчика, работая вместе?

Решение.

Пусть х страниц в день переводит первый переводчик, y страниц в день – второй переводчик, z страниц в день – третий переводчик. Работу по переводу книги примем за 1, тогда производительность первого и второго переводчиков (х+y) страниц в день, что равно  ; производительность третьего и второго переводчиков (z+y) страниц в день, что равно ; 

производительность первого и  третьего переводчиков (х+z) страниц в

день, что равно  

Составим и решим систему уравнений:

^x y ;

z y ;



 xz .



Складывая почленно уравнения системы, получаем: 2(x+y+z)= , откуда x+y+z= Значит, три переводчика, работая вместе смогут перевести книгу за 4 дня (т.е. 1:   4).

Ответ: за 4 дня.

Задача №3.

На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней один, затем к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может построить эту стену первый каменщик, работая один?

Решение. 

Пусть х – производительность первого каменщика,  а y – второго каменщика.  Работа, выполненная совместно двумя каменщиками  по строительству стены 5х  4(x  y)  , что составляет 1. Время выполнения всей

работы первым каменщиком -           ¹ дней, вторым -         1 ^.дней. Первому х,         y

                                                                                                     1   1 

каменщику потребовалось на _ _х  y_дней больше, чем второму, что по условию задачи равно 5 дней. Составим и решим систему уравнений.

5х 4(хy) 1;

                             ^ 1  1           

5.

_ х y

Решив систему уравнений, получим следующие значения переменной х:

х= , х=. Так как х=  не удовлетворяет условию задачи. Значит, первый каменщик, работая один может построить стену за 1:  =15 дней. Ответ: 15 дней.

Задача №4. 

Два слесаря получили заказ. Сначала 1 час работал первый слесарь, затем 4 часа они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 часов больше, чем второму? Ответ: 25ч и 20ч.

Примечание: данную задачу предложить решить самостоятельно по образцу задачи

№3

Занятие 1.9

Тема: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА «РАБОТУ».

Цель занятия: совершенствование навыков решения задач на работу.   

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. 

Учащимся раздается дидактический материал для работы на практикуме. Учитель предлагает  учащимся самостоятельно решить задачи и сверить свое  решение с решением, предложенным учителем на заготовленных слайдах. 

Дидактический материал.

1.             Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 192 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 224 таких же деталей. Сколько деталей делает в час второй рабочий? Ответ: 14.

2.             Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 320 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба? Ответ: 16.

3.             Для распечатки 302 страниц были использованы две копировальные машины. Первая машина работала 8 минут, вторая – 10 минут. Сколько страниц в минуту печатает первая машина, если первая печатает в минуту на 4 страницы больше, чем вторая? Ответ: 19.

4.             Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей . Первый выполнил эту работу за 6 часов, второй – за 4 часа, т.к. изготовлял в час на 14 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил второй рабочий?  

Ответ: 168.

5.             Бригада каменщиков должна была в определенный срок уложить 120 тыс. кирпичей, но, улучшив организацию труда, бригада выполнила работу на 4 дня раньше срока. Определить, какова была норма ежедневной кладки кирпича и сколько укладывали кирпичей ежедневно после улучшения организации труда, если известно что бригада за 3 дня уложила на 5 тыс. кирпичей больше, чем полагалось укладывать за 4 дня по норме? Ответ: норма 10000  штук в день, фактически 15000. 

6.             Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей.

Работая вместе, эти рабочие могут сделать 20 деталей за 1 час. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на это более 3 часов, а остальную часть работы выполняли второй и третий рабочие, на всю работу ушло 8 часов. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на всю работу, если он ее полностью  выполнил один? Ответ: 16 часов. 

Занятие 1.10.

Тема: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА «РАБОТУ».

Цель занятия: совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся, развитие навыков самостоятельной работы с дополнительными источниками информации. 

Занятие можно провести  в форме творческой лаборатории.

Каждому ученику класса заранее  даётся  задание: составить подборку из трех задач,  используя дополнительную математическую литературу, Интернетресурсы и составить собственную задачу. На занятии учитель предлагает решить подготовленные  задачи, оформить их решение и сдать учителю на проверку. 

Занятие 1.11. (ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА)

Цель:  определение степени сформированности умения учащихся решать задачи на проценты, работу и чтение графиков и диаграмм.

Для работы на зачетном занятии учащимся предлагается карточка с заданием и карточка с таблицей для ответов. Карточка с заданием.

1.             Бригада вспахала 234 га вместо 180 га по плану. На сколько процентов она перевыполнила задание?  Ответ: 30%

2.             Сбербанк в конце года начисляет 4% годовых к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 2500 рублей через один год?

 Ответ: 2600 

3.             Цену товара сначала снизили на 20 %, затем новую цену снизили  еще на   15% и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на  10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? 

Ответ: на 38,8%.

4.             Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 г морской воды, чтобы концентрация соли составляла  1,5%? 

Ответ: 70 г.

5.             Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 352 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 418 таких же деталей. Сколько деталей в час делает второй рабочий?  Ответ: 19

6.             На диаграмме показано изменение цены на цинк в период с 16 по 29

июня 2009 года (в долларах за тонну). Определите разницу между наибольшей и наименьшей ценой за рассматриваемый период времени.  Ответ: 100.

 

7.Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 2420 руб. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

 Ответ:2000

8.             Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 130 руб. за штуку. Торговая наценка составляет 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1100 рублей?

 Ответ: 7

9.             За определенное время на заводе собирают 90 автомобилей. Первые три часа на заводе выполняли установленную норму, а затем стали собирать на один автомобиль в час больше. Поэтому за час до срока уже было собрано 95 автомобилей. Сколько автомобилей в час должны были собирать на заводе?  

Ответ: 6

10.        К 40% раствору соляной кислоты добавили 50 г чистой кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60% . Найдите первоначальный вес раствора.

Ответ: 100

11.        Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года? Ответ:60,9

Карточка для ответов.

Фамилия, имя учащегося______________________ класс________

Н омер задачи		1	2	3	4	5	6	7	8	9 0	1 1	1        Оц енка
от вет

Критерии оценки:   «5» - 10-11  правильно решённых задач;

                         «4» - 9 правильно решённых задач;                          «3» - 6-8  правильно решённых задач.

Раздел II «Геометрические задачи».

Занятие 2.1.

 Тема:  «Вычисление площадей фигур» (лекция).

 Цель занятия: рассмотреть  основные формулы для вычисления площадей фигур и решение задач.

Необходимо на лекции напомнить учащимся  основные формулы для вычисления площадей  фигур  и предложить  решение нескольких задач.

Предлагаем  подборку заданий для решения  задач.

А. Текстовые задачи на вычисления площадей фигур.

1.             Высота ВН треугольника АВС делит сторону АС на отрезки 3м и 9м, АВ=5м. Найти площадь треугольника АВС. Ответ: 2

2.             Периметр ромба равен 32 см, а высота – 6см. Найдите площадь ромба. Ответ: 1

3.             прямоугольник, стороны которого равны 6м и 8м, вписан в круг. Найдите площадь круга. Ответ:4.

4.             В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 163 , а один из углов трапеции равен 60º. Ответ: 122

5.             Диагональ квадрата равна 73 . Найдите его площадь. Ответ: 642

Б.  Задачи на нахождение площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге:

1.             На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Ответ: 15.

 

2.             На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите .

 Ответ: 2,5.

 

3.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 15.

 

4.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 6.

 

5.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 12.

 

6.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 12.

 

Занятие 2.2.

Тема: «Вычисление площадей фигур».

Цель занятия: формирование и совершенствование умений вычислять площади различных фигур.

Данное занятие предлагаем провести  в форме  практикума.

Классу предлагается задание по карточкам на 2 варианта (по желанию учителя вариантов может быть больше). Учащиеся самостоятельно выполняют  предложенное задание на своих местах, а в это время у доски работают по одному ученику от каждого варианта. Учитель проверяет правильность выполнения задания  у доски, затем учащиеся сверяют свои  ответы с  ответами у доски.

Карточка №1.

1.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 12.

 

2.             На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В

ответе запишите .

Ответ: 12.

 

3.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 Ответ: 6.

 

Карточка №2.

1.              Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 8.

 

2.              На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите .

Ответ: 5,625.

 

3.              Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.  Ответ: 12.

 

Занятие 2.3 .

Тема: «Решение задач на  вычисление площадей фигур».

Цель занятия: совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся , развитие навыков самостоятельной работы с дополнительными источниками информации. 

Занятие можно провести  в форме творческой лаборатории.

Каждому ученику класса заранее  даётся  задание: составить подборку  из пяти  задач,  используя дополнительную математическую литературу, Интернет-ресурсы и составить собственную задачу. На занятии учитель предлагает решить подготовленные  задачи, оформить их решение и сдать учителю на проверку.  

Занятие 2.4.

 Тема:  «Соотношения между сторонами и углами треугольника» (лекция).

 Цель занятия: рассмотреть   решение  задач на соотношения между сторонами и углами треугольника.

Необходимо на лекции напомнить учащимся  понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, основное тригонометрическое тождество, теоремы синуса и косинуса,  свойство высоты       в        прямоугольном треугольнике     и        предложить                  решение  следующих типовых  задач:

 1.   В треугольнике АВС угол С равен 90_, sin A  , AC  4 3 . Найдите

АВ. 

Ответ: 7

  2 .  В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=182, АС=70. Найдите tgA. 

Ответ: 2,4

3.                     В треугольнике АВС угол С равен 90_, cos B  , AB  5. Найдите АС.

 Ответ: 4.

4.                     В треугольнике АВС угол С равен 90_, BC  21, АВ=5. Найдите sin B.  Ответ: 0,4.

5.                     В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=30, ВС=24. Найдите cos A. 

Ответ: 0,6.

6.                     В треугольнике АВС угол С равен 90_, cosA ^{2 2} , ВС=2. Найдите

3

АВ. 

Ответ: 6.

Занятие 2.5.

Тема: «Решение задач на соотношения в прямоугольном треугольнике».

Цель занятия: совершенствование навыков решения прямоугольных треугольников.

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. 

Учащимся раздается дидактический материал для работы на практикуме. Учитель предлагает  учащимся самостоятельно решить задачи и сверить свое  решение с решением, предложенным учителем на заготовленных слайдах. 

Дидактический материал.

1. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.

. Найдите .

3. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание.

 

4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а . Найдите высоту, проведенную к основанию.

5. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=20, АС=12. Найдите sin A.

Ответ: 0,8

6. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=70, АС=56. Найдите tgA. Ответ: 0,75

7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием Ас боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведенная к основанию, равна 8. Найдите косинус угла А. Ответ: 0,6

После данной работы провести проверочную самостоятельную работу по вариантам.

Самостоятельная работа. 1 вариант

1.             В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=15, АС=12. Найдите tgA. Ответ: 0,75

2.             В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=45, cos B  . Найдите АС.

Ответ: 36

3.             Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. 

Ответ: 0,8.  

4.             В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 15, а . Найдите высоту, проведенную к основанию. Ответ: 1.

2вариант

1.             В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=13, АС=5. Найдите tgA.

 Ответ: 2,4

2.             В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ=25, cos B  . Найдите АС.

Ответ: 15.

3.             Большее основание равнобедренной трапеции равно 12. Боковая сторона равна 5. Синус острого угла равен 0,8. Найдите меньшее основание.  Ответ: 6.

 

4 .  В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона

AB равна 16, а . Найдите высоту, проведенную к основанию.  Ответ: 2.

Занятие 2.6.

Тема: «Решение задач на соотношения между сторонами и углами треугольника».

Цель занятия:  совершенствование навыков решения задач на соотношения между сторонами и углами треугольника.

  Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. На занятии можно организовать соревнование по группам. Каждая группа получает карточку с заданием. Ученик, решивший первым задание, выходит к доске и показывает  решение предложенной  задачи. Если  решение верно, то всей группе начисляется 1 балл за  быстроту решения и 1 балл за правильность решения.

Остальные группы получают 1 балл за правильность решения. Та группа, которая наберет наибольшее количество баллов, получает дополнительный балл к  зачету по всему разделу.

          Карточка с заданием.  

1.             В треугольнике АВС АС= 2 , угол А равен 45º, угол В равен 30º. Найти ВС. 

2.             Основания трапеции равны 4 и 10, а ее боковые стороны 3 13  и 15. Найдите косинус наименьшего угла этой трапеции.  

3.             В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, длина которой равна 4, причем КС=2 2 , угол ВСА=45º. Найдите площадь треугольника АВК.    

4.             В равнобедренной трапеции с острым углом 60º боковая сторона равна 21, а меньшее основание 2 21. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.   

5.             Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в три раза меньше боковой стороны, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 11.   

6.             Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР равна 7, медиана РА равна 3 2 , а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.         

Ответы к  заданиям по карточке.

1) 2   2) 0,8  3) 4   4) 7   5) 6    6) 10.

Занятие 2.7.

Тема: «Решение задач на соотношения между сторонами и углами треугольника». 

Цель занятия:  углубить  практические навыки по решению задач.

Данное занятие проводится в форме семинара. Для  работы на семинаре рекомендуем подготовить двух учащихся – консультантов, которым заранее  предлагаются  более сложные задачи на соотношения между сторонами и

углами треугольника.  Консультанты выступают  на занятии с  решением предложенных задач.

1 консультант:

Задача№1.

                   Найдите            площадь            параллелограмма            АВСД,            если

CAD 30⁰,, BD13, AD 5. В ответе укажите значение найденной величины, умноженной на 12 5 3.

Решение.

1)            Обозначим буквой О – точку пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник AOD. В нём известны два линейных элемента(OD = 6,5,AD = 5) и угловой (AOD  30⁰), значит, в этом треугольнике можно найти оставшиеся элементы, например AOD. По теореме синусов :

               OD                AD            6,5               5                                 5                               5

                                                  ;            ⁰                    , sin AOD  , AOD  arcsin 

       sin OAD      sin AOD sin 30        sin AOD                         13                             13.

2)            В треугольнике AOD ADO 150⁰  arcsin  (по теореме о сумме углов треугольника).

3)            Площадь треугольника ABD = _AD*BD *sin_ADO  =  513_sin(150º-

arcsin )=125 3.

4)            Так как диагональ BD разбивает параллелограмм на два равных треугольника, то площадь  параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABD, т.е. S=2,5(12+53 ). 5) В ответе следует записать результат умножения:  2,5(12+53 )(12-53 )=2,5(144-75)=172,5. Ответ: 172,5.

2 консультант:

Задача№2.

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найти площадь треугольника ABC, если AC=32 , BC=10,MAC  45⁰ . Решение.

1) медиана AM разбивает треугольник ABC на два равновеликих треугольника, т.е. S(ACM)=S(AMB), значит , S(ABC)=2S(ACM). 2) В треугольнике ACM по теореме косинусов  CM²=AC²+AM²-2·AC·AM·cos_CAM. 

5²=(32 )²+ х² – 2· 32 ·х·cos45º, где AM=x.

Получим уравнение: х²-6х-7=0. решив это уравнение, получим: AM=7. S(ACM)=  ·AC·AM·sin_CAM=10,5.

3) S(ABC)=2·10,5=21. Ответ: 21.

Следующие  задачи предлагаем  как дидактический  материал для работы на   занятие или в качестве домашнего задания:

1.             Медиана ВК треугольника АВС равна 22 , ВС=25 , ВКС=45º. Найти площадь треугольника АВК.

Ответ: 6.

2.             В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, длина которой равна 4, причем КС=22 , ВСА=45º. Найдите площадь треугольника АВК.

Ответ: 4.

3.             Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120º. Найдите квадрат длины медианы, проведенной к боковой стороне. 

Ответ: 28.

4.             Найдите площадь параллелограмма MPKN , если _ PKM=45º,  PK=52 , PN=26.

Ответ: 170.

Занятие 2.8.

 Тема:  «Задачи на нахождение объема и площади поверхности » (лекция).

 Цель занятия: рассмотреть   решение  задач на нахождение объемов и площадей поверхности.

Необходимо на лекции напомнить учащимся  основные формулы объемов и площадей поверхности геометрических тел и предложить  решение  следующих   задач из КИМов ЕГЭ:

1.             Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 0,5. Найдите его объем. 

     Ответ: 1

2.             Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 39.  

     Ответ: 13

3.             В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 10. Боковые 3 ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.  



     Ответ: 150

4.             Объем конуса равен 176. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ: 22

5.             В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 24см до отметки 27см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см ³.       Ответ: 125

6.             Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

 

Ответ: 13,5.

7.             Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара. 

 

Ответ: 12.

8.             Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

 

Ответ: 0,75.

Занятие 2.9.

Тема: «Решение задач на нахождение  площади поверхности».

Цель занятия: совершенствование навыков решения задач на нахождение  площади поверхности геометрических тел.

Данное занятие предлагаем провести в форме практикума.         

Учащимся раздается дидактический материал для работы на практикуме. Учитель предлагает  учащимся самостоятельно решить задачи и сверить свое решение с решением, предложенным учителем на заготовленных слайдах. 

Дидактический материал.

1.             Основанием прямой призмыABCDA1B1C1D1 является ромб с диагоналями 6 и 8. Найдите площадь полной поверхности призмы, если известно, что диагональ ее боковой поверхности призмы. Ответ: 288.

2.             Угол между боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью  основания равен 60º. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна 23 . Ответ: 48.

3.             Дан куб ABCDA₁B₁C1D 1. Через точки А, В1 и середину ребра СС1 проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если площадь сечения равна 36. Ответ: 192. 

4.             В правильную треугольную призму, объем которой равен 45, вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 0,53 . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Ответ:

20π.

Занятие 2.10.

Тема: «Решение задач на нахождение  объема геометрических тел».

Цель занятия: совершенствование навыков решения задач на нахождение  объема геометрических тел.

    Данное занятие предлагаем провести в форме практикума. На занятии можно организовать соревнование по группам. Каждая группа получает карточку с заданием. Ученик, решивший первым задание, выходит к доске и показывает  решение предложенной  задачи. Если  решение верно, то всей группе начисляется 1 балл за  быстроту решения и 1 балл за правильность решения.

Остальные группы получают 1 балл за правильность решения. Та группа, которая наберет наибольшее количество баллов, получает дополнительный балл к  зачету по всему разделу.

          Карточка с заданием.

1.             В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами, равными 12 и 5. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем пирамиды. 

2.             В сновании прямой призмы лежит квадрат со стороной 5. Боковые ребра

7

равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. 



3.             Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.  

 

 равен 9. Найдите объем

5.             Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27. 

6.             Объем конуса равен 176. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.  Ответы к  заданиям по карточке.

1) 20   2) 87,5  3)4   4)1,5   5) 81   6) 22

Занятие 2.11 . Тема: «Решение задач на  нахождение объема и площади поверхности » .

Цель занятия: совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся , развитие навыков самостоятельной работы с дополнительными источниками информации. 

Занятие можно провести  в форме творческой лаборатории.

Каждому ученику класса заранее  даётся  задание: составить подборку  из пяти  задач,  используя дополнительную математическую литературу, Интернет-ресурсы и составить собственную задачу. На занятии учитель предлагает решить подготовленные  задачи, оформить их решение и сдать учителю на проверку. 

 Занятие 2.12. (зачетное занятие)

Цель:  определение степени сформированности умения учащихся решать геометрические задачи на вычисление площадей фигур, на решение треугольников и на  нахождение   объема и площади поверхности геометрических тел.

Для работы на зачетном занятии учащимся предлагается карточка с заданием и карточка с таблицей для ответов.

Карточка с заданием.

1.             Найдите площадь треугольника, если его наибольшая сторона равна 7, а средняя по величине равна 5 и лежит против угла 45º.

2.             В треугольнике АВС сторона АС равна 21, высота ВН равна 12, а синус угла А равен 0,6. Найти дли ну отрезка СН. (рассмотреть все возможные случаи)

3.             Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 

4.             Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна 3 2 и составляет с основанием угол 45º.

5.             Объем конуса равен 176. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 

6.             Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

 

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ=4. Через сторону АВ проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру SC,

                                                                                                                                SK     4

        пересекающее его в точке К. Известно, что            . Найдите площадь боковой

                                                                                                                                SC     5

поверхности пирамиды.

Ответы:  1)  10,5   2) 5или 37  3) 8  4)  9    5) 22     6) 10     7) 36

        Карточка для ответов.

Фамилия, имя учащегося______________________ класс________

Н омер задачи		1	2				7	О ценка
о твет

Критерии оценки:   «5» - 6-7  правильно решённых задач;                          «4» - 4-5 правильно решённых задач;                          «3» - 3  правильно решённых задач.

Методические рекомендации к разделу  III «Задачи на движение».

Занятия по данному  разделу рекомендуем провести в  той же форме, что и  в разделах  1 и 2. 

Цели занятий: 

1)            совершенствование навыков решения задач на движение;

2)            углубление теоретических     знаний        и

практических навыков по решению задач на движение;

3)            ) привитие навыков самостоятельной работы, совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся.  

Дидактический материал к разделу «Задачи на движение»:

1.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 437 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если собственная скорость теплохода равна 21км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 часов после отплытия из него.    Ответ: 2.                                                                                                                 

2.             От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.  Ответ: 20

3.             Два велосипедиста одновременно отправляются в 168-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.  Ответ: 12

4.             Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч большей, чем в предыдущий день. Через некоторое время ему пришлось сделать остановку на 3 часа, в результате чего он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

 Ответ: 12

5.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 504 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 23км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него.   Ответ: 5

6.             Моторная лодка прошла против течения реки 70 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ: 12

7.             Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.  Ответ: 20

8.             Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 783 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 58 часов после отплытия из него. Ответ: 1

9.             Два велосипедиста одновременно отправляются в 79-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ: 7

10.         Два велосипедиста одновременно отправляются в 80-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.  Ответ: 8

11.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 14 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 52 км/ч. Ответ: 56

12.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 52

13.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 64

14.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. 

Ответ дайте в км/ч Ответ: 56.

15.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

 Ответ дайте в км/ч. Ответ: 36.

16.         Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 20 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

 Ответ дайте в км/ч. Ответ: 40.

17.         Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 40 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 21:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. Ответ: 2.

18.         Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч. Ответ: 1.

19.         Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч. Ответ: 1.

20.         Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 30 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 22:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. Ответ: 3.

21.         Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч. Ответ: 3.

22.         Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 70 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3,5 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 10.

23.         От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 80 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч       Ответ: 10

24.         Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 20 км/ч большей скорости первого, и прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:40

25.         Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от

А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.  Ответ:   4

26.         Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. 

Ответ дайте в км/ч.Ответ: 10

27.         Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 9

28.         Расстояние между пристанями А и В равно 36 км. Из А в В отплыл плот, а из В в А спустя 8 часов отошла лодка.В пункты назначения они прибыли одновременно. Какова скорость плота, если собственная скорость лодки 12 км\ч? Ответ: 3.

29.         Велосипедист каждую минуту проезжает на 800 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 30 км он затратил времени на 2 часа больше, чем мотоциклист. Сколько км в час проезжал мотоциклист? Ответ: 60.

30.         Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, и встречаются через 2 ч. Определите скорость каждого велосипедиста, если скорость у одного из них она на 3 км/ч больше, чем у другого.

 Ответ:12 и 15

31.         Два пешехода отправляются навстречу друг другу одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми равно 50 км, и встречаются через 5 ч. Определите скорость первого пешехода, если его скорость на 2 км/ч больше, чем у другого. Ответ: 6

32.         Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой  ( h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. Ответ: 2,4

33.         Камень брошен вниз с высоты 84 метра. Высота h, на которой находится камень во время падения зависит от времени t, h(t) 8416t 5t². Сколько секунд камень будет падать? Ответ: 2,8.

34.         Камень брошен вниз с высоты 65 метра. Высота h, на которой находится камень во время падения зависит от времени t, h(t)  6512t 5t² .

Сколько секунд камень будет падать? Ответ: 2,6

35.         Камень брошен вниз с высоты 12м. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) 12 4t 5t² . Сколько секунд камень будет падать? Ответ: 1,2.

36.         Высота , на которой находится камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх, менется по закону h(t) 113t 5t². Сколько секунд камень будет находится на высоте более 7 метров? Ответ: 1,4

         Примечание:      В       качестве               дополнительного дидактического материала для работы по данному курсу  можно использовать  контрольные измерительные материалы  сайта  ФИПИ «Открытый банк заданий по математике» и литературу, предложенную ниже. 

Литература.

1.     Бродский И.Л.; Видус А.М., Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов. 7-11 классы – М.:АРКТИ, 2004.

2.     Геометрия: Сборник заданий для проведения экзамена в 9 и 11 классах./ Аверьянов Д.И., Звавич Л.И., Пигарев Б.П., Рязановский А.Р. – М.: Просвещение,2007.

3.     ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учся./ФИПИ-М.:Интеллект-центр, 2010

4.     Задания по математике по подготовке к письменному экзамену в 9 классе./ Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанин Т.Н. – М.: Просвещение, 2007. 

5.     Кочагин В.В. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник заданий. - М.: Эксмо,2009.  6. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни: учеб. Пособие для учащихся, абитуриентов и учителей.- Челябинск: Юж.-Урал.кн. изд-во, 1996